三角関数の積分

sinやcosの奇数乗は、一度の置換で積分できます。偶数乗では、まず公式を使って式を変形します。その違いは、一周期の面積を見るとわかります。x = sin θと置けば、√(1 − x²)を円の上で捉えられ、答えの各項が図のどの部分にあたるかも見えてきます。例題を一つずつたどってから、自分でも解いてみましょう。

偶数乗：半角の公式を使う	$\begin{aligned}\sin^{2}x&=\tfrac12\left(1-\cos2x\right)\\ \cos^{2}x&=\tfrac12\left(1+\cos2x\right)\end{aligned}$
奇数乗：因数を一つ du に回す	$\begin{aligned}\sin^{2k+1}x&=\left(1-\cos^{2}x\right)^{k}\sin x\\ u&=\cos x\end{aligned}$
a² ± x² の根号	$\begin{aligned}\sqrt{a^{2}-x^{2}}&:\ x=a\sin\theta\\ \sqrt{a^{2}+x^{2}}&:\ x=a\tan\theta\end{aligned}$

計算例 — 三角関数の積分

0からbまでの面積	0.0000
一周期の面積：0から2π	0.0000
一周期の平均値 c₀	0.0000
xᵏ√(1 − x²)の下の面積：0からX	0.5618
θで表した同じ面積	0.5618
角度の項 c₀·θ	0.3218
代数的な項：残りの部分	0.2400

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レッスン

理論 — 三角関数の積分

三角関数の積分では、sin xとcos xのべき乗の積を扱います。三角関数による置換を使うと、二次式の平方根を含む積分も、この形に直せます。√(a² − x²)にはx = a sin θ、√(x² + a²)にはx = a tan θ、√(x² − a²)にはx = a sec θを使い、いずれも直角三角形の辺の比から式を読み取ります。指数に奇数があれば、その三角関数の因子を一つ取り出し、もう一方の三角関数で置換して積分します。指数がすべて偶数なら、半角の公式sin²x = ½ − ½cos 2x、cos²x = ½ + ½cos 2xで、まず次数を下げます。

各記号の意味

θ: 置換に使う角度。x = a sin θでは−π/2からπ/2の範囲に取り、この範囲でcos θ ≥ 0なので、√(a² − x²) = a cos θとなる
c₀: sinᵐx·cosⁿxの一周期の平均値。mまたはnが奇数なら0、両方とも偶数なら(m − 1)!!·(n − 1)!!/(m + n)!!。ここでn!! = n(n − 2)(n − 4)…は1または2までの積で、0!! = (−1)!! = 1と定める

公式の導き方

偶数乗で原始関数が増えていく理由。 sinᵐx·cosⁿxの原始関数Fについて、F(x + 2π) − F(x)は、xによらず一周期の面積2π·c₀に等しくなります。したがってF(x) − c₀·xは周期2πの関数です。u = cos xやu = sin xという置換で得られるのは、cos xだけ、あるいはsin xだけで表される関数で、それ自体が周期2πを持ちます。この置換だけで原始関数を求められるのはc₀ = 0、つまり指数に奇数がある場合に限ります。
$F(x+2\pi)-F(x)=\int_{x}^{x+2\pi}\sin^{m}t\cos^{n}t\,dt=2\pi c_0\ \Rightarrow\ F(x)-c_0x=F(x+2\pi)-c_0(x+2\pi)$

全プロセスの詳細解説

sin の奇数乗 3 ステップ
∫sin³x dx を求めます。

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1. du 用に sin x を一つ残し、残りの二つを cos に変えます：
  
  $\sin^{3}x=\left(1-\cos^{2}x\right)\sin x,\qquad u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx$
2. u の多項式：
  
  $\int\left(1-u^{2}\right)(-du)=-u+\frac{u^{3}}{3}$
3. x に戻します：
  
  $-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$
解答

−cos x + cos³x/3 + C. du = −sin x dx には負の符号が付きます。これを見落とすとすべての項の符号が反転してしまい、ツールから符号の間違いと判定されます。

$\int\sin^{3}x\,dx=-\cos x+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$
cos の奇数乗と sin の偶数乗 2 ステップ
∫sin²x cos³x dx を求めます。

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1. 奇数乗になっているのは cos なので、du 用に cos x を一つ残し、残りをすべて sin で表します：
  
  $\sin^{2}x\cos^{3}x=\sin^{2}x\left(1-\sin^{2}x\right)\cos x,\qquad u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx$
2. u = sin x の多項式：
  
