自由落下計算機

重力下での自由落下の落下時間・衝突速度・エネルギー

静止状態からの自由落下	$t=\sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad v=\sqrt{2gh}$
初速度 v₀ を持つ投射（上向きを正）	$y=h+v_0t-\tfrac12gt^{2},\qquad v_y=v_0-gt$
1 kg あたりのエネルギー（すべての投射）	$\tfrac12v^{2}=\tfrac12v_0^{2}+gh$

計算例 — 自由落下計算機

落下時間	4.5152 s
衝突速度	44.29 m/s
1kgあたりの運動エネルギー	981 J/kg

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レッスン

理論 — 自由落下計算機

自由落下とは、空気の影響を取り払い、重力だけを受けて落下する運動のことです。落下中は一定の加速度 g だけがはたらき続け、真空の設定で見られる数値はすべて、このたったひとつの前提から導かれます。空気抵抗の設定を有効にすると、そこで省かれていたひとつの力が戻ってきます。

各記号の意味

h: 鉛直下向きに測定した落下高さである。問題における唯一の距離であり、物体が横方向にどれだけ移動したか、またどのような形状をしているかは関係しない。
g: メートル毎秒毎秒（m/s²）で表される重力加速度である。月面の値である 1.62 に設定すると、同じ100 mの落下時間は 4.5152 s から 11.1111 s に延び、到達時の速度は 44.29 m/s ではなく 18 m/s となる。
v₀: 初速度。上向きを正にとります。静かに落としたときは v₀ = 0、下向きに投げ下ろしたときは v₀ が負になります。
v: 平均の速さではなく、地面に達した瞬間の着地速度です。落とされた物体は、最後の瞬間を除き、全行程を通じてこの速さより遅く動いています。
t: 落下時間である。高さの平方根に比例して増加する点が直感に反しやすい — 落下高さを10倍にしても、時間は 3.1623 倍にしかならない。

公式の導き方

地上を基準に高さを測り、上向きを正にとります。はたらく力は重力だけなので、落下中の加速度はずっと −g であり、高さは等加速度直線運動の公式にしたがいます。
$a_y=-g\ \Rightarrow\ v_y=v_0-gt,\quad y=h+v_0t-\tfrac12gt^{2}$
静止した状態から落とすなら v₀ = 0、地面は y = 0 です。時間を求めると、高さの平方根に比例して増えていくことがわかります。高さが 2 倍になっても、落下時間が 2 倍にはならないのはこのためです。
$0=h-\tfrac12gt^{2}\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
その瞬間の速さは gt です。求めた時間を代入すると、高さと重力加速度が対称な形で現れ、物体の質量はどこにも現れません。
$v=gt=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}$
2 乗して半分にすると、質量 1 kg あたりの運動エネルギーはちょうど gh になります。これは落下によって失われた位置エネルギーの両辺を質量で割った値そのものであり、重力加速度 9.81 m/s² のもとで 100 m 落下したときに 981 J/kg と表示される理由です。
$\tfrac12mv^{2}=mgh\ \Rightarrow\ \frac{E_k}{m}=\tfrac12v^{2}=gh$
初速を与えて投げた場合も、初速度のエネルギーが加わるだけで、エネルギー保存の式はそのまま成り立ちます。v₀ が 2 乗されるため、投げた向きは式に残りません。同じ速さであれば、上向きに投げても下向きに投げても着地時の速さは同じです。ただし時間は向きによって変わり、着地速度が下向きであることを用いて v = v₀ − gt から求めます。
$\tfrac12v^{2}=\tfrac12v_0^{2}+gh\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2gh},\qquad -v=v_0-gt\ \Rightarrow\ t=\frac{v_0+v}{g}$

表示の読み方

高さを変えてみると、上段の二行が連動して動くものの、歩調は揃わないことが分かります。1000 m では、落下時間は 4.5152 s に対し 14.2784 s、着地速度は 44.29 m/s に対し 140.07 m/s となり、どちらも 3.1623 倍になります。高さが十倍になっても、時間と速さは √10 倍にしかなりませんが、キログラムあたりのエネルギーはきっちり十倍になるからです。逆に高さを四分の一にすると、v は √h に比例するため速さは正確に半分になります。25 m で 22.15 m/s となるのはこのためです。

