部分分数

どの有理関数も、分母を因数分解すれば、有理関数部分、対数、逆正接から構成される原始関数を持ちます。部分分数分解の手順を一つずつ確認し、自分で答えを入力してみてください。入力された式を微分し、その導関数が被積分関数とどこで異なるかを示します。

一次の因数それぞれ	$\int\frac{A\,dx}{x-a}=A\ln\|x-a\|+C$
二次の因数それぞれ	$\int\frac{dx}{(x-h)^{2}+k^{2}}=\frac{1}{k}\arctan\frac{x-h}{k}+C$
単根 a に対する係数	$A=\frac{P(a)}{Q'(a)}$

計算例 — 部分分数

目隠し法による (x − 2) の上の係数	3
[−5, 5] における f の実数の極	2
独立した積分定数	3
対数（c が負）	0）

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レッスン

理論 — 部分分数

部分分数分解とは、P の次数が Q より低い有理関数 P(x)/Q(x) を、実数の範囲での Q の各因数に対応する単純な分数の和として書き表すことです。重複度までの一次因数の各累乗に対して A/(x − a)^k を置き、実数根を持たない二次因数の各累乗に対して (Bx + C)/(x² + px + q)^k を置きます。P の次数が低くない場合はまず割り算をします。それぞれの分数を積分すると、有理関数、対数、または逆正接になります。

各記号の意味

P/Q: 被積分関数、分母の上に分子を置いたもの。Q の実数根が f の極になります。
C: 積分定数、極の間の各区間で異なっていてもかまいません。

公式の導き方

重複のない因数なら、手で覆い隠すだけです。恒等式の両辺に x − a を掛け、x = a と置いてみてください。他の分数はすべて消え去り、分母の残りに a を代入した値で P(a) を割れば、そのまま A が求まります。
$\frac{P(x)}{(x-a)\,R(x)}=\frac{A}{x-a}+\cdots\ \Rightarrow\ A=\frac{P(a)}{R(a)}$
因数が重複しているなら、次数ごとに分数をひとつずつ用意します。(x − a)² なら、A/(x − a) + B/(x − a)² と表します。手で隠してそのまま求まるのは B のほうです。残る A を見つけるには、ある次数の係数を比較するか、x に適当な別の値を代入してみてください。
$\frac{P(x)}{(x-a)^{2}R(x)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\cdots,\qquad B=\frac{P(a)}{R(a)}$
実数解をもたない二次式。分子を、その二次式の導関数の定数倍と定数項に分けます。前半は対数に、後半は平方完成を経て逆正接関数へと積分されます。
$\frac{Bx+C}{x^{2}+px+q}=\frac{B}{2}\cdot\frac{2x+p}{x^{2}+px+q}+\frac{C-\frac{Bp}{2}}{\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+q-\frac{p^{2}}{4}}$

成り立たない場合: この分解には Q の根が必要ですが、4次より上では根号を用いた公式が存在しない場合があります。係数は依然として厳密な数値ですが、同様に根号では表せない可能性があります。x⁵ − x − 1 の設定では、最初の係数は正確に 1/(5r⁴ − 1)（r は実数根）であり、r と同様に根号による公式はありません。このページではそれらの数値的な近似値を扱っています。答えの有理関数部分には決して根を必要としません。シャルル・エルミートは多項式の演算だけでそれを見つけられることを示しており、ハーディの §4 でその手法が紹介されています。

全プロセスの詳細解説

二つの一次因数：ヘビサイドの隠蔽法 3 ステップ
∫(x + 7)/((x − 1)(x + 3)) dx を求めよ。
1. 一次因数ごとに分数を一つ置きます：
  
  $\frac{x+7}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
2. 因数を順に隠して、それぞれの根を代入します：
  
  $x=1:\ A=\frac{8}{4}=2;\qquad x=-3:\ B=\frac{4}{-4}=-1$
3. それぞれの分数は、積分すると対数になります：
  
  $\int\left(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+3}\right)dx=2\ln|x-1|-\ln|x+3|+C$
解答

2 ln|x − 1| − ln|x + 3| + C. 連立方程式など不要で、わずか二行の計算です。この隠蔽法がうまくいくのは、x − 1 を掛けて x = 1 を代入すれば、他の分数がすべて 0 に消えるからです。

$\int\frac{x+7}{(x-1)(x+3)}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|x+3|+C$
重複因数 3 ステップ
∫dx/(x²(x + 1)) を求めよ。
解答を表示
1. x² は重複因数ですから、x の項と x² の項、二つの分数を用意します：
  