  $\int\left(u^{2}-u^{4}\right)du=\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}$
解答

sin³x/3 − sin⁵x/5 + C. 奇数乗になっている側が置換の方針を決めます。両方とも奇数乗なら、どちらを選んでも構いません。

$\int\sin^{2}x\cos^{3}x\,dx=\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C$
ともに偶数乗：半角の公式を二度使う 3 ステップ
∫sin²x cos²x dx を求めます。

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1. du に充てられる奇数乗がありません。まずは倍角の公式から：
  
  $\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x\ \Rightarrow\ \sin^{2}x\cos^{2}x=\tfrac14\sin^{2}2x$
2. 続いて sin²2x に半角の公式を使います：
  
  $\tfrac14\sin^{2}2x=\tfrac18\left(1-\cos4x\right)$
3. 項ごとに積分します：
  
  $\int\tfrac18\left(1-\cos4x\right)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin4x}{32}+C$
解答

x/8 − sin 4x/32 + C. x/8 は偶数乗の積分特有の上昇分で、x が 1 単位進むごとに 1/8 ずつ伸びていきます。これを忘れると、導関数が全体で 1/8 不足しているとツールから指摘されます。

$\int\sin^{2}x\cos^{2}x\,dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin4x}{32}+C$
異なる二つの周波数：積和の公式 3 ステップ
∫sin 3x cos x dx を求めます。

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1. x の倍数が異なる sin と cos の積は、姿を変えた和にほかなりません：
  
  $\sin A\cos B=\tfrac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$
2. A = 3x、B = x とおくと：
  
  $\sin3x\cos x=\tfrac12\left(\sin4x+\sin2x\right)$
3. それぞれの sin を積分します：
  
  $\int\tfrac12\left(\sin4x+\sin2x\right)dx=-\frac{\cos4x}{8}-\frac{\cos2x}{4}+C$
解答

−cos 4x/8 − cos 2x/4 + C. 公式にある ½ は、もっとも見落としやすい係数です。これを忘れると答えが二倍に膨らんでしまい、ツールからもそう指摘されます。

$\int\sin3x\cos x\,dx=-\frac{\cos4x}{8}-\frac{\cos2x}{4}+C$
まずは恒等式から 2 ステップ
∫tan²x dx を求めよ。

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1. tan²x は直接積分できませんが、sec²x なら原始関数が分かっています：
  
  $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$
2. 項ごとに積分します：
  
  $\int\left(\sec^{2}x-1\right)dx=\tan x-x+C$
解答

tan x − x + C。tan x と書くだけでは −1 を忘れてしまいます。ツール上では、導関数がすべての点で 1 大きくなってしまいます。

$\int\tan^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
√(1 − x²)：円上に x をとる 3 ステップ
∫x²/√(1 − x²) dx を求めよ。

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1. x = sin θ とおくと、根号が cos θ に変わります：
  
  $x=\sin\theta,\quad dx=\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta$
2. cos が約分され、sin の偶数乗が残ります：
  
  $\int\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\cos\theta\,d\theta=\int\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}$
3. sin 2θ = 2 sin θ cos θ を用いて、x の式に戻します：
  
  $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2x\sqrt{1-x^{2}}\ \Rightarrow\ \frac{\arcsin x}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+C$
解答

(arcsin x − x√(1 − x²))/2 + C。『三角形と扇形』の解説ブロックにある通り、arcsin は扇形、もう一方の項は三角形を表します。ここでは三角形が引き算されています。

$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\frac{\arcsin x-x\sqrt{1-x^{2}}}{2}+C$
x² + a²：接線上に x をとる 3 ステップ
∫dx/(x² + 4)^3/2 を求めよ。

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1. x = 2 tan θ とおくと、x² + 4 = 4 sec²θ となります：
  
  $x=2\tan\theta,\quad dx=2\sec^{2}\theta\,d\theta,\quad x^{2}+4=4\sec^{2}\theta$
2. 大半が約分で消えます：
  
  $\int\frac{2\sec^{2}\theta}{8\sec^{3}\theta}\,d\theta=\frac14\int\cos\theta\,d\theta=\frac{\sin\theta}{4}$
3. 対辺が x、隣辺が 2、斜辺が √(x² + 4) の直角三角形から、x の式に戻します：
  