前提: 空気がないこと、そして落下中に重力加速度が変わらないことのふたつを前提にしています。後者の影響はごくわずかです。厳密には高度とともに g は小さくなるため、実際の 1000 m の落下では、ここで扱う計算のように単一の値を保ち続けるわけではありません。
成り立たない場合: この前提を真っ先に、そしてわずかどころか根本から崩すのが空気抵抗です。スカイダイバーはおよそ 55 m/s で加速を終えるため、真空の設定では 1000 m の落下で 140.07 m/s に達し、実際より 2 倍以上も過大に見積もってしまいます。v = √(2gh) の式からは、速度の上限など生まれません。空気抵抗をオンに切り替えると、同じ落下でも 22.0658 s かけて 54.96 m/s で着地します。

全プロセスの詳細解説

g = 9.81 m/s² における100 mからの石の落下 5 ステップ
g = 9.81 m/s² とし、100 mの高さから石を落下させます。落下時間、衝突時の速さ、およびキログラムあたりのエネルギーを求めなさい。さらに、落下の過程でそれぞれの中間点がどこにあるのかを調べます。高さが半分になるのもエネルギーが半分になるのも、時間が半分の時点ではないからです。
1. 変位は時間の2次関数であるため、高さをゼロとおいて解くことが最初のステップのすべてである。
  
  $y(t)=h-\tfrac{1}{2}gt^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{200}{9.81}}=4.5152\ \mathrm{s}$
2. 速さは、その瞬間の導関数の値です。時速に換算してみる価値はあるでしょう。159 km/h。およそ三十階の高さからの落下で、大半の高速道路の制限速度を上回るのです。
  
  $v=gt=9.81\times4.5152=44.29\ \mathrm{m/s}=159.5\ \mathrm{km/h}$
3. キログラムあたりの運動エネルギーに v² = 2gh を代入すると速さが消去され、落下の高さと重力だけが残ります。これは位置エネルギーがそのまま還元されたものであり、だからこそ数値は 981 ぴったりになるのです。
  
  $v^{2}=2gh\quad\Longrightarrow\quad \frac{E_k}{m}=\tfrac{1}{2}v^{2}=gh=9.81\times100=981\ \mathrm{J/kg}$
4. 次に落下の推移について考える。高さを全体に対する割合として表すと、時間依存性は単なる2乗となり、2乗の性質は手厳しい。経過時間の半分で進む距離は四分の一にすぎない。
  
  $\frac{y}{h}=1-\left(\frac{t}{t_{\text{imp}}}\right)^{2}:\quad t=\tfrac{1}{2}t_{\text{imp}}\Rightarrow\text{only }25\%\text{ fallen};\quad y=\tfrac{1}{2}h\Rightarrow t=0.707\,t_{\text{imp}}$
5. 空気抵抗は単なる進行のペースだけでなく、到達時の状態をも変化させる。終端速度を 55 m/s とした場合、閉形式による解は 38.0 m/s を与える。速度では 14% の減少にとどまるが、エネルギーでは 26% の減少となる。エネルギーは2乗に比例するためであり、質量が再び計算に関わってくるのはこのステップのみである。
  
  $v_t=55\ \mathrm{m/s}:\quad v_{\text{imp}}=v_t\sqrt{1-e^{-2gh/v_t^{2}}}=55\sqrt{1-e^{-0.6486}}=38.0\ \mathrm{m/s},\quad \frac{E_k}{m}=721.8$
解答

4.5152 s、44.29 m/s、そしてぴったり 981 J/kg です。最後の数値は純粋な gh です。質量は完全に相殺されるため、小石であれピアノであれ、到達時のキログラムあたりのエネルギーは同じになります。落下の進行は極端に後半へ偏っています。経過時間が半分の時点で石は落下距離の四分の一しか進んでおらず、中間の高さに到達するには全時間の71%を要します。行程の半分が最後の29%の間に過ぎ去るのです。上から見下ろしたときには助かりそうに見える落下が、実際にはそうではない理由がここにあります。

$t=4.5152\ \mathrm{s},\quad v=44.29\ \mathrm{m/s},\quad E_k/m=gh=981\ \mathrm{J/kg}$
井戸の深さはどれくらいか 3 ステップ
井戸に静かに落とした石が、2.5 s 後に水面に達しました。音が戻ってくる時間を無視できるとすると、水面までの深さはいくらで、着水時の速さはどれくらいでしょうか。

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1. 上向きを正、水面を y = 0 とし、未知の高さ h から石を静かに手放したと置きます。今回は時間が既知です。
  
