電場ビジュアライザー

電荷を配置すると、電気力線と等電位線がリアルタイムで形成される様子が見られます。

クーロンの法則：同種の電荷は退け合い、異種は引き合う	$\begin{gathered}F=\frac{k\|q_1q_2\|}{r^{2}}\\ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{.}988\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}\end{gathered}$
電場：単位電荷あたりの力。ベクトルとして合成する	$\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^{2}}\,\hat r_i$
電位とエネルギー：向きのない数値としてそのまま足し合わせる	$\begin{gathered}V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad W=q\,\Delta V\\ U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}\end{gathered}$

計算例 — 電場ビジュアライザー

点Pにおける q1 の電場	0.25
全電荷	1
点Pにおける合成電場	0.25
+x軸からの向き	0°
点Pにおける電位	0.5

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レッスン

理論 — 電場ビジュアライザー

空間のある点における電場とは、そこに置かれた微小な正の試験電荷が受ける力を、その電荷量で割った値です（E = F/q₀）。点電荷 q がつくる電場の大きさは k|q|/r² で与えられ、向きは q が正なら電荷から遠ざかる方向、負なら電荷へ向かう方向を指します。複数の電荷がある場合、それぞれの電場はベクトルとして足し合わされます。

各記号の意味

k: クーロン定数、1/(4πε₀) = 8.988 × 10⁹ N·m²/C²
r_i: 電荷 i から点Pまでの距離
ê_i: 電荷 i が点Pにつくる電場の向きを表す単位ベクトル（大きさ 1）。q_i が正のときは電荷から点Pへ、負のときは点Pから電荷へ向く

公式の導き方

クーロンの法則。二つの点電荷は、両者を結ぶ直線に沿って互いに力を及ぼし合います。その強さは、距離の2乗に反比例して急速に弱まります。
$F=\frac{k|q_1q_2|}{r^{2}}$
試験電荷で割る。力を試験電荷で割ると、その場をつくる電荷自身の性質だけが抽出されます。それこそが電場であり、力を感じる電荷が点Pにあろうとなかろうと、電場は最初からそこに存在しています。
$E=\frac{F}{q_0}=\frac{k|q|}{r^{2}},\qquad\vec F=q_0\vec E$
成分ごとに足し合わせる。個々の電荷が、大きさ E_i と向き ê_i を持った電場をつくります。点Pに現れる緑の矢印が、それらを足し合わせた合成電場です。
$\begin{gathered}E_x=\sum_i E_i\,\hat e_{i,x},\quad E_y=\sum_i E_i\,\hat e_{i,y}\\ |\vec E|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}}\end{gathered}$
電位は向きのない数値として足す。電位 V は電荷の正負を保ちますが、向きを持ちません。幾何学的な打ち消し合いが起こらないのはそのためです。電場は破線で示された等電位面と直交し、V がもっとも急激に減少する向きを指します。
$V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad\vec E=-\nabla V$
エネルギー。電荷 q を点Aから点Bへ運ぶ仕事は、経路にかかわらず q(V_B − V_A) です。すべての電荷を無限遠から運んで配置を組み立てる仕事は、電荷のあらゆるペアについて項を一つずつ足し合わせることで求まります。
$W=q\,(V_B-V_A),\qquad U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}$

前提: すべての電荷は静止し、点とみなせる大きさであるとします。図は電荷を通る平面の断面ですが、電荷そのものは通常の三次元空間における点電荷です。電場は 1/r² で減衰し、電位は 1/r で減少します。

全プロセスの詳細解説

単一の電荷がつくる電場と、その電場が及ぼす力 3 ステップ
原点に +4.0 μC の電荷があります。点P = (2.0 m, 0) における電場と、点Pに置かれた −2.0 μC の電荷に働く力を求めなさい。

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1. クーロンの法則から試験電荷を割ることで、電場の大きさが得られます：
  
  $E=\frac{k|q|}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
2. 正電荷がつくる電場は、電荷自身から遠ざかる向き、すなわち電荷から点Pへ向かう直線の向きを指します：
  
  $\hat e=+\frac{(2{.}0,\,0)}{2{.}0}=(1,\,0)$
3. 点Pの電荷に働く力は、その電荷量と電場の積です。負電荷は電場とは逆向きに力を受けます：
  
  $\vec F=q_0\vec E=(-2{.}0\times10^{-6})(8988)\,\hat x\approx-1{.}798\times10^{-2}\,\hat x\ \mathrm{N}$
解答