  $\tan\theta=\frac{x}{2}\ \Rightarrow\ \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\ \Rightarrow\ \frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C$
解答

x/(4√(x² + 4)) + C。¼ は 2/8 から出てきたものです。これを忘れると、ツール上では導関数が被積分関数の 4 倍になってしまいます。

$\int\frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}}=\frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}}+C$
漸化式で求めるsin⁸xの一周期の面積 4 ステップ
このページで選べる指数の上限は6です。sin⁸xの一周期の面積と、原始関数が沿って増える直線の傾きを求めましょう。 漸化式で求めるsin⁴xを押すと、sin⁴xの面積は2.3562、平均値は0.3750と表示されます。

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1. sinⁿx = sinⁿ⁻¹x·sin xと書き、u = sinⁿ⁻¹xとして部分積分します。一周期では境界項−sinⁿ⁻¹x cos xが0になります。さらにcos²x = 1 − sin²xを使うと右辺にもIₙが現れるので、Iₙについて解きます。
  
  $I_n=\int_{0}^{2\pi}\sin^{n}x\,dx=\Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_{0}^{2\pi}+(n-1)\int_{0}^{2\pi}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx\ \Rightarrow\ I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$
2. 一周期にわたる定数1の積分I₀ = 2πから出発し、偶数の指数を順にたどります。I₄はこのページに表示される値です。
  
  $I_0=2\pi,\qquad I_2=\tfrac12\cdot2\pi=\pi,\qquad I_4=\tfrac34\cdot\pi=\tfrac{3\pi}{4}=2{.}3562$
3. あと二段階でsin⁸xまで進めます。
  
  $I_6=\tfrac56\cdot\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{8}=1{.}9635,\qquad I_8=\tfrac78\cdot\tfrac{5\pi}{8}=\tfrac{35\pi}{64}=1{.}7181$
4. 原始関数が沿って増える直線の傾きは、一周期の面積を2πで割った値です。
  
  $c_0=\frac{I_8}{2\pi}=\frac{35}{128}=0{.}2734$
解答

一周期の面積は35π/64 ≈ 1.7181、傾きは35/128 ≈ 0.2734です。 漸化式を一段階進めるたびに(n − 1)/nを掛けるので、平均値は小さくなっていきます。その大きさはおよそ√(2/(πn))で、n = 8では0.2821となり、実際の値0.2734に近い値です。同じ漸化式を四分の一周期の区間で使うと、奇数乗も計算できます。その出発点はπ/2ではなく1です。各偶数乗の積分値を両隣の奇数乗の積分値で挟み、比を取っていくと、ジョン・ウォリスの公式π/2 = (2·2·4·4·6·6…)/(1·3·3·5·5·7…)が得られます。ウォリスは四分円の面積∫₀¹√(1 − x²) dxを求める研究の中でこの公式を見いだし、Arithmetica infinitorum（1656）に記しました。

$\int_{0}^{2\pi}\sin^{8}x\,dx=\tfrac{35\pi}{64}\approx1{.}7181,\qquad c_0=\tfrac{35}{128}\approx0{.}2734$

補充問題（答えのみ）

∫ sin²x dx を求めなさい。

答えを表示

x/2 − sin 2x/4 + C。sin²x = (1 − cos 2x)/2 を用いる。

$\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$
∫ tan³x sec²x dx を求めなさい。

答えを表示

tan⁴x/4 + C。tan x を微分すると sec²x になるので、u = tan x とおく。

$\tfrac14\tan^{4}x+C$
∫ sin 5x sin 2x dx を求めなさい。

答えを表示

sin 3x/6 − sin 7x/14 + C。積和の公式 sin A sin B = ½(cos(A − B) − cos(A + B)) を用いる。

$\frac{\sin3x}{6}-\frac{\sin7x}{14}+C$
∫ √(4 − x²) dx を求めなさい。

答えを表示

2 arcsin(x/2) + x√(4 − x²)/2 + C。x = 2 sin θ とおいて積分する。

$2\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}+C$
∫₀^π/2 cos³x dx の値を求めなさい。

