極座標での二重積分

原点を中心とする円と原点から出る半直線で領域を切ると、各セルは円環の一片になり、その面積は中央の半径 × Δr × Δθ です。この中央の半径こそが r dr dθ の r です。どちらかの図でセルを一つ選び、二つの平面での面積を比べてみてください。

極座標での二重積分	$\iint_R f\,dA=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta$
ガウス積分	$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}$

計算例 — 極座標での二重積分

rθ 平面での選んだセル	0.1745
xy 平面での選んだセル	0.16
二重積分	3.1416
r を落とした場合（誤り）	6.2832

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — 極座標での二重積分

極座標での二重積分は、角度 θ と原点からの距離 r で表された領域の上で、面積要素 dA = r dr dθ を使って積分するものです。

各記号の意味

r, θ: 原点からの距離と、正の x 軸から測った角度：x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: セルの中央の半径、r 方向の幅、θ 方向の幅

公式の導き方

領域を極座標のセルに切り分ける。半径 r₁ と r₂、角度 θ と θ + Δθ に挟まれたセルは二つの扇形の差であり、その面積は中央の半径 × Δr × Δθ と因数分解できます。
$\begin{aligned}\Delta A&=\tfrac{1}{2}\left(r_2^{2}-r_1^{2}\right)\Delta\theta\\&=\tfrac{r_1+r_2}{2}\,(r_2-r_1)\,\Delta\theta=\bar r\,\Delta r\,\Delta\theta\end{aligned}$
足し合わせて極限をとる。各セルでの f の値にセルの面積を掛けて足し合わせると、r̄ が r に変わった累次積分に近づきます。r の範囲は θ に依存してかまいません。
$\begin{aligned}\iint_R f\,dA&=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta,\\ x&=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\end{aligned}$
ガウス積分を二乗する。1 変数の積分二つの積は平面上の二重積分になり、極座標に直すと r のおかげで e^(−r²) に式で書ける原始関数ができます。
$\begin{aligned}I^{2}&=\iint_{\mathbb{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\\&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta\\&=2\pi\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\pi\\ I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\end{aligned}$

前提: 領域は、θ が二つの角度の間にあり、各半直線に沿って r が二つの曲線 r₁(θ) ≤ r₂(θ) の間にあるものとします。平面全体での積分は広義積分です。各正方形は二つの円板に挟まれるので、円板を広げても正方形を広げても同じ π が得られます。

全プロセスの詳細解説

円板の面積 2 ステップ
半径 R の円板の面積を極座標の二重積分として求めよ。また、r を忘れると何が得られるか。

この問題をツールで開く
1. 円板は 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π で、dA = r dr dθ：
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta\\&=\int_{0}^{2\pi}\tfrac{R^{2}}{2}\,d\theta=\pi R^{2}\end{aligned}$
2. r がない場合：
  
  $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}dr\,d\theta=2\pi R$
解答

πR²。R = 1 なら 3.1416。r がなければ 2πR、つまり円周の長さで、これは長さです。

$A=\pi R^{2},\qquad R=1:\ A\approx3{.}1416$
カージオイドの内側 2 ステップ
カージオイド r = 1 + cos θ の内側の面積を求めよ。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. [0, 2π] の各 θ について r は 0 から 1 + cos θ まで動き、内側の積分はその上限の二乗の半分です：
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1+\cos\theta}r\,dr\,d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta\end{aligned}$
2. 一周にわたって積分すると、cos θ は 0、cos² θ は π になります：
  
  $\begin{aligned}A&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\right)d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\left(2\pi+0+\pi\right)=\tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}$
解答

3π/2 ≈ 4.7124。

$A=\tfrac{3\pi}{2}\approx4{.}7124$
x と y から r と θ へ 2 ステップ
∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx を計算せよ。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. y は 0 から円 x² + y² = 1 まで、x は 0 から 1 まで動きます。これは単位円板のうち第1象限にある四分の一で、0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2 です。また x² + y² = r²：
  
  $\begin{aligned}&\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx\\&\quad=\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\end{aligned}$
2. 積分すると：
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{4}\,d\theta=\tfrac{\pi}{8}$
解答

π/8 ≈ 0.3927。

$\tfrac{\pi}{8}\approx0{.}3927$
中心が原点にない円板 3 ステップ
円板 x² + y² ≤ 2x 上で ∬ x dA を求め、そこから円板の重心の x 座標を求めよ。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 極座標では境界は r² = 2r cos θ、よって r = 2 cos θ で、r ≥ 0 には cos θ ≥ 0 が必要です。θ は −π/2 から π/2 まで動き、これで円を一周します。θ を一周させると円を二回なぞり、答えが二倍になってしまいます。
  
