Expandir e Fatorizar

Altere os parêntesis e observe o retângulo. As quatro partes representam os quatro termos. Alternar para a fatorização levanta a mesma questão a partir da perspetiva oposta.

Produto de dois binómios	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Quadrado de um binómio	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$
Diferença de quadrados	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Há fatores com coeficientes inteiros quando	$b^{2}-4ac=n^{2},\quad n\in\mathbb{Z}$

Exemplo resolvido — Expandir e Fatorizar

Discriminante	1 (1²)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Expandir e Fatorizar

Desenvolver um produto é efetuar as multiplicações e escrever o resultado como uma soma de termos. Fatorizar é percorrer o caminho inverso: escrever a soma como um produto de fatores, com coeficientes inteiros sempre que possível.

De onde vem a fórmula

Multiplica cada termo por cada termo. O produto de dois binómios dá quatro produtos, que correspondem às quatro peças do retângulo.
$(px+q)(rx+s)=prx^{2}+psx+qrx+qs$
Reduz os termos semelhantes. As duas faixas são múltiplos de x e somam-se num único termo intermédio. É dessa soma que vem o coeficiente do termo em x.
$prx^{2}+(ps+qr)x+qs$
A fatorização começa pelo fator comum. Põe em evidência o máximo divisor comum de a, b e c, com o sinal de a, para que o trinómio dentro dos parênteses comece por um termo em x² positivo.
$3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
Encontra os fatores. Para x² + bx + c, procura dois números cujo produto seja c e cuja soma seja b. Quando a é diferente de 1, procura dois números com produto ac e soma b, usa-os para decompor o termo intermédio e fatoriza por agrupamento.
$\begin{aligned}&(-6)(2)=-12,\ \ -6+2=-4\\&x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)\\[4pt]&6x^{2}+5x-4=6x^{2}+8x-3x-4\\&=2x(3x+4)-(3x+4)\\&=(2x-1)(3x+4)\end{aligned}$
Verifica antes de procurar. Existem fatores com coeficientes inteiros se e só se b² − 4ac for um quadrado perfeito. Caso contrário, nenhuma tentativa os encontrará.
$\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s),\ \ p,q,r,s\in\mathbb{Z}\\&\iff b^{2}-4ac=n^{2},\ \ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Problemas resolvidos na íntegra

Dois binómios com um sinal de menos 2 passos
Desenvolve (2x − 1)(3x + 4).

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1. Multiplica cada termo do primeiro binómio por cada termo do segundo. O −1 mantém o sinal nos dois produtos em que intervém.
  
  $\begin{aligned}&(2x)(3x)+(2x)(4)+(-1)(3x)+(-1)(4)\\&=6x^{2}+8x-3x-4\end{aligned}$
2. Os dois produtos intermédios são múltiplos de x e podem reduzir-se a um só termo.
  
  $6x^{2}+(8-3)x-4=6x^{2}+5x-4$
Resposta

6x² + 5x − 4.

$(2x-1)(3x+4)=6x^{2}+5x-4$
Quadrado de um binómio 4 passos
Desenvolve (2x − 3)². Depois, explica como reconhecerias que 4x² − 12x + 9 é um quadrado se partisses desta expressão.

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1. Elevar um binómio ao quadrado é multiplicá-lo por si próprio. Tal como nos outros produtos, há um termo intermédio: o dobro do produto dos dois termos.
  
  $\begin{aligned}(2x-3)^{2}&=(2x)^{2}+2(2x)(-3)+(-3)^{2}\\&=4x^{2}-12x+9\end{aligned}$
2. O erro mais comum é omitir esse termo intermédio. Basta substituir x por um valor para detetar o erro.
  
  $(2x-3)^{2}\ne4x^{2}+9:\qquad x=1:\ (2-3)^{2}=1,\quad4+9=13$
3. No sentido inverso, o primeiro e o último termos são quadrados, e o termo intermédio é, a menos do sinal, o dobro do produto das respetivas raízes quadradas. Aqui, −12x = −2(2x)(3), pelo que o binómio tem um sinal de menos.
  
