二次方程式ソルバー

a、b、cを入力してください。係数が整数なら、解を正確な値で表示します。無理数の解は根号を使って表し、下には計算の過程も示します。

解の公式	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
実数解の個数	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
平方完成	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
解と係数の関係	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

計算例 — 二次方程式ソルバー

判別式	1
解	3, 2
頂点	(2.5, −0.25), 最小値
解の和	5
解の積	6

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 二次方程式ソルバー

二次方程式とは、ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の形で表される方程式です。この等式を成り立たせるxの値を解といいます。実数解は、放物線 y = ax² + bx + c とx軸との交点のx座標にあたります。

公式の導き方

xを含む項をaでくくります。括弧の中の先頭の項が、係数のつかないx²になります。
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
平方完成します。xの係数の半分を平方し、その数を括弧の中で足して引きます。平方の項と分けて残った定数が、頂点のy座標です。
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
xについて解きます。式を0とおき、平方の項だけを片側に残します。正負両方の平方根をとって整理すると、解の公式が得られます。
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
判別式の符号を調べます。平方した値は負にならないので、b² − 4ac の符号によって、異なる二つの実数解をもつか、重解をもつか、共役な二つの虚数解をもつかが決まります。
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
根号を残して、正確な値で表します。√Δの中に平方数の因数があれば根号の外に出し、分子の各項と分母に共通の因数があれば約分します。小数で表すのは、問題で求められたときだけです。
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

有名な公式が静かに破綻するとき

教科書通りの公式をそのままコンピュータに計算させると、思わぬ落とし穴があります。b² が 4ac よりも圧倒的に大きいとき、平方根はほぼ |b| と等しくなります。すると、b が正なら -b + √Δ、負なら -b − √Δ のように、二つの解の片方で極めて近い値同士の引き算が生じます。この計算によって有効数字のほとんどが失われる現象を、桁落ちと呼びます。数値計算ライブラリはこの危険を避けるため、まず一方の解を計算し、もう一つの解は c/(a·x₁) として求めます。何百年も昔の代数学と現代の浮動小数点演算との間で生じる、静かなるすれ違いです。

二次方程式の理論 — 解く前に ax² + bx + c を読む

判別式：実数解はいくつか、そしてどちら向きに開くか

解の公式に手をつける前に、2つの数が答えの形を決めています。判別式 Δ = b² − 4ac は実数解の個数を示し、a の符号は放物線がどちらに開くか、頂点が最小点か最大点かを示します。

Δ > 0 — 異なる2つの実数解 Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — 重解（実数解が1つ） Δ = 0

Δ < 0 — 共役な複素数解が2つ Δ < 0

a < 0 — 放物線は下に開く a < 0

Δ > 0 — 異なる2つの実数解

与えられるもの: 判別式 b² − 4ac が正になります。放物線は x 軸を2つの離れた点で横切ります。

解: Δ = b² − 4ac > 0

計算例: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 と x = 3

この場合を開く: 2つの実数解

Δ > 0 — 異なる2つの実数解. Δ > 0：曲線は軸を2回横切り、頂点に関して対称です。判別式 b² − 4ac が正になります。放物線は x 軸を2つの離れた点で横切ります。 — Δ > 0：曲線は軸を2回横切り、頂点に関して対称です。

Δ = 0 — 重解（実数解が1つ）

与えられるもの: 判別式がちょうど0です。放物線は x 軸を横切らず、1点で接します。

解: Δ = 0

計算例: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2（重解）

この場合を開く: 重解

Δ = 0 — 重解（実数解が1つ）. Δ = 0：頂点がちょうど軸上にある — 交差ではなく接触です。判別式がちょうど0です。放物線は x 軸を横切らず、1点で接します。 — Δ = 0：頂点がちょうど軸上にある — 交差ではなく接触です。