+x方向に E = 8,988 N/C、−x方向に F = 1.798 × 10⁻² N。点Pの電場は、4.0 μC の電荷だけが決めているものです。点Pに置く電荷を変えれば受ける力は変わりますが、電場自体は揺らぎません。

$E\approx8988\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad F\approx1{.}798\times10^{-2}\ \mathrm{N}\ (-x)$
直線上に並ぶ二つの電荷 4 ステップ
x = 0 に +2.0 μC、x = 4.0 m に −3.0 μC の電荷があります。x = 1.0 m および x = −2.0 m における電場を求めなさい。

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1. x = 1.0 m におけるそれぞれの電場の大きさです。二つの電荷からの距離は 1.0 m と 3.0 m になります：
  
  $E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(1{.}0)^{2}}\approx1{.}798\times10^{4},\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx2996\ \mathrm{N/C}$
2. 二つの電荷の間では、どちらの電場も同じ向きを向きます。正電荷からは遠ざかり、負電荷へは向かうため、ともに +x方向です。そのまま足し合わされます：
  
  $x=1{.}0:\quad E=E_1+E_2\approx1{.}798\times10^{4}+2996\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x)$
3. 両者の左側にあたる x = −2.0 m では、正電荷の電場は遠ざかる向き（−x方向）、負電荷の電場は引き寄せる向き（+x方向）を指します：
  
  $x=-2{.}0:\quad E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx4494\ (-x),\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx749{.}0\ (+x)$
4. 向きが逆なので互いに引き算となり、より強い側が全体の向きを決めます：
  
  $E\approx4494-749{.}0\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
解答

x = 1.0 m では +x方向に 2.097 × 10⁴ N/C、x = −2.0 m では −x方向に 3,745 N/C。符号の異なる二つの電荷の間では、電場はつねに強め合います。反対向きに相殺し合うのは外側だけであり、電場がゼロになり得るのも外側に限られます（例題4）。

$E(1{.}0)\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad E(-2{.}0)\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
直線上から外れた点：成分による合成 4 ステップ
原点に +3.0 μC、(0, 3.0 m) に −2.0 μC の電荷があります。点P = (4.0 m, 0) における電場の大きさと向きを求めなさい。

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1. 正電荷は x軸に沿って 4.0 m 離れており、点Pにおけるその電場は電荷から遠ざかる +x方向を向きます：
  
  $r_1=4{.}0,\quad E_1=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(4{.}0)^{2}}\approx1685\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_1=(1,\,0)$
2. 負電荷までの距離は、辺の比が 3–4–5 の直角三角形の斜辺にあたる 5.0 m です。電場は点Pからその負電荷へ向かいます。電荷から点Pへ向かう単位ベクトルは (4, −3)/5 なので、電場の向きはその符号を反転させたものになります：
  
  $r_2=\sqrt{4{.}0^{2}+3{.}0^{2}}=5{.}0,\quad E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_2=-\frac{(4,\,-3)}{5}=(-0{.}8,\,0{.}6)$
3. 足し合わせるべきは成分であり、決して大きさ同士ではありません：
  
  $E_x=1685-0{.}8\,(719{.}0)\approx1110,\qquad E_y=0{.}6\,(719{.}0)\approx431{.}4\ \mathrm{N/C}$
4. 合成成分から大きさと偏角を復元します。E_x が正なので、逆正接関数（arctan）から角度がそのまま得られます：
  
  $|\vec E|=\sqrt{1110^{2}+431{.}4^{2}}\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{431{.}4}{1110}\approx21{.}24^{\circ}$
解答

+x軸から上向きに 21.24°、大きさ 1,191 N/C。二つの電場の向きは 143° も開いています。単に大きさ同士を足すと、正しい値の二倍にあたる 2,404 N/C を導いてしまうことになります。

$|\vec E|\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta\approx21{.}24^{\circ}$
電場がゼロになる場所 4 ステップ
x = 0 に +4.0 μC、x = 3.0 m に −1.0 μC の電荷があります。無限遠を除き、x軸上で電場がゼロになる点はどこでしょうか。

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1. 二つの電場が相殺するのは、向きが正反対になる場所に限られます。異種電荷の間では同じ向きを向いてしまうため（例題2）、求める点は外側、それも電気量の絶対値が小さい電荷の側にあります。電荷の小ささを距離の近さで補える場所です。そこでは二つの電場の大きさが等しくなければなりません：
  