  $x^{2}+y^{2}\le2x\iff r\le2\cos\theta,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$
2. x = r cos θ とすると：
  
  $\begin{aligned}\iint x\,dA&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\cos\theta}r\cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta\\&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac{8}{3}\cos^{4}\theta\,d\theta=\tfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3\pi}{8}=\pi\end{aligned}$
3. 円板の半径は 1、面積は π：
  
  $\bar x=\frac{\iint x\,dA}{A}=\frac{\pi}{\pi}=1$
解答

∬ x dA = π ≈ 3.1416。よって重心は x = 1、つまり円板の中心にある。

$\iint x\,dA=\pi\approx3{.}1416,\qquad \bar x=1$
球の体積 2 ステップ
半径 R の球の体積を極座標の二重積分として求めよ。
解答を表示
1. 上半分は、円板 r ≤ R の上で z = √(R² − x² − y²) の下にある体積です：
  
  $V=2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta$
2. u = R² − r² とおくと du = −2r dr。この置換がうまくいくのは、面積要素から来た r のおかげです：
  
  $\begin{aligned}V&=2\cdot2\pi\int_{0}^{R^{2}}\tfrac{1}{2}\sqrt{u}\,du\\&=2\pi\cdot\tfrac{2}{3}R^{3}=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}\end{aligned}$
解答

4πR³/3。この章の前のほうで断面から求めた体積と同じです。

$V=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}$
円板上のガウス関数 2 ステップ
半径 R の円板上で ∬ e^(−(x²+y²)) dA を計算し、R → ∞ のときの極限を求めよ。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 極座標では被積分関数は e^(−r²) で、隣にある r のおかげで原始関数が式で書けます：
  
  $\int_{0}^{R}e^{-r^{2}}\,r\,dr=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{R}=\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
2. θ についての積分で 2π 倍になります：
  
  $\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)d\theta=\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
解答

π(1 − e^(−R²))。R = 2 では 3.0841 で、π に近づく。

$\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)\xrightarrow[R\to\infty]{}\pi,\qquad R=2:\ \approx3{.}0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 ステップ
実数直線全体での e^(−x²) の積分が √π であることを示せ。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. −b から b までの積分を I(b) とします。その二乗は正方形 |x|, |y| ≤ b 上の二重積分です：
  
  $\begin{aligned}I(b)^{2}&=\int_{-b}^{b}e^{-x^{2}}dx\int_{-b}^{b}e^{-y^{2}}dy\\&=\iint_{|x|,|y|\le b}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\end{aligned}$
2. 正方形は半径 b の円板を含み、半径 b√2 の円板の中にあります。被積分関数は正なので、問題 6 より：
  
  $\pi\left(1-e^{-b^{2}}\right)\le I(b)^{2}\le\pi\left(1-e^{-2b^{2}}\right)$
3. b → ∞ でどちらの評価も π に近づくので I(b)² も π に近づき、I(b) は正です：
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}I(b)=\sqrt{\pi}$
解答

√π ≈ 1.7725。b = 2 では上下の評価は 3.0841 と 3.1405 で、I(2)² ≈ 3.1123 はその間にある。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\approx1{.}7725$
正規分布の定数 2 ステップ
実数直線全体での e^(−x²/2) の積分を求め、標準正規分布の密度にある係数 1/√(2π) の意味を説明せよ。
解答を表示
1. x = √2 u とおくと dx = √2 du：
  
  $\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx&=\sqrt{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du\\&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\pi}=\sqrt{2\pi}\end{aligned}$
2. √(2π) で割ると全体は 1：
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx=\tfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}}=1$
解答

√(2π)。したがって (1/√(2π)) e^(−x²/2) の全面積は 1 となり、確率密度として必要な条件を満たす。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\pi}$

補充問題（答えのみ）

曲線 r = sin 3θ の花びら一枚分の面積を求めましょう。

答えを表示

π/12 ≈ 0.2618。花びら一枚に対応する範囲は θ = 0 から θ = π/3 です。

$A=\int_{0}^{\pi/3}\tfrac12\sin^{2}3\theta\,d\theta=\frac{\pi}{12}\approx0{.}2618$
単位円板上で ∬ (x² + y²) dA の値を求めましょう。