  $y=h-\tfrac12gt^{2}=0,\qquad t=2{.}5\ \mathrm{s}$
2. 高さを求めます。
  
  $h=\tfrac12gt^{2}=\tfrac12(9{.}81)(2{.}5)^{2}=30{.}656\ \mathrm{m}$
3. 時間から速さが求まります。エネルギー保存則を使えば、時間を経由しなくても同じ値が得られます。
  
  $v=gt=9{.}81\times2{.}5=24{.}525\ \mathrm{m/s},\qquad v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9{.}81)(30{.}656)}=24{.}525\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
解答

深さ 30.66 m、着水時の速さは 24.53 m/s。343 m/s の音波が戻るのに約 0.09 s かかるため、手を離してから水音が聞こえるまでを測ったストップウォッチが 2.5 s を示していたなら、実際の井戸はこれよりわずかに浅いことになります。

$h=30{.}66\ \mathrm{m},\qquad v=24{.}53\ \mathrm{m/s}$
崖からの鉛直投げ上げ 4 ステップ
高さ 50 m の崖の端から、石を鉛直上向きに 25 m/s で投げ上げました。石は崖の縁の外側を通って下の地面へと落下します。地上から測った最高点の高さ、着地するまでの時間、そして着地時の速さはそれぞれいくらになるでしょうか。

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1. 上向きを正、地上を y = 0 とおくと、h = 50 m、v₀ = +25 m/s です。最高点では速度が 0 になります。
  
  $0=v_0-g\,t_{\mathrm{top}}\ \Rightarrow\ t_{\mathrm{top}}=\frac{25}{9{.}81}=2{.}5484\ \mathrm{s},\qquad h_{\max}=h+\frac{v_0^{2}}{2g}=50+\frac{25^{2}}{2(9{.}81)}=81{.}855\ \mathrm{m}$
2. 着地時の速さは、時間を求めなくてもエネルギーの式からわかります。
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2gh}=\sqrt{25^{2}+2(9{.}81)(50)}=\sqrt{1606}=40{.}075\ \mathrm{m/s}$
3. 着地時の速度は下向きなので −40.075 m/s です。v = v₀ − gt より時間が導かれます。
  
  $-40{.}075=25-9{.}81\,t\ \Rightarrow\ t=\frac{25+40{.}075}{9{.}81}=6{.}6335\ \mathrm{s}$
4. 代わりに、同じ速さで真下へ投げ下ろしてみましょう（v₀ = −25 m/s）。v₀ は 2 乗されるためエネルギーの式は変わりませんが、時間は変わります。
  
  $v_0=-25:\quad v=\sqrt{(-25)^{2}+2(9{.}81)(50)}=40{.}075\ \mathrm{m/s},\qquad t=\frac{-25+40{.}075}{9{.}81}=1{.}5367\ \mathrm{s}$
解答

2.5484 s 後に地上 81.86 m に達し、6.6335 s 後に 40.07 m/s で着地します。25 m/s で投げ下ろした場合は、わずか 1.5367 s で着地しますが、着地速度は同じ 40.07 m/s です。投げる向きによって時間と最高到達点は変わっても、着地速度だけは一切変わりません。50 m からの投げ上げを押して、再生してみてください。

$h_{\max}=81{.}86\ \mathrm{m}\ (t=2{.}5484\ \mathrm{s}),\qquad t=6{.}6335\ \mathrm{s},\qquad v=40{.}07\ \mathrm{m/s}$
月面での重力加速度 g を求める 2 ステップ
月面に降り立った宇宙飛行士が 1.6 m の高さからハンマーを落としたところ、1.41 s 後に月面に達しました。月の重力加速度はいくらで、ハンマーの着地時の速さはどれくらいでしょうか。

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1. 初速度 0 で落としたため、高さの式に含まれる未知数は g のひとつだけです。
  
  $h=\tfrac12gt^{2}\ \Rightarrow\ g=\frac{2h}{t^{2}}=\frac{2(1{.}6)}{1{.}41^{2}}=1{.}6096\ \mathrm{m/s^{2}}$
2. 時間から求めた着地速度を、エネルギー保存則で検算します。
  