  $\frac{1}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}$
2. 隠蔽法で B と C が求まり、x² の係数から A が決まります：
  
  $x=0:\ B=1;\qquad x=-1:\ C=1;\qquad x^{2}:\ A+C=0\ \Rightarrow\ A=-1$
3. 各項を積分します。B/x² は対数ではなく、べき乗の積分です：
  
  $\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}\right)dx=-\ln|x|-\frac{1}{x}+\ln|x+1|+C$
解答

ln|(x + 1)/x| − 1/x + C. B/x² と C/(x + 1) だけで済ませてしまうのが、よくある落とし穴です。二つの分数だけでは足しても元の式にならず、係数比較をしても解がなくなってしまいます。

$\int\frac{dx}{x^{2}(x+1)}=\ln\left|\frac{x+1}{x}\right|-\frac{1}{x}+C$
実数解を持たない二次式 2 ステップ
∫(3x + 1)/(x² + 1) dx を求めよ。
解答を表示
1. x² + 1 は因数分解できないため、分子をその導関数 2x の定数倍と定数項に分けます：
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}$
2. 前半は f′/f の形、後半は逆正接関数です：
  
  $\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad \int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan x$
解答

(3/2) ln(x² + 1) + arctan x + C. x² + 1 は決して負にならないため、対数に絶対値記号は不要です。

$\int\frac{3x+1}{x^{2}+1}\,dx=\frac{3}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan x+C$
一次因数と二次式の積 3 ステップ
∫dx/(x(x² + 1)) を求めよ。
解答を表示
1. 二次式の項の分子には、一次式 Bx + C を置きます：
  
  $\frac{1}{x(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}$
2. 隠蔽法で A が求まり、残りを係数比較すれば B と C が決まります：
  
  $x=0:\ A=1;\qquad 1=(x^{2}+1)+(Bx+C)x\ \Rightarrow\ B=-1,\ C=0$
3. 対数と、二次式から現れる対数です：
  
  $\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}\right)dx=\ln|x|-\tfrac12\ln\left(x^{2}+1\right)+C$
解答

ln|x| − ½ ln(x² + 1) + C. x² + 1 の分子を定数だけにしては足りません。分母が二次式なら、分子には一次式まで置くことが許されているからです。

$\int\frac{dx}{x(x^{2}+1)}=\ln|x|-\tfrac12\ln\left(x^{2}+1\right)+C$
仮分数式：まずは割り算から 3 ステップ
∫(x³ + x)/(x − 1) dx を求めます。
解答を表示
1. 分子の次数のほうが高いので、まず割り算をします：
  
  $x^{3}+x=(x-1)\left(x^{2}+x+2\right)+2$
2. 多項式と真分数式の和：
  
  $\frac{x^{3}+x}{x-1}=x^{2}+x+2+\frac{2}{x-1}$
3. 項ごとに積分します：
  
  $\int\left(x^{2}+x+2+\frac{2}{x-1}\right)dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x+2\ln|x-1|+C$
解答

x³/3 + x²/2 + 2x + 2 ln|x − 1| + C. 部分分数分解を行うのは、分子の次数が分母より低くなってからです。

$\int\frac{x^{3}+x}{x-1}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x+2\ln|x-1|+C$
平方完成 2 ステップ
∫dx/(x² + 4x + 13) を求めます。
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1. 判別式は 16 − 52 < 0 で実数解がありません。平方完成をします：
  
  $x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9=(x+2)^{2}+3^{2}$
2. h = −2、k = 3 とした逆正接（arctan）の形です：
  
  $\int\frac{dx}{(x+2)^{2}+3^{2}}=\frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3}+C$
解答

(1/3) arctan((x + 2)/3) + C. 先頭の 1/3 を落とすのが、よくあるミスです。arctan((x + 2)/3) を微分すると 3/(x² + 4x + 13) となり、被積分関数の 3 倍になってしまいます。

$\int\frac{dx}{x^{2}+4x+13}=\frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3}+C$
極の間での定積分 2 ステップ
∫₀¹ dx/(x² − 4) を求めます。
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1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) であり、目隠し法から ±1/4 が得られます：
  
  $\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$
2. 極である ±2 はどちらも [0, 1] の外にあるため、この積分区間でそのまま公式を適用できます：
  
  $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}\Bigl[\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\Bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{4}\left(\ln\frac{1}{3}-\ln1\right)$
解答

−(ln 3)/4 ≈ −0.2747。区間 [0, 1] で 1/(x² − 4) は 0 未満ですから、値が負になるのは自然です。区間の内部に極がある場合、同じように引き算をすると、存在しないはずの積分に対して数値が出てしまいます。積分定数の解説で注意を促したとおりです。