  $4x^{2}=(2x)^{2},\quad9=3^{2},\quad12x=2(2x)(3)$
4. O discriminante permite chegar à mesma conclusão sem tentativas. É 0, pelo que as duas raízes coincidem e os dois fatores são iguais.
  
  $b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=144-144=0$
Resposta

4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². A expressão 4x² + 9 não serve: para x = 1, o quadrado vale 1 e 4x² + 9 vale 13.

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$
Produto de três binómios 4 passos
Desenvolve (x + 2)(x − 1)(2x + 3).

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1. Começa por multiplicar dois dos binómios. É este o passo que a ferramenta efetua.
  
  $(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2$
2. Depois, multiplica o trinómio obtido pelo terceiro binómio: cada um dos seus três termos pelos dois termos de 2x + 3, num total de seis produtos.
  
  $\begin{aligned}&(x^{2}+x-2)(2x+3)\\&=2x^{3}+3x^{2}+2x^{2}+3x-4x-6\end{aligned}$
3. Reduz os termos semelhantes: 3x² e 2x² somam 5x²; 3x e −4x somam −x.
  
  $=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
4. Verifica com um valor que simplifique as contas. Para x = 1, o binómio do meio vale 0, logo o produto vale 0. A expressão desenvolvida também tem de dar 0.
  
  $x=1:\quad(3)(0)(5)=0,\qquad2+5-1-6=0$
Resposta

2x³ + 5x² − x − 6.

$(x+2)(x-1)(2x+3)=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
Fatorização quando a = 1 4 passos
Fatoriza x² − 2x − 15.

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1. Ao desenvolver (x + m)(x + n), percebe-se o que procurar: dois números cujo produto seja −15 e cuja soma seja −2.
  
  $\begin{aligned}&(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn\\&mn=-15,\quad m+n=-2\end{aligned}$
2. Enumera os pares de fatores de −15. Como o produto é negativo, os dois números têm sinais contrários.
  
  $\begin{aligned}-15&=1\times(-15)=(-1)\times15\\&=3\times(-5)=(-3)\times5\end{aligned}$
3. Só 3 e −5 têm soma −2.
  
  $m=-5,\ n=3:\qquad(-5)(3)=-15,\quad-5+3=-2$
4. Verifica, desenvolvendo o produto.
  
  $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$
Resposta

(x − 5)(x + 3).

$x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$
Fatorizar 6x² + 5x − 4 para dizer se funciona 7 passos
Fatorize 6x² + 5x − 4 e justifique antecipadamente se o processo seria possível.

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1. Calcule primeiro o discriminante. Custa apenas uma linha de trabalho e decide de imediato se há algo para descobrir.
  
  $b^2 - 4ac = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$
2. Cento e vinte e um é 11², logo existe uma fatorização nos números inteiros. Agora sim, a pesquisa vale a pena.
  
  $121 = 11^2$
3. As raízes derivam desse mesmo valor. Como o discriminante é um quadrado perfeito, elas serão racionais.
  
  $x = \frac{-5 \pm 11}{12} = \tfrac{1}{2}, \; -\tfrac{4}{3}$
4. Uma raiz de 1/2 traduz-se num fator de (2x − 1); uma raiz de −4/3 traduz-se num fator de (3x + 4). Eliminar cada denominador é precisamente o que transforma uma raiz num parêntesis.
  
  $(2x - 1)(3x + 4)$
5. Verifique sempre através da multiplicação. As duas faixas centrais são 8x e −3x, que se combinam para dar os 5x pedidos.
  
  $6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \;\checkmark$
6. Agora substitua o termo constante por −5 e repita o primeiro passo. O discriminante passa a ser 25 + 120 = 145, que não é um quadrado perfeito. Logo, não há nenhum retângulo com lados inteiros nem vale a pena procurá-lo.
  
  $5^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145 \;\neq\; k^2$
7. É aqui que a ferramenta para e surge uma distinção importante. O trinómio 6x² + 5x − 5 é perfeitamente fatorizável nos números reais, em parêntesis que contêm √145. A frase "não fatora" significa apenas "não fatora com os números que combinámos usar", uma condição que raramente é dita em voz alta.
  