  $\frac{k\,(4{.}0)}{x^{2}}=\frac{k\,(1{.}0)}{(x-3{.}0)^{2}}$
2. k を消去し、両辺の平方根をとります：
  
  $\frac{x^{2}}{(x-3{.}0)^{2}}=4\ \Rightarrow\ \frac{x}{x-3{.}0}=\pm2$
3. 複号のそれぞれから解の候補が現れます。電荷の間にある x = 2.0 m では電場の大きさこそ等しいものの、ともに +x方向を向いて強め合ってしまうため、解として不適です：
  
  $x=-2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=2{.}0,\qquad x=2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=6{.}0$
4. x = 6.0 m では、二つの電場は大きさが等しく向きが逆になります：
  
  $x=6{.}0:\quad\frac{k\,(4{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (+x),\qquad\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (-x)$
解答

x = 6.0 m（−1.0 μC の電荷からさらに 3.0 m 離れた位置）。大きさだけを等置する等式は、大きさが一致していても向きが同じ点まで拾い上げてしまいます。余分な解を退けられるのは、ベクトルの向きに対する吟味だけです。

$x=6{.}0\ \mathrm{m}$
三つの電荷のうちの一つに働く力 3 ステップ
(−3.0 m, 0) と (3.0 m, 0) にそれぞれ +2.0 μC の電荷があり、(0, 4.0 m) に三つ目の電荷 +1.0 μC が置かれています。この三つ目の電荷に働く合力を求めなさい。

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1. 三つ目の電荷がある場所に、ほかの二つの電荷がつくる電場を計算します。どちらからの距離も 5.0 m です：
  
  $r=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0,\qquad E_1=E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C}$
2. 対称性から x成分は相殺し、y成分は足し合わされます：
  
  $\hat e_1=\frac{(3,\,4)}{5},\quad\hat e_2=\frac{(-3,\,4)}{5}\ \Rightarrow\ E_x=0,\quad E_y=2\,(0{.}8)(719{.}0)\approx1150\ \mathrm{N/C}$
3. 三つ目の電荷に働く力は、その電荷量と電場の積です。向きは二つの電荷から遠ざかる +y方向です：
  
  $F=q_3E=(1{.}0\times10^{-6})(1150)\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}$
解答

+y方向に 1.15 × 10⁻³ N。ある位置の電場を考える際、その場所に置かれた電荷自身は計算から除外されます。電荷がつくる電場は周囲のあらゆる電荷に力を及ぼしますが、自分自身に力を加えることは決してありません。

$\vec F\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}\ (+y)$
電位、および電荷を動かす仕事 3 ステップ
例題5の二つの +2.0 μC の電荷はそのまま固定し、+1.0 μC の電荷を点A = (0, 4.0 m) から原点Bまで動かします。外力がする仕事はいくらでしょうか。

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1. 電位に向きはなく、単純な和として求まります。点Aでは、どちらの電荷からも 5.0 m 離れています：
  
  $V_A=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}\approx7190\ \mathrm{V}$
2. 点Bでは、どちらの電荷からも 3.0 m です：
  
  $V_B=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{V}$
3. 電場に抗して外力がする仕事は、どのような経路をたどっても、電荷量と電位の上昇分の積に等しくなります：
  
  $W=q\,(V_B-V_A)\approx(1{.}0\times10^{-6})(11983-7190)\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
解答

4.793 × 10⁻³ J。点Bでは二つの斥力が打ち消し合うため電場はゼロですが、そこへ運ぶ仕事はゼロになりません。仕事を決定づけるのは終点での電場ではなく、点Aから点Bに至る道中で着実に高まり続けた電位です。

$W\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
電荷配置のエネルギー 3 ステップ
原点に +3.0 μC、(0, 3.0 m) に −2.0 μC、(4.0 m, 0) に +1.0 μC の電荷を、それぞれ無限遠から運んで配置しました。これにはどれだけの仕事が必要だったでしょうか。

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1. 電荷を一つずつ運んでくる手順を考えます。最初のひとつを置くのに仕事は要りません。それ以降の電荷には、先に置かれた電荷がその場所につくっている電位と、運ぶ電荷量の積だけの仕事がかかります。すべて集めると、あらゆるペアが一度ずつ現れます：
  
  $U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}=k\Bigl(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\Bigr)$
2. 三つの電荷間の距離です：
  
