Solucionador de Equação Quadrática

Introduz a, b e c. Se os coeficientes forem inteiros, obténs as raízes na forma exata, com radicais quando são irracionais. Todos os cálculos aparecem abaixo.

Fórmula resolvente	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Número de raízes reais	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
Completamento do quadrado	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
Soma e produto das raízes	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Exemplo resolvido — Solucionador de Equação Quadrática

Discriminante	1
Raízes	3, 2
Vértice	(2,5, −0,25), mínimo
Soma das raízes	5
Produto das raízes	6

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Solucionador de Equação Quadrática

Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. As suas raízes são os valores de x que verificam a igualdade. As raízes reais são as abcissas dos pontos em que a parábola y = ax² + bx + c intersecta o eixo das abcissas.

De onde vem a fórmula

Põe a em evidência nos termos com x, para que o coeficiente de x² dentro do parêntese seja a unidade.
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
Completa o quadrado. Divide o coeficiente de x por dois e eleva o resultado ao quadrado. Soma e subtrai esse valor dentro do parêntese. Depois de simplificar, o termo que fica fora do quadrado dá a ordenada do vértice.
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
Resolve em ordem a x. Iguala a expressão a zero, isola o quadrado e considera os dois sinais ao extrair a raiz quadrada. Obténs assim a fórmula resolvente.
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
Analisa o discriminante. Como um quadrado nunca é negativo, o sinal de b² − 4ac determina se há duas raízes reais distintas, uma raiz dupla ou duas raízes complexas conjugadas.
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
Mantém os radicais na forma exata. Extrai de √Δ os fatores que sejam quadrados perfeitos e simplifica os fatores comuns a todos os termos do numerador e ao denominador. Apresenta aproximações decimais apenas se o enunciado as pedir.
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

Quando a fórmula famosa falha em silêncio

A fórmula dos manuais escolares pode atraiçoar-nos num computador. Quando b² é muito superior a 4ac, a raiz quadrada é quase igual a |b|. Isso obriga uma das duas raízes a subtrair dois números quase idênticos (-b + √Δ quando b é positivo, e -b − √Δ quando b é negativo), dizimando a maioria dos algarismos significativos num efeito conhecido como cancelamento catastrófico. As bibliotecas numéricas contornam o problema ao calcular primeiro uma das raízes. A segunda é obtida depois através de c/(a·x₁). A álgebra secular e a moderna aritmética de ponto flutuante entram num silencioso desacordo.

TEORIA DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA — LER ax² + bx + c ANTES DE RESOLVER

O discriminante: quantas raízes e para que lado abre?

Dois números definem o formato da resposta antes de você tocar na fórmula. O discriminante Δ = b² − 4ac diz quantas raízes reais existem, e o sinal de a diz para que lado a parábola abre e se o vértice é um ponto mínimo ou máximo.

Δ > 0 — duas raízes reais distintas Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — uma raiz real dupla Δ = 0

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas Δ < 0

a < 0 — a parábola abre para baixo a < 0

Δ > 0 — duas raízes reais distintas

O que você sabe: O discriminante b² − 4ac dá positivo. A parábola cruza o eixo x em dois pontos separados.

Raízes: Δ = b² − 4ac > 0

Exemplo resolvido: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 e x = 3

Abrir este caso: duas raízes

Δ > 0 — duas raízes reais distintas. Δ > 0: a curva corta o eixo duas vezes, simetricamente em torno do vértice. O discriminante b² − 4ac dá positivo. A parábola cruza o eixo x em dois pontos separados. — Δ > 0: a curva corta o eixo duas vezes, simetricamente em torno do vértice.

Δ = 0 — uma raiz real dupla

O que você sabe: O discriminante é exatamente zero. A parábola toca o eixo x num único ponto em vez de atravessá-lo.

Raízes: Δ = 0

Exemplo resolvido: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, contada duas vezes

Abrir este caso: raiz dupla

Δ = 0 — uma raiz real dupla. Δ = 0: o vértice fica exatamente sobre o eixo — tangência, não travessia. O discriminante é exatamente zero. A parábola toca o eixo x num único ponto em vez de atravessá-lo. — Δ = 0: o vértice fica exatamente sobre o eixo — tangência, não travessia.

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas

O que você sabe: O discriminante é negativo. A parábola nunca alcança o eixo x, então não há solução real.