  $v=gt=1{.}6096\times1{.}41=2{.}2695\ \mathrm{m/s},\qquad \sqrt{2gh}=\sqrt{2(1{.}6096)(1{.}6)}=2{.}2695\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
解答

g = 1.61 m/s²、着地時の速さは 2.27 m/s です。地球上なら同じ落下に 0.5711 s しかかからず、5.6 m/s で着地します。月面ならハンマーの隣で鳥の羽根を落としても同時に着地します。どちらの式にも、物体の質量を表す文字がまったく現れないからです。

$g=1{.}61\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad v=2{.}27\ \mathrm{m/s}$
落下の後半半分を最後の 1 秒で 4 ステップ
静止状態から落とした石が、落下の後半の半分を最後の 1.0 s で通過しました。落下にかかった全時間は何秒で、どれほどの高さから落とされたのでしょうか。

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1. 落下にかかる全時間を T とおきます。T − 1 の時点で石は高さの半分を落下しており、全体の高さは ½gT² です。
  
  $\tfrac12g(T-1)^{2}=\tfrac12\cdot\tfrac12gT^{2}$
2. g が消去されるため、この時間に関する結果はどの天体でもそのまま成立します。平方根をとります。
  
  $(T-1)^{2}=\frac{T^{2}}{2}\ \Rightarrow\ T-1=\pm\frac{T}{\sqrt2}$
3. 負の符号をとると T = 0.5858 s となり、問題で与えられた 1 s よりも短くなってしまうため、この解は適しません。
  
  $T=\frac{1}{1-1/\sqrt2}=3{.}4142\ \mathrm{s}\qquad\left(T=\frac{1}{1+1/\sqrt2}=0{.}5858\ \mathrm{s}<1\ \mathrm{s}\ \times\right)$
4. 続いて高さを求めます。
  
  $h=\tfrac12gT^{2}=\tfrac12(9{.}81)(3{.}4142)^{2}=57{.}177\ \mathrm{m}$
解答

3.4142 s、高さは 57.18 m です。時間は g に依存しないため、月面で同じ条件を考えても落下時間は 3.4142 s と変わりません。ただし高さはわずか 9.44 m にとどまります。

$T=3{.}4142\ \mathrm{s},\qquad h=57{.}18\ \mathrm{m}$
エネルギーのゆくえ 3 ステップ
スカイダイバーが空気抵抗のある中を初速度 0 で 1000 m 落下します。終端速度は 55 m/s です。1000 m 落下したときの速さはいくらで、重力が 1 kg あたりに供給したエネルギーのうち、どれだけの割合が空気へと奪われたでしょうか。

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1. 空気がなければ、エネルギーはすべて速さへと変わります（1 kg あたり gh）。
  
  $gh=9{.}81\times1000=9810\ \mathrm{J/kg},\qquad \sqrt{2gh}=140{.}07\ \mathrm{m/s}$
2. 速さの 2 乗に比例する空気抵抗を受ける場合、静止状態から距離 h を落下したときの速さは厳密な数式で表せます。
  
  $v=v_t\sqrt{1-e^{-2gh/v_t^{2}}}=55\sqrt{1-e^{-6{.}4860}}=54{.}958\ \mathrm{m/s}$
3. スカイダイバーの 1 kg あたりの運動エネルギーと、空気抵抗が負の仕事として奪った残りのエネルギーを求めます。
  
  $\tfrac12v^{2}=\tfrac12(54{.}958)^{2}=1510{.}19\ \mathrm{J/kg},\qquad \frac{W_{\mathrm{air}}}{m}=9810-1510{.}19=8299{.}81\ \mathrm{J/kg}$
解答

着地時の速さは 54.96 m/s、エネルギーの 85%（9,810 J/kg のうち 8,299.81 J/kg）が空気へと逃げていきました。およそ 604 m 落下した時点で終端速度の 1% 以内に達しており、それ以降は 1 m 落ちるごとに、解放されるエネルギーのほぼすべてが速さではなく空気へと渡されました。空気中のスカイダイバー（1000 m）を押して、速度のカーブが水平になっていく様子を見てみましょう。

$v=54{.}96\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{W_{\mathrm{air}}}{gh}=\frac{8299{.}81}{9810}=85\%$

補充問題（答えのみ）

地上 20 m の窓からボールを静かに落としました。地面に着くまで何秒かかり、着地時の速さはどれくらいでしょうか。

答えを表示

2.0193 s、速さは 19.81 m/s です。

$t=\sqrt{\frac{2(20)}{9{.}81}}=2{.}0193\ \mathrm{s},\qquad v=\sqrt{2(9{.}81)(20)}=19{.}81\ \mathrm{m/s}$
地上からボールを鉛直上向きに 15 m/s で投げ上げました。最高点の高さは何メートルで、何秒後に地上へ戻ってくるでしょうか。