答えを表示

π/2 ≈ 1.5708。極座標で表した積分 ∫₀^2π ∫₀¹ r² · r dr dθ を計算すると得られます。

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta=\frac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
円環領域 1 ≤ x² + y² ≤ 4 上で ∬ dA/(x² + y²) の値を求めましょう。

答えを表示

2π ln 2 ≈ 4.3552。面積要素 dA に含まれる r が分母の r² と約分され、被積分関数は 1/r になります。

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}\frac{dr}{r}\,d\theta=2\pi\ln2\approx4{.}3552$
曲面 z = 4 − x² − y² の下側で、平面 z = 0 の上側にある部分の体積を求めましょう。

答えを表示

8π ≈ 25.1327。曲面と平面 z = 0 の交線は、円 r = 2 です。

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\left(4-r^{2}\right)r\,dr\,d\theta\\&=8\pi\approx25{.}1327\end{aligned}$
心臓形の曲線 r = 1 + cos θ の内側で、円 r = 1 の外側にある部分の面積を求めましょう。

答えを表示

2 + π/4 ≈ 2.7854。交点での角度は θ = ±π/2 です。この角度の間では、心臓形の曲線が外側の境界になります。

$\begin{aligned}A&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac12\left((1+\cos\theta)^{2}-1\right)d\theta\\&=2+\frac{\pi}{4}\approx2{.}7854\end{aligned}$

r を落とすと、円板の面積が円周の長さになってしまう

単位円板 を押してみてください。r があれば積分は π ≈ 3.1416 ですが、r がないと同じ範囲で 2π ≈ 6.2832、つまり円周の長さが出てきます。これは長さであって面積ではありません。∫∫ dr dθ が測っているのは、円板が rθ 平面で姿を変えた 1 × 2π の長方形です。その平面ではどのセルも同じ面積 Δr Δθ をもちますが、円板の中では中心近くのセルは細い切れ端で、縁のセルは幅広です。半径 r₁ と r₂ の間のセルは二つの扇形の差で、½(r₂² − r₁²)Δθ。これは ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ と因数分解でき、中央の半径 × Δr × Δθ にぴったり等しくなります。縁のセルと中心のセルを順に選び、結果にある二つのセルの行を比べてみてください。何も近似していないので、この円板では n = 1、つまりセルが一つだけでも、格子上の和は π を示します。

忘れがちな r こそが、∫e^(−x²) dx を求めさせてくれる

e^(−x²) には初等的な原始関数、つまり累乗・累乗根・指数関数・対数関数・三角関数から組み立てられる原始関数がありません。1830 年代にリウヴィルが証明したことで、初等関数で表せない積分のページでは彼の判定法を実際に使っています。それでも、実数直線全体での積分はちょうど √π です。この積分を I とおきます。すると I² は ∫e^(−x²) dx と ∫e^(−y²) dy の積、すなわち平面全体での e^(−(x²+y²)) の積分で、極座標に直すと被積分関数 e^(−r²) の隣に r が現れます。r e^(−r²) には原始関数 −½e^(−r²) があるので、内側の積分は ½、θ についての積分がそれを 2π 倍し、I² = π となります。円板上のガウス関数 を押すと、内側の積分の行にその角括弧の値が表示されます。シルヴァヌス・トンプソンによるケルヴィンの伝記（1910 年）には、ケルヴィンがあるときこの結果を黒板に書き、学生たちにこう言ったと記されています。「数学者とは、これが、君たちにとって二かける二が四であるのと同じくらい自明に思える者のことだ。リウヴィルは数学者だった。」

平面全体は正方形の極限なのに、円板でも正しい答えが出る

I² は正方形 |x|, |y| ≤ b の上で定義し、円板の上で計算しました。正方形上のガウス関数 を押してみてください。正方形は半径 b の円板を含み、それ自身は半径 b√2 の円板の中に収まります。e^(−(x²+y²)) は正なので、正方形上の積分は π(1 − e^(−b²)) と π(1 − e^(−2b²)) の間にあります。どちらも π に近づくので、正方形の値も π に近づきます。b = 2 では三つの数は 3.0841、3.1123、3.1405 です。ガウス関数、b = 1 を押すと 1.9859、2.231、2.7164 となり、内側の円板からはみ出した角の部分が正方形の値の 11% を担っています。だからこの議論で求まるのは実数直線全体での積分で、有限区間では上下から挟むことしかできません。−1 から 1 までの ∫e^(−x²) dx は 1.4936 で、円板はこれを √1.9859 ≈ 1.4092 と √2.7164 ≈ 1.6482 の間に挟みます。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。