Raízes: Δ < 0

Exemplo resolvido: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Abrir este caso: raízes complexas

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas. Δ < 0: a curva inteira fica de um só lado do eixo. O discriminante é negativo. A parábola nunca alcança o eixo x, então não há solução real. — Δ < 0: a curva inteira fica de um só lado do eixo.

a < 0 — a parábola abre para baixo

O que você sabe: O coeficiente principal a é negativo. Isso independe do discriminante: vira a curva e transforma o vértice num máximo.

Raízes: a < 0

Exemplo resolvido: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, com máximo em (0, 4)

Abrir este caso: abre para baixo

a < 0 — a parábola abre para baixo. a < 0: os braços apontam para baixo e o vértice é o máximo. O coeficiente principal a é negativo. Isso independe do discriminante: vira a curva e transforma o vértice num máximo. — a < 0: os braços apontam para baixo e o vértice é o máximo.

Referências (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problemas resolvidos na íntegra

Resolução de x² − 5x + 6 = 0 por completamento do quadrado 5 passos
Resolva x² − 5x + 6 = 0 completando o quadrado. Depois responda a algo que a fórmula resolvente não lhe dirá: o discriminante conta as raízes, mas o que mede o seu tamanho?

Abrir este problema na ferramenta
1. Completar o quadrado não é um truque para resolver equações do segundo grau — é a demonstração de que a fórmula resolvente é verdadeira, aplicada a uma equação específica. Divida o coeficiente de x por dois, eleve-o ao quadrado, some e subtraia. O 6,25 que surge é o preço de forçar os dois primeiros termos a formar um quadrado perfeito, e tem de ser compensado na mesma linha.
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. A forma canónica coloca a variável exatamente num único lugar, pelo que pode ser desfeita diretamente: isole o quadrado, tome ambas as raízes, some 2,5. Nenhuma fórmula foi necessária e nenhuma foi memorizada.
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. Agora o discriminante. Aqui Δ = 1, e como é positivo, existem duas raízes reais. Essa é a parte que todos os manuais escolares mencionam.
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. Aparece mais duas vezes, e nenhuma delas costuma ser dita em voz alta. A distância entre as raízes é √Δ/|a|, porque o ± na fórmula contribui com ±√Δ/2a para cada uma. E o vértice situa-se Δ/4a abaixo do eixo — o −0,25 no painel acima não é um resultado independente, é novamente o discriminante, dividido por quatro.
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. As relações de Viète fecham o ciclo. Desenvolva a(x − x₁)(x − x₂), compare termo a termo com ax² + bx + c, e a soma e o produto das raízes surgem diretamente sem ter de resolver nada.
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
Resposta

As raízes são x = 2 e x = 3, e a ferramenta apresenta o vértice em (2,5; −0,25) a partir do mesmo completamento do quadrado. A grande vantagem é que um único número rege três factos distintos. Δ = 1 torna as raízes reais, coloca-as a exatamente 1 de distância e faz descer o vértice exatamente 0,25 abaixo do eixo. Aumente c em direção a 6,25 e observe os três a mudarem em conjunto: as raízes aproximam-se, a distância fecha-se como √Δ e a parábola sobe até tocar no eixo em Δ = 0. Nunca foram três coincidências — são uma única quantidade vista de três perspetivas.

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
Fórmula resolvente com radicais 4 passos
Resolve 2x² − 3x − 4 = 0, apresentando as raízes na forma exata.

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1. Identifica a, b e c, sem perder os sinais. É aqui que mais se perdem pontos nesta questão.
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. Começa pelo discriminante. É positivo e não é um quadrado perfeito, pelo que há duas raízes reais, ambas irracionais.
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. Substitui os valores na fórmula resolvente. Como não se podem extrair fatores de √41, o radical fica como está.
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. As aproximações decimais ficam para o fim, e só se o enunciado as pedir.
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
Resposta

x = (3 ± √41)/4, aproximadamente 2,3508 e −0,8508.

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
Completar o quadrado quando a ≠ 1 4 passos
Escreve 2x² − 8x + 5 na forma a(x + p)² + q, indica o vértice da parábola y = 2x² − 8x + 5 e resolve 2x² − 8x + 5 = 0, apresentando as soluções na forma exata.