Δ < 0 — 共役な複素数解が2つ

与えられるもの: 判別式が負です。放物線は x 軸に届かないので、実数解はありません。

解: Δ < 0

計算例: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

この場合を開く: 複素数解

Δ < 0 — 共役な複素数解が2つ. Δ < 0：曲線全体が軸の片側にとどまります。判別式が負です。放物線は x 軸に届かないので、実数解はありません。 — Δ < 0：曲線全体が軸の片側にとどまります。

a < 0 — 放物線は下に開く

与えられるもの: 最高次の係数 a が負です。判別式とは無関係に、曲線が反転して頂点が最大点になります。

解: a < 0

計算例: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2、頂点 (0, 4) が最大

この場合を開く: 下に開く

a < 0 — 放物線は下に開く. a < 0：腕が下を向き、頂点が最大値になります。最高次の係数 a が負です。判別式とは無関係に、曲線が反転して頂点が最大点になります。 — a < 0：腕が下を向き、頂点が最大値になります。

参考文献 (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

全プロセスの詳細解説

平方完成による x² − 5x + 6 = 0 の解法 5 ステップ
平方完成を用いて x² − 5x + 6 = 0 を解きなさい。その上で、解の公式からは見えてこない問いに答えなさい。判別式は解の個数を表しますが、その大きさは何を意味しているのでしょうか？

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1. 平方完成は二次方程式を解くための単なるテクニックではありません。特定の式に対して解の公式の正しさを証明するプロセスそのものです。x の係数を半分にし、それを2乗して足し引きします。現れる 6.25 は最初の2項を完全平方にするための代償であり、同じ式の中で引き戻して補わなければなりません。
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. 頂点形に変形すると変数が1箇所だけになるため、逆算を直接行うことができます。平方の項を孤立させ、平方根をとり、2.5 を足し戻します。公式を使う必要も、暗記する必要もありませんでした。
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. 次に判別式について考えます。ここでは Δ = 1 であり正の値をとるため、2つの実数解が存在します。これはどの教科書にも書かれている内容です。
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. 判別式はさらに2つの場面に現れますが、どちらも明言されることはめったにありません。解同士の間隔は √Δ/|a| となります。なぜなら公式の ± がそれぞれの解に ±√Δ/2a の幅を与えるからです。そして頂点は軸より Δ/4a だけ下に位置します。上のパネルに表示された −0.25 は独立した結果ではなく、判別式を4で割った値そのものなのです。
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. 解と係数の関係がこの一連の流れを締めくくります。a(x − x₁)(x − x₂) を展開し、ax² + bx + c と各項を比較すれば、方程式を解くことなく解の和と積が自然に導かれます。
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
解答

解は x = 2 および x = 3 であり、ツールは同じ平方完成から頂点を (2.5, −0.25) と表示します。ここでの最大の収穫は、1つの数値が3つの独立した事実を支配しているという点です。Δ = 1 は解を実数にし、解同士をちょうど 1 だけ離し、頂点を軸からちょうど 0.25 だけ下に落とします。c を 6.25 に向かって大きくしていくと、これら3つが連動して変化するのが分かります。解は内側にスライドし、間隔は √Δ に従って縮まり、放物線は Δ = 0 で軸に接するまで上昇します。これらは3つの偶然などではなく、1つの量を3つの視点から捉えたものなのです。

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
解の公式で、根号を含む解を求める 4 ステップ
2x² − 3x − 4 = 0 を解き、解を正確な値で表しなさい。

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1. a、b、cの値を、符号も含めて読み取ります。この問題で最も失点しやすいところです。
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. まず判別式を求めます。正の数で、平方数ではありません。したがって、実数解は二つあり、どちらも無理数です。
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. 解の公式に代入します。41には平方数の因数がないので、√41はそのままにします。
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. 小数に直すのは最後。問題で求められたときだけでかまいません。
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
解答

x = (3 ± √41)/4。小数では、およそ2.3508と−0.8508です。

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
a ≠ 1 のときの平方完成 4 ステップ
2x² − 8x + 5 を a(x + p)² + q の形に変形し、y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点を求めなさい。また、2x² − 8x + 5 = 0 を解き、解を正確な値で表しなさい。

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1. xを含む項だけを2でくくります。5は括弧の外に残します。
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. −4の半分は−2です。これを平方した数を括弧の中で足して引き、括弧内の−4にも外の2を掛けます。
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. 平方した値は負になりません。括弧の中が0のとき、最小値−3をとります。
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. 平方完成した式を0とおけば、あとは平方根をとるだけです。
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
解答