  $6x^2 + 5x - 5 = 6\left(x - \tfrac{-5 + \sqrt{145}}{12}\right)\left(x - \tfrac{-5 - \sqrt{145}}{12}\right)$
Resposta

(2x − 1)(3x + 4). O discriminante de 121 = 11² ditou este sucesso antes de qualquer procura. Se alterar o −4 para um −5, o discriminante passa a 145. Como deixa de ser um quadrado perfeito, o trinómio deixa de ser fatorizável nos inteiros, embora continue a sê-lo perfeitamente nos reais.
Primeiro, o fator comum 4 passos
Fatoriza completamente 3x² − 12x − 36.

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1. 3 divide os três coeficientes, pelo que se põe primeiro em evidência.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
2. No trinómio que fica dentro dos parênteses, a = 1. Os dois números com produto −12 e soma −4 são −6 e 2.
  
  $mn=-12,\quad m+n=-4:\qquad m=-6,\ n=2$
3. Mantém o 3 à frente do produto.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
4. Ao desenvolver (3x − 18)(x + 2), obtém-se o mesmo trinómio, mas ainda há um fator 3 em evidência no primeiro binómio. A fatorização está incompleta e perde cotação num exame que peça a fatorização completa.
  
  $(3x-18)(x+2)=3(x-6)(x+2)$
Resposta

3(x − 6)(x + 2).

$3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
Coeficiente de x² negativo 4 passos
Fatoriza 12 + 4x − x².

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1. Ordena os termos por potências decrescentes e põe −1 em evidência, para que o termo em x² dentro dos parênteses fique positivo.
  
  $12+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-12)$
2. Dentro dos parênteses, procura-se um produto de −12 e uma soma de −4. Os números são −6 e 2.
  
  $x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$
3. Podes incorporar o sinal de menos no primeiro binómio, como se faz na maioria dos critérios de classificação.
  
  $-(x-6)(x+2)=(6-x)(x+2)$
4. Verifica para x = 0: a expressão original vale 12 e (6)(2) também vale 12.
  
  $x=0:\quad(6)(2)=12$
Resposta

−(x − 6)(x + 2), que equivale a (6 − x)(x + 2).

$12+4x-x^{2}=(6-x)(x+2)$
A diferença de dois quadrados, e o número 8.051 7 passos
Desenvolva (x − 5)(x + 5) e diga por que razão o termo do meio desaparece. Multiplique depois 95 × 105 de cabeça e decida se a mesma figura consegue decompor um número simples.

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1. As quatro peças do retângulo, por ordem de leitura: o canto que traz x², as duas faixas e o canto do termo constante.
  
  $x\cdot x \;+\; x\cdot 5 \;+\; (-5)\cdot x \;+\; (-5)\cdot 5$
2. As duas faixas são 5x e −5x. Anulam-se, e o trinómio que o painel apresenta fica sem termo do meio.
  
  $= x^{2} + 5x - 5x - 25 = x^{2} + 0x - 25$
3. Na linha do discriminante aparece 100, que é 10², um quadrado perfeito. Logo, existem fatores com coeficientes inteiros. Neste caso, já o sabíamos, pois partimos desses fatores.
  
  $b^{2}-4ac = 0^{2} - 4(1)(-25) = 100 = 10^{2}$
4. A anulação não foi um acaso. Se colocares o mesmo número nos dois binómios com sinais contrários, as faixas representam o mesmo retângulo contado duas vezes: uma a somar e outra a subtrair. Isto acontece seja qual for o número.
  
  $(x+q)(x-q) = x^{2} + qx - qx - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nada nesse argumento exige que x seja uma letra. Ponha lá 100 e uma multiplicação transforma-se numa subtração.
  
  $95 \times 105 = (100-5)(100+5) = 100^{2} - 5^{2} = 10{,}000 - 25 = 9{,}975$
6. Quaisquer dois números se podem escrever como um ponto médio e um afastamento para cada lado, pelo que isto funciona com qualquer par cuja média seja fácil.
  