  $r_{12}=3{.}0,\qquad r_{13}=4{.}0,\qquad r_{23}=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0$
3. それぞれのペアの符号をそのまま残して計算します：
  
  $U=(8{.}988\times10^{9})\Bigl(\frac{(3)(-2)}{3}+\frac{(3)(1)}{4}+\frac{(-2)(1)}{5}\Bigr)\times10^{-12}=(8{.}988\times10^{-3})(-1{.}65)\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
解答

−1.483 × 10⁻² J。負の値になりました。引き合う二対の引力が退け合う一対の斥力に勝っているため、電場自身が仕事をしたことを意味します。この配置を再び無限遠へ引き離すには、1.483 × 10⁻² J の仕事を加えなければなりません。

$U\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
4単位離れた2つの電荷による双極子配置 6 ステップ
大きさが等しく符号が反対の2つの電荷が 4 単位離れて置かれている。それらの点電荷の中点における電場と電位を求め、さらに遠方における電場の振る舞いを求めよ。これは双極子の配置である。(-2, 0) に q₁ = +1、(+2, 0) に q₂ = -1 があり、原点にプローブが置かれている。

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1. 重ね合わせは静電気学のすべてである。各電荷は他の電荷が存在しないかのように自身の電場を作り、それらのベクトルを足し合わせる。ここで重要なベクトルは電荷からプローブへ向かうベクトルであり、これによって q の符号が、電場が電荷から遠ざかる向きに向かうのか、それとも電荷へと戻る向きに向かうのかを決定づける。
  
  $\vec E(\vec p)=\sum_i q_i\,\frac{\vec p-\vec x_i}{|\vec p-\vec x_i|^{3}}, \qquad \vec p=(0,0)$
2. 正の電荷は 2 単位左側に位置しているため、プローブへ向かうベクトルは右向きに 2 単位となり、分母にある 2 の 3 乗によって 0.250 が得られる。正電荷であり電場は外向きとなるため、この寄与は右を指す。
  
  $q_1=+1,\ \vec x_1=(-2,0):\quad \vec r_1=(2,\,0),\ r_1=2, \quad \vec E_1=\frac{+1\cdot(2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
3. 負の電荷は 2 単位右側に位置しているため、そのベクトルは左を指すが、q が負であるため再び反転する。2 回の反転により、この寄与もまた右を指すことになる。ここで立ち止まって考えてみよう。電荷はプローブの反対側に位置し、かつ互いに反対の符号を帯びており、これら 2 つの反対関係が重なり合うのではなく互いに打ち消し合っているのである。
  
  $q_2=-1,\ \vec x_2=(2,0):\quad \vec r_2=(-2,\,0),\ r_2=2, \quad \vec E_2=\frac{-1\cdot(-2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
4. したがって、2 つの寄与は反発し合うのではなく順に足し合わされ、単独の電荷が 0.250 を与える場所で、この対は 0.500 をもたらす。
  
  $\vec E=\vec E_1+\vec E_2=(0{.}5,\,0),\qquad |\vec E|=0{.}5$
5. 電位は、同じ 2 つの電荷に対して逆の振る舞いをする。V はスカラーであるため、q の符号のみを反映し、2 つの距離は等しい。各項は +0.500 と -0.500 となり、中点では V = 0 となる。電場と電位は一つの物理量を異なる見方で測ったものではない。ここでは同じ点で、一方が 2 倍になり、他方が消滅しているのである。
  
  $V=\sum_i\frac{q_i}{r_i}=\frac{+1}{2}+\frac{-1}{2} =0{.}5-0{.}5=0$
6. ここで中点を離れよう。垂直二等分線上の高さ y の位置にプローブを置くと、両方の電荷からの距離は等しくなる。対称性により垂直成分は相殺し、水平成分のみが残るため、直線全体を表す 1 つの公式が得られる。その公式に y = 0 を代入すると、すでに得られている数値を再現しなければならないが、実際に再現される。これにより、この公式が新しい物理ではなく同じ物理を表していることがわかる。
  
  $\vec p=(0,y):\quad E_y=0,\qquad E_x=\frac{2qa}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}},\ a=2;\qquad y=0:\ \frac{4}{8}=0{.}5$
解答

