有理関数エクスプローラー

f(x) = k(x − z)/(x − p) の零点と極をグラフ上で動かしてみましょう。z、p、k の値を直接指定することもできます。下には、切片と漸近線を求める計算が表示されます。

垂直漸近線	$Q(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a$
グラフの穴	$\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)$
水平漸近線	$\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}$
斜めの漸近線	$\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}$
このページで扱う関数	$k\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}$

計算例 — 有理関数エクスプローラー

x切片	1
垂直漸近線	−2
水平漸近線	1
y切片	−0.5
定数項を分けた形	1 − 3/(x + 2)
\|z − p\|	3

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 有理関数エクスプローラー

多項式どうしの商 P(x)/Q(x) で表される関数を有理関数といいます。Q(x) = 0 となる点では定義されません。

公式の導き方

因数分解して約分します。分子と分母に共通する因数があれば、約分できます。その因数が零になる点で、約分後の分母が零でなければ、グラフには穴ができます。約分後の関数にはそこで値がありますが、元の関数にはありません。
$\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}$
約分後も分母の零点として残る位置に、垂直漸近線があります。その近くでは関数値の絶対値が限りなく大きくなり、符号はどちら側から近づくかによって決まります。
$\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}$
切片を求めます。約分後の分子の零点のうち、元の分母が零にならないものがx切片です。y切片は f(0) で求められます。
$x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2$
遠方での振る舞いは、次数を比べます。分子と分母を x の最高次数のべきで割ると、極限がわかります。分母の次数が高ければ 0、次数が等しければ最高次の係数の比に近づきます。
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)$
分子の次数がひとつ高ければ、斜めの漸近線があります。割り算で得られる商が、曲線の近づく直線を表します。余りを Q で割った項は 0 に近づきます。
$\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2$

ゼロ点を極に重ねると発散が消える

ゼロ点をドラッグして極のちょうど上に置くと、奇妙なことが起こります。曲線は発散をやめ、水平な直線に平らになるのです。z = p のとき、因子 (x − z) が分母をそのまま約分し、どこでも定数 k が残ります。ただし x = p は例外で、元の式はそこで依然としてゼロ除算になります。つまりグラフは 1 点だけ抜き取られた直線であり、このツールは漸近線ではなく (p, k) にある穴を報告するようになります。分母の根が極になるのは、分子がそれを約分しない場合だけです。そうでなければ、それはどんな拡大率でも見えない除去可能な穴です。

極が無限になるのは見方しだい

(ax+b)/(cx+d) と書けば、零点一つと極一つをもつ関数はどれもメビウス変換 — 複素解析と双曲幾何を支配する写像です。無限遠点を一つ加える(リーマン球面)と、極はもはや破綻ではありません。x=p はその新しい点へ、x=∞ は水平漸近線 y=k へ写るだけです。球面上では関数はなめらかで可逆な全単射 — 「爆発」は平面地図の見かけにすぎません。

有理関数 — グラフはどこで発散し、どこで落ち着くのか

あなたはどの有理関数のケースにいますか？

f(x) = k(x − z)/(x − p) に入っている数は三つだけで、それぞれがグラフの特徴を一つずつ受け持ちます。零点 z は曲線が軸を横切る場所。極 p は分母が消えて曲線が無限へ走り去る場所。ゲイン k はどちらからも遠いところで落ち着く高さ。この三つを式から読み取れば、点を一つも打たないうちにグラフの下描きは終わっています。

よく離れている — 垂直漸近線が 1 本、水平が 1 本、交点が 1 つ x = p, y = k

極と零点が近い — 二つの間に激しい尖り |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

ゲインが負 — 骨組みは同じで枝だけ入れ替わる k < 0 ⇒ f → −f

極と零点がほとんど重なる — ほとんど穴 (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

よく離れている — 垂直漸近線が 1 本、水平が 1 本、交点が 1 つ

わかっていること: 極と零点がほどよく離れている場合。垂直漸近線は x = p に立ち、水平漸近線は y = k、曲線は x = z で軸を横切ります。

特徴: x = p, y = k

計算例: f(x) = (x − 1)/(x + 2)：漸近線は x = −2、交点は x = 1、そして遠方では両側とも f → 1。x = 0 では値は −0.5 です。

このケースを開く: 基本

よく離れている — 垂直漸近線が 1 本、水平が 1 本、交点が 1 つ. 極とゲインが 2 本の漸近線を引き、零点が曲線の交わる場所を決めます。極と零点がほどよく離れている場合。垂直漸近線は x = p に立ち、水平漸近線は y = k、曲線は x = z で軸を横切ります。 — 極とゲインが 2 本の漸近線を引き、零点が曲線の交わる場所を決めます。

