面積と周長

trapezium のプリセットを読み込みます。平行な二辺は 10 m と 6 m、その間の距離は 4 m で、ツールの単位 u をメートルとして読んでください。この花壇の面積と、必要な縁取りの長さを求めましょう。そのうえで、植えられる面積を奪っているのが形なのか大きさなのか、そして花壇を 1.5 倍の大きさで作れば解決するのかを判断してください。

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1. 平行な二辺は長さが違うので、まずは同じ働きをする一つの幅を見つけます。一方の端から直角三角形を切り取り、反対側に当ててみましょう。切り取ってできた欠けは、ちょうどその三角形が埋める形になっており、残るのは幅 8 m、高さ 4 m の長方形です。斜めの辺は面積にはまったく関わりません。

   $$\frac{a+b}{2}=\frac{10+6}{2}=8\ \mathrm{m},\qquad A=8\times4=32.00\ \mathrm{m^2}$$

2. 縁取りは四辺すべてで、そのうち二辺が斜めです。花壇は高さの分だけ進む間に幅を 4 m 失い、両端で 2 m ずつですから、斜めの辺はそれぞれ高さ 4 m、底 2 m の三角形の斜辺、すなわち √20 で、4.5 m を少し下回ります。周の長さのカードは 24.94 m を示します。

   $$\frac{a-b}{2}=2,\quad c=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=4.4721,\qquad P=10+6+2c=24.94\ \mathrm{m}$$

3. 三枚目のカード、コンパクト度は 0.646 です。Q は 4πA/P² と定義されていて、中身のない点数のように見えますが、P²/4π が単独で何を表すのかを問うと話が変わります。

   $$Q=\frac{4\pi A}{P^2}=\frac{4\pi\times32.00}{24.94^2}=0.646$$

4. それは、同じ縁取りで作った円の面積です。24.94 m をまっすぐに伸ばして輪に閉じると、半径は P/2π = 3.9700 m となり、囲まれる面積は 49.51 m² です。つまり Q は、この花壇の面積をその円の面積で割った値であり、0.646 とは、この台形が自分の縁取りで囲めるはずの面積の 3 分の 2 にも届いていない、ということです。

   $$r_{\circ}=\frac{P}{2\pi}=\frac{24.9443}{2\pi}=3.9700\ \mathrm{m},\qquad A_{\circ}=\pi r_{\circ}^2=\frac{P^2}{4\pi}=49.51\ \mathrm{m^2}$$

5. その差は 17.51 m²、代金を払いながら植えられない花壇です。裏返しても同じ話で、あなたの 32.00 m² を囲む円形の花壇に必要な縁取りは 20.05 m、4.89 m 短く、ロールのおよそ 5 分の 1 が浮きます。

   $$A_{\circ}-A=49.51-32.00=17.51\ \mathrm{m^2},\qquad P_{\circ}=2\sqrt{\pi A}=2\sqrt{32\pi}=20.05\ \mathrm{m}$$

6. 大きさでは解決しません。k を 1.5 にすると花壇は 37.42 m の縁取りの内側で 72.00 m² に達しますが、Q は動きません。面積が得る k² が、周を 2 乗して生じる k² と打ち消し合うからです。この形を拡大して円の 49.51 m² に並ばせるには k = 1.2439 と 31.03 m の縁取りが要り、同じ面積に対して円より 6.08 m 多く必要になります。

   $$k=1.5:\ P'=37.42,\ A'=72.00,\quad Q'=\frac{4\pi k^2A}{(kP)^2}=Q=0.646;\qquad k=\sqrt{\tfrac{49.51}{32.00}}=1.2439\Rightarrow P'=31.03\ \mathrm{m}$$