2(x − 2)² − 3。頂点は(2, −3)で、ここで最小値をとります。解はx = (4 ± √6)/2です。

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
定数の値と重解 4 ステップ
x² + kx + 9 = 0 が重解をもつとき、kの値を求めなさい。また、異なる二つの実数解をもつときのkの範囲を求めなさい。

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1. 重解をもつ条件は、判別式が0になることです。kを使って式を立てます。
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. kについて解きます。
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. 求めた値の一方を確かめましょう。k = 6 のとき、左辺は一次式の平方になり、解は−3だけです。
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. 異なる二つの実数解をもつ条件は、判別式が正になることです。kの範囲は、今求めた二つの値の外側になります。
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
解答

重解をもつのはk = 6 または k = −6のとき。異なる二つの実数解をもつのはk < −6 または k > 6のときです。

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
実数解をもたない方程式 3 ステップ
x² + 2x + 5 = 0 が実数解をもたないことを示し、複素数の範囲で解きなさい。

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1. 判別式は負です。
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. 平方完成すると、その理由が見えてきます。左辺は常に4以上なので、0にはなりません。放物線は全体がx軸より上にあります。
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. √−16 = 4i とすれば、ここでも解の公式が使えます。二つの解は互いに共役な複素数です。
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
解答

Δ = −16 < 0なので、実数解はありません。複素数の範囲での解はx = −1 ± 2iです。

$x=-1\pm2i$
置き換えると二次方程式になる 3 ステップ
x⁴ − 5x² + 4 = 0 を解きなさい。

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1. xを含む項はx²とx⁴だけで、x⁴は(x²)²と書けます。x²を別の文字に置き換えましょう。
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. これで、uについての二次方程式になりました。このツールで解けます。
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. xに戻します。uの正の値それぞれに対して、xの値は二つずつあります。
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
解答

x = −2, −1, 1, 2。

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
解から二次方程式を作る 3 ステップ
2 + √3 と 2 − √3 を解にもつ、整数係数の二次方程式を求めなさい。

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1. 解の和を求めると、根号を含む項が打ち消し合います。
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. 解の積には、平方の差の公式が使えます。こちらも根号が消えます。
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. 最高次の係数が1の二次方程式は、x² − (解の和)x + (解の積) = 0 と表せます。
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
解答

x² − 4x + 1 = 0。

$x^{2}-4x+1=0$
ボールの運動と、条件に合わない解 4 ステップ
ボールを投げたところ、t秒後の高さhメートルは h = 1.5 + 14t − 4.9t² で表されました。地面に着くのは何秒後ですか。また、最高で何メートルまで上がりますか。

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1. 地面に着くときは h = 0 です。次数の高い順に並べると、a = −4.9、b = 14、c = 1.5 と読み取れます。
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. 判別式を求めます。
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. 解の公式から、二つの解が得られます。負の解は投げる前の時刻を表します。このモデルが扱う時間の範囲外なので、答えには含めません。
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. 最高点はグラフの頂点です。aが負なので、ここで最大値をとります。
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
解答

地面に着くのは約2.96秒後です。t ≈ 1.43秒のとき、最高の高さ11.5メートルに達します。

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

補充問題（答えのみ）

x² + 4x − 7 = 0 を解き、解を根号を使って表しなさい。

答えを表示

x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
x² − 6x + 11 を (x − p)² + q の形に変形し、最小値を求めなさい。

答えを表示

(x − 3)² + 2。x = 3 のとき、最小値2

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
2x² − 4x + k = 0 が重解をもつとき、kの値を求めなさい。

答えを表示

k = 2

$k=2$
x² + 2kx + 9 = 0 が実数解をもたないとき、kの範囲を求めなさい。

答えを表示

−3 < k < 3

$-3<k<3$
3x² − 5x − 2 = 0 を解きなさい。

答えを表示

x = 2 または x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
x² + 6x + 13 = 0 を解きなさい。

答えを表示

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0 を解きなさい。

答えを表示

x = 1 または x = 2

$x=1,\ \ x=2$

学習の道すじ

二次式を超えて

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。