極と零点が近い — 二つの間に激しい尖り

わかっていること: 形は同じですが、極が零点の近くにあります。曲線は短い距離で軸から無限まで行かねばならず、そのぶん急に立ち上がります。

特徴: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

計算例: f(x) = 1.4(x − 0.5)/(x − 0.2)：0.2 の極は 0.5 の零点からわずか 0.3 で、遠方の値が 1.4 なのに f(0) はすでに 3.5 です

このケースを開く: 急な極

極と零点が近い — 二つの間に激しい尖り. 極と零点の間隔が狭いと、曲線は細く急な行き来を強いられます。形は同じですが、極が零点の近くにあります。曲線は短い距離で軸から無限まで行かねばならず、そのぶん急に立ち上がります。 — 極と零点の間隔が狭いと、曲線は細く急な行き来を強いられます。

ゲインが負 — 骨組みは同じで枝だけ入れ替わる

わかっていること: k が負だと曲線全体が横軸に関して裏返ります。漸近線の位置は動かず、枝がどの隅を占めるかが変わります。

特徴: k < 0 ⇒ f → −f

計算例: f(x) = −(x + 1.5)/(x − 1.2)：漸近線は x = 1.2、交点は x = −1.5、水平漸近線は y = −1、そして f(0) = 1.25

このケースを開く: 負のゲイン

ゲインが負 — 骨組みは同じで枝だけ入れ替わる. 漸近線は元の位置のままですが、どの枝も反対側へ移っています。 k が負だと曲線全体が横軸に関して裏返ります。漸近線の位置は動かず、枝がどの隅を占めるかが変わります。 — 漸近線は元の位置のままですが、どの枝も反対側へ移っています。

極と零点がほとんど重なる — ほとんど穴

わかっていること: z と p がごく近いと、因子はほとんど約分されます。その近傍を離れれば関数は定数 k に近く、極は針のように細い尖りとして生き残ります。

特徴: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

計算例: f(x) = (x − 1)/(x − 1.12)：間隔はわずか 0.12 なので f(0) = 0.893 と遠方の値 1 に近く、それでも x = 1.12 の漸近線は依然として存在します

このケースを開く: ほぼ約分

極と零点がほとんど重なる — ほとんど穴. ほとんどどこでも定数、ただし極がなお勝つ狭い窓だけは別です。 z と p がごく近いと、因子はほとんど約分されます。その近傍を離れれば関数は定数 k に近く、極は針のように細い尖りとして生き残ります。 — ほとんどどこでも定数、ただし極がなお勝つ狭い窓だけは別です。

全プロセスの詳細解説

切片と漸近線 5 ステップ
f(x) = 2(x − 3)/(x + 1) の切片と漸近線を求めなさい。また、漸近線を基準に、曲線の枝がどの領域にあるか答えなさい。

この問題をツールで開く
1. 零点：x = 3 で分子が 0 になり、分母は 0 になりません。
  
  $2(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3$
2. 垂直漸近線：x = −1 で分母が 0 になります。
  
  $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$
3. 水平漸近線：分子と分母を x で割ります。
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)$
4. y切片：x = 0 を代入します。
  
  $f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6$
5. 定数項を分けると、枝の位置がわかります。x + 1 を分母にもつ項は −1 の右側で負になるので、右の枝は y = 2 より下、左の枝はその上にあります。
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}$
解答

零点は x = 3、y切片は −6、漸近線は x = −1 と y = 2 です。f(x) = 2 − 8/(x + 1) と表せるので、枝は漸近線を基準に左上と右下にあります。

$f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2$
グラフの穴 3 ステップ
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2) のグラフに穴があればその位置を求め、漸近線と切片も求めなさい。
解答を表示
1. 分子と分母をそれぞれ因数分解します。共通因数は x − 2 です。
  
  $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$
2. 共通因数を約分します。元の関数は x = 2 で定義されませんが、約分後の式から穴のy座標が求められます。
  
  $=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43$
3. 約分後の分母 x + 1 から垂直漸近線、分子 x + 2 から零点がわかります。分子と分母の次数が等しいことから、水平漸近線も求められます。
  
  $\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}$
解答

穴は (2, 4/3)、漸近線は x = −1 と y = 1、零点は x = −2、y切片は 2 です。

$\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2$
次数から求める水平漸近線 3 ステップ
(a) (3x + 1)/(x² + 1)、(b) (6x² − x)/(2x² + 5)、(c) x³/(x² + 1) に水平漸近線があれば、求めなさい。
解答を表示
1. (a) 分母の次数のほうが高くなっています。
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0$
2. (b) 次数が等しいので、最高次の係数の比を求めます。
  
  $\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3$
3. (c) 分子の次数がひとつ高いので、水平漸近線はありません。割り算をすると斜めの漸近線が求められます。
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}$
解答