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}-4}=-\frac{\ln3}{4}\approx-0{.}2747$
∫ dx/(x⁴ + 1)：実数根なし、二つの実数係数の二次式 5 ステップ
∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1) を求めます。分母に実数根がないため極も一次因数もなく、ページのどの問題とも似ていません。構成要素を確認するために 逆正接 を押してください。

この問題をツールで開く
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1. x⁴ + 1 は実数根を持ちませんが、2x² を足して引くことで平方の差になるため、二つの実数係数の二次式に分解されます。
  
  $x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=\left(x^2+\sqrt2\,x+1\right)\left(x^2-\sqrt2\,x+1\right)$
2. どちらの二次式も実数根を持たないため（判別式は両方とも 2 − 4 = −2）、それぞれの上に一次式を置きます。係数を比較すると次のようになります。
  
  $\frac{1}{x^4+1}=\frac{\frac{x}{2\sqrt2}+\frac12}{x^2+\sqrt2\,x+1}+\frac{-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac12}{x^2-\sqrt2\,x+1}$
3. それぞれの二次因数部分は、対数を与える分母の導関数の定数倍と、逆正接を与える平方完成された分母の上の定数に分割されます。
  
  $\frac{\frac{x}{2\sqrt2}+\frac12}{x^2+\sqrt2\,x+1}=\frac{1}{4\sqrt2}\cdot\frac{2x+\sqrt2}{x^2+\sqrt2\,x+1}+\frac{\frac14}{\left(x+\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\frac12}$
4. したがって、数直線全体で有効な原始関数は次のようになります。
  
  $F(x)=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\frac{x^2+\sqrt2\,x+1}{x^2-\sqrt2\,x+1}+\frac{1}{2\sqrt2}\Big(\arctan\left(\sqrt2\,x+1\right)+\arctan\left(\sqrt2\,x-1\right)\Big)$
5. x = 0 のとき対数は ln 1 = 0 となり、逆正接は打ち消し合います。x が大きくなると、対数は再び ln 1 = 0 に収束し、各逆正接は π/2 に収束します。
  
  $\int_0^\infty\frac{dx}{x^4+1}=\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac\pi2+\frac\pi2\right)-0=\frac{\pi}{2\sqrt2}=1{.}1107$
解答

π/(2√2) ≈ 1.1107。ページのエクスプローラーは x² + c で止まっていますが、実数根を持たない4次式には、対数と逆正接という同じ二つの手順を二回実行する必要があり、すべての係数に √2 が含まれます。

$\int_0^\infty\frac{dx}{x^4+1}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\approx1{.}1107$

補充問題（答えのみ）

∫ dx/(x(x − 1)(x + 1)) を求めましょう。

答えを表示

−ln|x| + ½ ln|x − 1| + ½ ln|x + 1| + C。カバーアップ法で求めた係数は −1、½、½ です。

$-\ln|x|+\tfrac12\ln|x-1|+\tfrac12\ln|x+1|+C$
∫ (x + 3)/(x + 1)² dx を求めましょう。

答えを表示

(x + 3)/(x + 1)² = 1/(x + 1) + 2/(x + 1)² と部分分数分解すると、ln|x + 1| − 2/(x + 1) + C が得られます。

$\ln|x+1|-\frac{2}{x+1}+C$
定積分 ∫₂³ dx/(x² − x) の値を求めましょう。

答えを表示

ln(4/3) ≈ 0.2877。

$\int_{2}^{3}\frac{dx}{x^{2}-x}=\ln\tfrac43\approx0{.}2877$
∫ 4/(x²(x² + 4)) dx を求めましょう。

答えを表示

4/(x²(x² + 4)) = 1/x² − 1/(x² + 4) と分解すると、−1/x − ½ arctan(x/2) + C が得られます。

$-\frac1x-\tfrac12\arctan\frac{x}{2}+C$

逆正接は根が複素数になった対数

二つの対数 を押し、練習問題の下にあるエクスプローラーを見てください。c = −1 のとき、被積分関数は 1/(x² − 1) となります。この分母は実数根 ±1 を持つため二つの部分分数に分解され、積分すると対数になります。2 から 3 までの面積は ½ ln(3/2) = 0.2027 です。次に 逆正接 を押してください。c = 1 では分母 x² + 1 が実数根を持たないため実数の範囲で分解されず、答えは arctan 3 − arctan 2 = 0.1419 となります。今度は c をドラッグしてゼロを通過させてみてください。数式は二回変化します。面積が 1/6 = 0.1667 となるちょうど c = 0 で対数から −1/x に変わり、その後逆正接に変わります。しかし右側の曲線には飛躍も角もなく、それに全く気づいていません。これらは三つの方法で書かれた一つの関数なのです。複素数を許容すれば x² + 1 = (x − i)(x + i) となり、他の二次式と同様に分解できます。そうすると逆正接もまた対数になります。ブライアン・コンラッドのリウヴィルの定理に関するノートでは、2i·arctan x に定数を加えたものが (x − i)/(x + i) の対数になることを微分によって確認しています。「対数と逆正接」というのは、実数の世界で「対数」を言い換えたものに過ぎないのです。