答えを表示

2/3。cos³x = (1 − sin²x) cos x と変形し、u = sin x とおく。

$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,dx=\tfrac23$

奇数乗は一周期で打ち消し合い、偶数乗は面積が積み重なる

sin³xの一周期を押してみましょう。πから2πまでのsin³xのグラフは、0からπまでのグラフを上下に裏返した形です。一周期の正負の面積が打ち消し合い、合計は0.0000になります。原始関数cos³x/3 − cos xも、2πごとに元の値へ戻ります。u = cos xやu = sin xで得られる答えは、すべてこの性質を持ちます。cos xだけ、あるいはsin xだけで表される関数は、2πごとに同じ値を取るためです。次にsin²x：抜けたxの項を押してみましょう。sin²xは常に0以上で、一周期ごとにπ = 3.1416の面積が加わります。その原始関数も、直線x/2に沿って一周期ごとにπずつ増える必要があります。cos xだけで表される関数ではこの増分を持てず、u = cos xという置換では答えを求められません。半角の公式sin²x = ½ − ½cos 2xを使うと、定数項½の積分から、必要なx/2が得られます。練習欄に入力されている−sin(2x)/4は、このx/2を落とした式です。微分して確認すると、どの点でも½だけ足りません。表には指数6までの一周期の増分を示しています。奇数乗ではすべて0、偶数乗ではπ、3π/4、5π/8です。

∫√(1 − x²)の二つの項は、三角形と扇形の面積

三角形と扇形を押してみましょう。√(1 − x²)のグラフは単位円の上半分です。0からxまでの面積は円の一部で、点(x, √(1 − x²))へ引いた半径が、その部分を二つに分けます。半径の下には、直角を挟む辺がxと√(1 − x²)の直角三角形があり、面積はx√(1 − x²)/2です。その隣には中心角θ = arcsin xの扇形があり、面積はθ/2になります。x = 0.6では、それぞれ0.2400と0.3218。合わせると0.5618です。原始関数(x√(1 − x²) + arcsin x)/2の各項が、この二つの面積にそのまま対応しています。θで表すと、被積分関数は偶数乗のcos²θです。高さ½の破線より下の帯の面積θ/2が扇形にあたり、cos²θの残りの部分を積分したsin 2θ/4が三角形にあたります。Xを1まで動かしてみましょう。三角形はつぶれて面積がなくなり、扇形は四分円になります。その面積はπ/4 = 0.7854。被積分関数にないπが現れるのは、arcsin 1が角度を表すためです。

∫₀¹ xᵏ√(1 − x²) dxにπが現れるのは、kが偶数のとき

角度を使わずにを押してみましょう。x√(1 − x²)の0から1までの面積は、1/3にあたる0.3333で、下のグラフの角度の項は0.0000です。平方根の前のxは、1 − x²の導関数の−½倍なので、u = 1 − x²という置換だけで積分できます。練習欄で正解となる−(1 − x²)^(3/2)/3にも、arcsinは含まれていません。被積分関数のボタンを順に押してみましょう。k = 0, 2, 4では面積にπが現れ、値はπ/4, π/16, π/32です。k = 1, 3, 5では現れず、1/3, 2/15, 8/105になります。最初の図で見た指数の偶奇が、円の上でも働いています。x = sin θと置くと、xᵏ√(1 − x²) dxはsinᵏθ·cos²θ dθになります。kが奇数ならsinの奇数乗が残り、一周期の平均値は0です。原始関数にθの項は現れません。arcsin xも、x = 1でのπも、このθの項からしか生まれません。√(1 − x²)にxの奇数乗が掛かっていれば、三角形を使わずに積分できます。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (3)

The strategy for ∫cosʲx·sinᵏx: if k is odd, keep one sin x and write the rest in cos x with sin²x = 1 − cos²x, then u = cos x; if j is odd, the same with the roles swapped and u = sin x; if both are even, the half-angle identities sin²x = ½ − ½cos 2x and cos²x = ½ + ½cos 2x. Example 3.10 integrates sin²x to x/2 − sin(2x)/4: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.2, “Trigonometric Integrals”.
The three substitutions and their reference triangles: x = a sin θ with −π/2 ≤ θ ≤ π/2, where cos θ ≥ 0 so the root is a cos θ (Example 3.21 integrates √(9 − x²) this way); x = a tan θ; x = a sec θ, where the root is |a tan θ| and changes sign between x ≥ a and x ≤ −a. The strategy for √(a² − x²) begins by advising a check that the integral cannot be done more easily, naming x√(a² − x²) as one u-substitution handles, and Example 3.23 does x³√(1 − x²) both ways: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.3, “Trigonometric Substitution”.
Wallis's product π/2 = (2·2·4·4·6·6·8·8…)/(1·3·3·5·5·7·7·9…), in Arithmetica infinitorum (1656), found while trying to compute ∫₀¹ (1 − x²)^(1/2) dx, the area of a quarter of the unit circle: he could integrate (1 − x²)ⁿ for whole n and reached the half power by interpolation, a word the book introduced: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “John Wallis”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (2002).

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。