(a) y = 0、(b) y = 3、(c) 水平漸近線はありません。曲線は y = x に近づきます。

$y=0;\qquad y=3;\qquad y=x$
斜めの漸近線 3 ステップ
f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1) の漸近線を求めなさい。
解答を表示
1. 分子の次数が分母よりひとつ高いので、割り算をします。
  
  $x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}$
2. 余りを分母で割った項は、x が正負どちらの方向に大きくなっても 0 に近づきます。
  
  $\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)$
3. x = −1 で分母は 0 になりますが、分子は −1 なので、0 にはなりません。
  
  $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0$
解答

垂直漸近線は x = −1、斜めの漸近線は y = x + 2 です。

$x=-1;\qquad y=x+2$
水平漸近線との交点 2 ステップ
f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) のグラフは水平漸近線と交わりますか。交わるなら、その点を求めなさい。
解答を表示
1. 分子と分母の次数が等しいので、水平漸近線は y = 1 です。
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1$
2. f(x) = 1 とおいて解きます。x² の項が消え、一次方程式になります。
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12$
解答

(−1/2, 1) の一点で交わります。水平漸近線が表すのは、x が正負それぞれの方向に限りなく大きくなるときの振る舞いです。

$\left(-\tfrac12,\ 1\right)$
分数不等式 3 ステップ
(x − 3)/(x + 1) > 0 を解きなさい。

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1. 符号が変わる可能性があるのは、零点の 3 と極の −1 だけです。このふたつの点で数直線を三つの区間に分けます。
  
  $x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3$
2. 各区間から一点ずつ選び、符号を調べます。
  
  $\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}$
3. x = 3 では値が 0 となり、0 より大きいという条件を満たしません。x = −1 は定義域に含まれません。
  
  $f(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f$
解答

x < −1 または x > 3

$x<-1\ \ \lor\ \ x>3$
特徴から関数を求める 2 ステップ
垂直漸近線が x = 2、水平漸近線が y = 3、y切片が −3 となる関数 f(x) = k(x − z)/(x − p) を求めなさい。

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1. 垂直漸近線から p、水平漸近線から k が決まります。
  
  $x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3$
2. y切片の条件を使って z を求めます。
  
  $f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2$
解答

f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

$f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}$
水平漸近線 y = 1 に到達する曲線 5 ステップ
f(x) = (x − 1)/(x + 2) は y = 1 に水平漸近線を持つ。この曲線が実際にその漸近線に到達することがあるかどうかを求めよ。

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解答を表示
1. 零点と極は因数分解形からすぐに読み取れる。分子は 1 で 0 になり、分母は −2 で 0 になる。
  
  $f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}$
2. |x| が大きいとき、分子と分母の双方が x の項によって支配されるため、その比は最高次係数の比に近づく。それが水平漸近線であり、ここでの値は 1 である。
  
  $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}$
3. グラフを目視するのではなく、直接問いを立ててみよう。関数を漸近線の値と等しいとおいて方程式を解くのである。
4. x が消去されて −1 = 2 が残るが、これはすべての x について成り立たない（偽である）。したがって、この曲線が y = 1 に到達することはない——どれほど遠くでも、どこにおいてもである。
  
  $\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}$
5. −2 のすぐ右の −1.99 では関数値が −299、すぐ左の −2.01 では +301 になります。垂直漸近線に近づくときは、左右から同じ値に近づくのではなく、互いに逆向きに発散します。
  
  $f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301$
解答

ツールには x 切片が 1、垂直漸近線が −2、水平漸近線が 1 と表示される。心に留めておくべき結果は、水平漸近線は壁ではないということだ。この関数では漸近線と交わることはないが、それはこの関数に関する事実に過ぎず、一般的な規則ではない。分子を x − 1 +（消滅する何か）に変えれば、曲線は水平漸近線と自由に、何度も交差することができる。厳格なのは垂直漸近線のほうである。関数はそこで定義されないため、決して越えることはできない。この2つを混同することがこのテーマで最も多い間違いであり、1行の代数計算で毎回決着がつく。

$\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}$

補充問題（答えのみ）

f(x) = (3x − 6)/(x + 2) の切片と漸近線を求めなさい。

答えを表示

x切片は 2、y切片は −3。漸近線は x = −2 と y = 3。

$x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3$
f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9) のグラフの穴と漸近線を求めなさい。

答えを表示

穴は (−3, 5/6)。漸近線は x = 3 と y = 1。

$\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1$
f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1) の斜めの漸近線を求めなさい。

答えを表示

y = 2x + 3

$y=2x+3$
(x + 2)/(x − 1) ≤ 0 を解きなさい。

答えを表示

−2 ≤ x < 1

$-2\le x<1$
f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7) の水平漸近線を求めなさい。

答えを表示

y = 2

$y=2$

学習の道すじ

二次式を超えて

参考文献 (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。