ツールは原点において |E| = 0.5 と表示する。これは同じ向きを指す 2 つの寄与 0.25 から組み合わされたものであり、同点での電位は V = 0 である。心にとどめるべきはステップ 6 である。遠方では、2 つの 1/r² 電場はほぼ完全に相殺され、残る成分は電荷間の距離によって決まり、1/y³ に比例して減衰する。これは単一の電荷よりも距離の乗数がまるまる 1 乗分速い減衰である。比率は 2a/y = 4/y となるため、y = 20 では、この電荷対が生み出す電場は、同サイズの単一電荷がそこで生み出す電場の 5 分の 1 をわずかに下回る程度にしかならない。その理由は電場の 1 行上に表示されている。すなわち Q_total = 0 である。1/r² の項は全電荷に帰属するものであり、全電荷がゼロである場合、感知できるのは電荷の離隔のみとなる。中性の電荷対は不可視なのではない。短距離的なのであり、両者は異なるものである。

$y\gg a:\ \ E_x\to\frac{2qa}{y^{3}}=\frac{4}{y^{3}}, \qquad \frac{E_x}{q/y^{2}}=\frac{2a}{y}=\frac{4}{y};\qquad y=20:\ 0.2$
3単位離れた2つの同一の正電荷 5 ステップ
3 単位離れた 2 つの同一の正電荷。中点における電場と電位を求め、そこに放たれた正の試験電荷が留まるかどうかを判定せよ。これは2つの正電荷の配置である。(-1.5, 0) に q₁ = +1、(+1.5, 0) に q₂ = +1 があり、原点にプローブが置かれている。

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1. 同じプローブ、同じ重ね合わせであるが、結果は逆となる。両方の電荷は原点から 1.500 離れており、ともに正であるため、2 つの寄与は同じ大きさで完全に反対の向きを指す。それらは打ち消し合い、中点における電場は 0 となる。
  
  $\vec E_1=\frac{(1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(0{.}444,\,0),\quad \vec E_2=\frac{(-1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(-0{.}444,\,0) \ \Longrightarrow\ |\vec E|=0$
2. 電位は打ち消し合うことができない。スカラーには相殺する方向が存在しないからである。両方の項は +0.667 であり、V は 1.333 となる。E = 0 であっても V ≠ 0 である点はパラドックスではない。E は V の傾きであり、傾きがゼロであることは高さについて何も語らない。
  
  $V=\frac{1}{1{.}5}+\frac{1}{1{.}5}=0{.}667+0{.}667=1{.}333$
3. 傾きゼロとは、山頂、谷底、あるいは鞍点（峠）のいずれかであり、ボールを静止させられるのはその 3 つのうち 1 つだけである。電荷を結ぶ直線に沿って試験電荷を距離 x だけわずかに動かす。近い方の電荷が遠い方の電荷よりも強く押すようになり、その差分は原点へと向かい、復元剛性は 4q/a³ = 1.1852 となる。
  
  $E_x(x,0)=\frac{q}{(a+x)^{2}}-\frac{q}{(a-x)^{2}} =\frac{-4qax}{(a^{2}-x^{2})^{2}}\ \approx\ -\frac{4q}{a^{3}}\,x=-1.1852\,x$
4. 代わりに垂直方向にわずかに動かしてみよう。今度は両方の電荷が試験電荷の後方に位置し、ともに同じ方向へ押し出すため、試験電荷はそのまま進み続ける。同じ 2 つの電荷、同じプローブでありながら、結論は逆となる。そして反発剛性は 2q/a³ = 0.5926 であり、復元剛性のちょうど半分である。
  
  $E_y(0,y)=\frac{2qy}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} \ \approx\ +\frac{2q}{a^{3}}\,y=+0.5926\,y,\qquad E_z\approx+0.5926\,z$
5. 面外方向も再び垂直方向の場合と同様である。2 点の軸の周りの方向を互いに区別するものは何もないからである。したがって、3 つの剛性（1 つが負、2 つが正）が存在し、それらの和はゼロとなる。ほぼゼロなのではなく、正確にゼロである。
解答