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11.47 m、3.0581 s 後に戻ります。

$h_{\max}=\frac{15^{2}}{2(9{.}81)}=11{.}47\ \mathrm{m},\qquad t=\frac{2(15)}{9{.}81}=3{.}0581\ \mathrm{s}$
水面から 40 m の高さにある橋から、石を鉛直下向きに 10 m/s で投げ下ろしました。水面に達する瞬間の速さと、それまでの時間を求めてください。

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29.75 m/s、時間は 2.0128 s 後です。

$v=\sqrt{10^{2}+2(9{.}81)(40)}=29{.}75\ \mathrm{m/s},\qquad t=\frac{-10+29{.}746}{9{.}81}=2{.}0128\ \mathrm{s}$
重力加速度が g = 3.72 m/s² の火星で、10 m の自由落下にかかる時間と着地時の速さはどれくらいでしょうか。

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2.3187 s、速さは 8.63 m/s です。

$t=\sqrt{\frac{2(10)}{3{.}72}}=2{.}3187\ \mathrm{s},\qquad v=\sqrt{2(3{.}72)(10)}=8{.}63\ \mathrm{m/s}$
静止状態から落とした石が、着地直前の最後の 1 秒間に 25 m 落下しました。石は何メートルの高さから落とされたのでしょうか。

答えを表示

45.58 m（落下時間は 3.0484 s）。

$\tfrac12gT^{2}-\tfrac12g(T-1)^{2}=25\ \Rightarrow\ T=\frac{25}{9{.}81}+\tfrac12=3{.}0484\ \mathrm{s},\qquad h=\tfrac12gT^{2}=45{.}58\ \mathrm{m}$

ガリレオは落下する球の時間を測定できなかったため、重力を遅くした

数メートルの落下は1秒足らずで終わってしまい、1600年当時に存在した最高の時計は天秤で重さを測る水時計だった。そのためガリレオは重力と正面から戦うのではなく、重力を薄めることにした。緩やかな斜面で球を転がせば、同じ一定の加速度が本来の何分の一かの強さで作用し、運動が引き延ばされて手作業で測定できるようになる。彼が発見したのは、連続する等時間間隔で進む距離が 1, 3, 5, 7 — 累積和が 1, 4, 9, 16 の平方数になる奇数の比に従うことだった。こうしてストップウォッチなしで h ∝ t² が確立された。上の重力ボックスはソフトウェアでこれと同じことを行っている。値を 1.62 に設定しても物理法則そのものは変わらず、物理現象が進行するペースが変わるだけである。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

高さ100mの塔（地球）を押すと 4.5152 s、44.29 m/s、981 J/kg。次に重力加速度を月の 1.62 にし、高さはそのままにすると、衝突速度は 18 m/s まで落ちます。月面で同じ強さで着地させるには、どれだけの高さから落とせばよいでしょう。そして、そこに達したことをどの行が教えてくれるでしょう。

答えを表示

約 605.5 m、重力が6分の1なら高さは6倍です。注目すべきは三行目です。キログラムあたりの運動エネルギーは g·h だけで決まるため、981 J/kg を揃えることは速度を揃えることと同義です。605.5 と 1.62 では 980.91 J/kg と 44.29 m/s となり、地球での 981、そして同じ 44.29 という値に符合します。落下には 4.5152 s ではなく 27.341 s かかります。同じ速度に達するまでに6倍の時間を要するのです。強い重力が短時間で行うことを、弱い重力は距離で補う必要があるからです。
実際のスカイダイバーは 55 m/s あたりで加速をやめます。落下高さがどれくらいを超えると、このページは落下する人間が決して到達しない速度を示し始めるでしょう。

答えを表示

154 m と 155 m のあいだです。154 で 54.97 m/s、155 で 55.15 m/s。この境目は多くの人が思うより低く、それより上はすべて空気ではなく真空についての答えになります。差はその後急速に開き、1000 m ではページは 140.07 m/s と表示します。空気中を落ちる物体がそもそも超えられない速度の2.5倍です。

学習の道すじ

力ではなくエネルギーで

参考文献 (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。