一つの +C では足りない

二つの極を押し、次に一つの解答を表示を押してみてください。画面には f = 9/((x − 2)(x + 1)) に対して 3 ln|x − 2| − 3 ln|x + 1| と表示されます。続いて定数をずらすを押します。数直線は −1 と 2 にある極によって三つの区間に分かれています。プログラムは区間ごとに異なる定数を加え、新しい曲線を元のグラフの上に重ねて描き、再び検算を行います。これでもやはり正解になります。どの区間でも定数の微分はゼロであり、隣り合う区間同士を結びつける条件は何もないからです。ここでの一般的な原始関数は三つの独立した定数を持っており、「+ C」とは、その三つがすべて等しいというごく一部の断面を指しているに過ぎません。実数の極の数を数え、1を足してください。それ以外の場所で値が飛ぶのは誤りで、検算機能もそのように判定します。解答に + sign(x) を加えてみると、f が滑らかに繋がる 0 の位置で不連続になるため、はねのけられます。定数の落とし穴はここにあります。この f を 0 から 3 まで積分することはできません。経路が 2 の極をまたぐからです。それにもかかわらず、式の 0 と 3 での値を引き算すると、−3 ln 8 といういかにも自信ありげな数値があっさりと出てきてしまうのです。

定理は答えの形を保証するが、数値の公式は保証しない

x⁵ − x − 1 を押してください。実数の範囲ではすべての多項式が一次と二次の要素に因数分解できるため、すべての有理関数は有理関数部分、対数、逆正接に積分できます。この関数も例外ではありません。1.1673 付近の実数根による対数が一つ、そして二組の複素共役根それぞれに対する二次の対数と逆正接です。手順の解説を追って五つの項すべてを確認してください。定理が提供しないのは根を求める公式であり、この分母に対してはそれが存在しません。5を法とすると全く因数分解できず、2を法とすると (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) となります。これらが組み合わさることでガロア群は S₅ に固定され、どの根も +, −, ×, ÷ と根号を使って書くことができなくなります。そのため、このページでは根を約15桁の有効数字で数値計算しており、チェッカーはそれらから構成された原始関数を受け入れます。代わりに最後の手順にある小数点以下4桁の係数を入力欄にコピーすると、百万分の一の精度での一致が求められるためチェッカーはそれを受け付けません。G.H.ハーディは1916年にそれを明確に述べています。根は「原則として明示的な形で決定することはできない。したがって部分分数分解の方法には重大な限界がある」と。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (3)

The integral of a rational function as a rational part plus Σ A log(x − a), with the coefficient over a simple root a given by P(a)/Q′(a) (§1, pp. 12–13), and the page's third claim in his words: “The roots of Q(x) = 0 are not in general explicit algebraical functions of the coefficients, and cannot as a rule be determined in any explicit form. The method of partial fractions is therefore subject to serious limitations” (§3, p. 15). §4 credits Hermite with finding the rational part without the roots: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter IV, §§1–4.
The arctangent as a logarithm: Example 2.1 (p. 4) checks by differentiation that 2i tan⁻¹(x), plus a constant, is a logarithm of the non-vanishing function (x − i)/(x + i), and why that matters: allowing only real exponentials and logarithms, 1/(1 + x²) would not be elementarily integrable at all (p. 7): B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), §2, Example 2.1, and §3, p. 7.
Why x⁵ − x − 1 has Galois group S₅: Dedekind's theorem turns a factorisation mod p into distinct irreducibles of degrees d₁, …, dₘ into a permutation of cycle type (d₁, …, dₘ) in the Galois group, and Theorem 2.1 says “a transitive subgroup of Sₙ that contains a transposition and a p-cycle for some prime p > n/2 is Sₙ”. The page supplies the factorisations (irreducible mod 5; (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) mod 2) and its check verifies them: K. Conrad, “Recognizing Galois groups Sₙ and Aₙ”, expository note, University of Connecticut, §1 and Theorem 2.1.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。