画面には、相殺し合う二つの 0.444 から得られた |E| = 0 と、相殺しない二つの 0.667 から生じた V = 1.333 が示されています。電場がゼロになるこの特異点は、すり鉢状の窪地ではなく峠（鞍点）です。電荷を結ぶ線上では安定でも、それを横切る方向には不安定になります。これは電荷の配置をどう選んでも避けられません。三方向の復元力の強さは電位 V の2階微分にマイナスをかけた値であり、その総和は電場 E の発散に等しくなります。電荷が存在しない場所では発散がゼロになるため、試験電荷を中心へ引き戻す方向があれば、必ずどこかに電荷を外へ押し出す方向が生じて帳尻を合わせることになるのです。固定された電荷の配置だけで別の電荷を安定な静止平衡に留めることは、どれほど工夫を凝らしても不可能です。これがアーンショーの定理であり、画面に示された三つの数値を追うだけで、この深遠な物理法則にたどり着いたことになります。荷電粒子を静止させて閉じ込めるために静電場以上の仕掛けが求められるのはそのためであり、ペニング・トラップは磁場を補い、ポール・トラップは電場を振動させることでそれを乗り越えています。

$\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{4q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}} =-1.1852+0.5926+0.5926=0$

補充問題（答えのみ）

−4.0 nC の電荷から 30 cm 離れた点における電場の大きさと向きを求めなさい。

答えを表示

399.4 N/C、電荷へ向かう向き。

$E=\frac{k|q|}{r^{2}}\approx399{.}4\ \mathrm{N/C}$
x = 0 に +4.0 μC、x = 3.0 m に +1.0 μC の電荷があります。二つの電荷の間で電場がゼロになるのはどこでしょうか。

答えを表示

x = 2.0 m。

$x=2{.}0\ \mathrm{m}$
(−1.0 m, 0) と (1.0 m, 0) にそれぞれ +1.0 μC の電荷があります。(0, 1.0 m) における電場を求めなさい。

答えを表示

+y方向に 6,355 N/C。

$E=2\cdot\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx6355\ \mathrm{N/C}\ (+y)$
一辺が 2.0 m の正方形の三つの頂点に +1.0 μC、残る一つの頂点に −1.0 μC の電荷が置かれています。正方形の中心における電場と電位を求めなさい。

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8,988 N/C（負電荷のある頂点へ向かう向き）、1.271 × 10⁴ V。

$E\approx8988\ \mathrm{N/C},\qquad V=\frac{2kq}{\sqrt2}\approx1{.}271\times10^{4}\ \mathrm{V}$
固定された +5.0 μC の電荷から 0.20 m 離れた位置で、+3.0 μC の電荷を持つ質量 2.0 g の小球を静かに放しました。十分に遠く離れたとき、小球の速さはいくらになっているでしょうか。

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25.96 m/s。0.6741 J の静電エネルギーがすべて運動エネルギーへと変わります。

$\tfrac12mv^{2}=\frac{kq_1q_2}{r}\approx0{.}6741\ \mathrm{J},\qquad v\approx25{.}96\ \mathrm{m/s}$
一辺が 1.0 m の正方形の四つの頂点に、それぞれ +1.0 μC の電荷を置きました。この配置を組み立てるのに要した仕事はいくらでしょうか。

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4.866 × 10⁻² J。四つの辺と二つの対角線から、(4 + √2)kq²/a。

$U=\bigl(4+\sqrt2\bigr)\frac{kq^{2}}{a}\approx4{.}866\times10^{-2}\ \mathrm{J}$

この場を通る道のうち、いくつかは完全に無料である

等電位線を表示すると、図に第二の曲線の族が現れます。電荷をそのリングのどれかに沿って滑らせるのに必要な仕事は、ちょうどゼロです。少しではなくゼロで、どれだけ回っても変わりません。リング上のどの点も同じ電位にあるからです。これが場を保存的にしている性質で、帰結はもっと鋭いものです。どんなに曲がりくねっていてもよい任意の閉じた経路で電荷を運べば、全体の仕事はゼロに戻ります。さらに、電気力線と等電位線はどのプリセットでも、どの場所でも必ず直角に交わることに注目してください。これは飾りではありません。場は電位が最も急に下る向きを指し、最急降下の向きは、いま立っている等高線に対して常に垂直だからです。

なぜ電荷を空中に固定できないのか

同符号の電荷を二つ置くと、その間に電場がちょうどゼロになる中性点が現れます。休息の場所のように見えますが、実際はくぼみではなく鞍点です。少し押すだけで試験電荷は逃げ出します。アーンショーの定理(1842年)は、固定した電荷のどんな配置も別の電荷を安定な静的平衡に保てないことを証明しました。同じ数学が、磁石だけで磁石を浮かせることも禁じます——必ず回転・反磁性・能動制御が必要です。

学習の道すじ

電場と磁場はどう生まれるか

参考文献 (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

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