  $47 \times 53 = (50-3)(50+3) = 2{,}500 - 9 = 2{,}491$
7. Lido ao contrário, faz o trabalho mais difícil. Para fatorizar 8.051, procure um quadrado que o exceda noutro quadrado: 90² é o primeiro a consegui-lo, e os dois parênteses são os fatores. É o método de fatorização de Fermat, e é rápido precisamente quando os dois fatores estão próximos um do outro, como acontece com 83 e 97.
  
  $90^{2} - 8{,}051 = 8{,}100 - 8{,}051 = 49 = 7^{2} \;\Longrightarrow\; 8{,}051 = 83 \times 97$
Resposta

x² − 25, e 95 × 105 = 9 975. O termo intermédio anula-se porque as duas faixas têm áreas simétricas, restando x² − q². Usada no sentido inverso, a identidade também permite fatorizar números: 8 051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) \qquad\Longleftrightarrow\qquad N = m^{2}-d^{2} = (m-d)(m+d)$

Problemas suplementares, só com a resposta

Desenvolve (3x − 2)(x + 5).

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3x² + 13x − 10

$3x^{2}+13x-10$
Desenvolve (x − 4)(x + 1)(x + 3).

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x³ − 13x − 12

$x^{3}-13x-12$
Fatoriza x² + x − 20.

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(x + 5)(x − 4)

$(x+5)(x-4)$
Fatoriza 10x² − 11x − 6.

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(2x − 3)(5x + 2)

$(2x-3)(5x+2)$
Fatoriza completamente 2x² − 18.

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2(x − 3)(x + 3)

$2(x-3)(x+3)$
Fatoriza x² − 7x.

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x(x − 7)

$x(x-7)$
É possível fatorizar 2x² + 3x − 4 em binómios com coeficientes inteiros?

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Não. O discriminante é 41, que não é um quadrado perfeito.

$b^{2}-4ac=41$

As quatro letras de FOIL são quatro retângulos

Junto ao desenvolvimento do produto, desenha um retângulo de lados x + 2 e x + 3. Cada lado divide-se em duas partes, pelo que o retângulo fica dividido em quatro peças: uma de área x², duas faixas de áreas 3x e 2x e uma peça de área 6 no canto. Estas quatro áreas correspondem aos quatro termos. A sua soma é a área total do retângulo: é isso que significa desenvolver o produto. Podes percorrê-las por qualquer ordem. Por isso, as mnemónicas para este cálculo funcionam, mas podes fazer o cálculo sem recorrer a nenhuma. Se tornares um coeficiente negativo, as peças correspondentes ficam esbatidas, com um contorno tracejado. Uma área negativa representa uma subtração. A figura continua a explicar o cálculo, mesmo quando a mnemónica já pouco ajuda.

A fatorização utiliza a mesma imagem, e é por isso que se torna mais difícil

Mude para Fatorizar e a pergunta inverte-se: dada a área, quais eram os lados? Não há aqui nada de novo. O desenvolvimento é um cálculo; a fatorização é uma procura. Conhecemos o total das quatro parcelas e temos de encontrar uma disposição que forme um retângulo. Por causa desta assimetria, um sentido ensina-se como procedimento e o outro como uma destreza. É também por isso que multiplicar dois números primos é fácil, enquanto decompor o produto em fatores está na base do RSA.

Um simples teste revela se vale a pena iniciar a procura

Antes de procurar fatores, calcule b² − 4ac. Se o resultado for um quadrado perfeito, o trinómio fatora-se nos inteiros. Caso contrário, não existe nenhuma disposição possível, por mais tentativas que se façam. Carregue em Um que não se fatora: x² + x + 1 tem discriminante −3, portanto o retângulo simplesmente não existe. É o mesmo discriminante que determina quantas raízes tem uma equação do segundo grau, e não por acaso: os lados do retângulo são as raízes sob outra forma, e procurar lados inteiros equivale a procurar raízes racionais. Ao percorrer todos os trinómios com a entre 1 e 8 e b, c entre −12 e 12, encontram-se 733 com discriminante quadrado perfeito; todos os 733 se fatoram.

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Expandir e Fatorizar

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

As quatro letras de FOIL são quatro retângulos 🖖

A fatorização utiliza a mesma imagem, e é por isso que se torna mais difícil 🖖

Um simples teste revela se vale a pena iniciar a procura 🖖

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