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1. Põe o 2 em evidência apenas nos termos com x. O 5 fica fora do parêntese.
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. Metade de −4 é −2. Eleva esse valor ao quadrado, soma-o e subtrai-o dentro do parêntese. Depois, multiplica o −4 pelo 2 que ficou fora.
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. Um quadrado nunca é negativo. Por isso, o valor mínimo é −3, atingido quando a expressão entre parênteses é 0.
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. Iguala a zero a expressão com o quadrado completo. Basta agora isolar o quadrado e extrair a raiz quadrada.
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
Resposta

2(x − 2)² − 3; vértice (2, −3), onde se atinge o mínimo; x = (4 ± √6)/2.

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
Um parâmetro e raízes iguais 4 passos
Determina os valores de k para os quais x² + kx + 9 = 0 tem raízes iguais. Para que valores de k tem duas raízes reais distintas?

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1. Para haver raízes iguais, o discriminante tem de ser zero. Escreve essa condição em função de k.
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. Resolve a equação em ordem a k.
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. Verifica um dos valores. Com k = 6, o polinómio é um quadrado perfeito e a única raiz é −3.
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. Para haver duas raízes reais distintas, o discriminante tem de ser positivo. Isso acontece fora do intervalo delimitado pelos valores que acabaste de encontrar.
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
Resposta

k = 6 ou k = −6 para raízes iguais; há duas raízes reais distintas quando k < −6 ou k > 6.

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
Sem raízes reais 3 passos
Mostra que x² + 2x + 5 = 0 não tem raízes reais e determina as suas raízes complexas.

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1. O discriminante é negativo.
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. Completar o quadrado permite ver porquê: o primeiro membro nunca é inferior a 4, logo nunca é 0. A parábola fica toda acima do eixo das abcissas.
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. A fórmula resolvente continua a aplicar-se, com √−16 = 4i. As duas raízes são complexas conjugadas.
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
Resposta

Δ = −16 < 0, pelo que não há raízes reais; as raízes complexas são x = −1 ± 2i.

$x=-1\pm2i$
Uma equação do segundo grau disfarçada 3 passos
Resolve x⁴ − 5x² + 4 = 0.

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1. Os únicos termos com x são x² e x⁴, e x⁴ é (x²)². Usa outra letra para representar x².
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. Tens agora uma equação do segundo grau em u, que a ferramenta resolve.
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. Volta à variável x. Cada valor positivo de u dá dois valores de x.
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
Resposta

x = −2, −1, 1 ou 2.

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
Das raízes à equação do segundo grau 3 passos
Determina uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros cujas raízes sejam 2 + √3 e 2 − √3.

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1. Soma as raízes: os termos com radicais anulam-se.
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. Multiplica-as. O produto é uma diferença de quadrados e o radical volta a desaparecer.
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. Numa equação do segundo grau com coeficiente principal 1, o primeiro membro é x² menos a soma das raízes vezes x, mais o produto das raízes.
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
Resposta

x² − 4x + 1 = 0.

$x^{2}-4x+1=0$
Um modelo e uma raiz a rejeitar 4 passos
Uma bola é lançada de modo que, ao fim de t segundos, a sua altura em metros é h = 1,5 + 14t − 4,9t². Quando chega ao solo e qual é a altura máxima que atinge?

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1. No solo, h = 0. Ordenando os termos por potências decrescentes de t, temos a = −4,9, b = 14 e c = 1,5.
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. Calcula o discriminante.
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. A fórmula resolvente dá duas raízes. A negativa corresponde a um instante anterior ao lançamento, ao qual o modelo não se aplica, por isso rejeita-se.
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. A altura máxima corresponde ao vértice da parábola. Trata-se de um máximo porque a é negativo.
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
Resposta

A bola chega ao solo ao fim de cerca de 2,96 s e atinge a altura máxima de 11,5 m, em t ≈ 1,43 s.

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Resolve x² + 4x − 7 = 0, apresentando as soluções na forma de radicais.

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x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
Escreve x² − 6x + 11 na forma (x − p)² + q e indica o seu valor mínimo.

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(x − 3)² + 2; mínimo 2, para x = 3

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
Determina k sabendo que 2x² − 4x + k = 0 tem raízes iguais.

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k = 2

$k=2$
Determina os valores de k para os quais x² + 2kx + 9 = 0 não tem raízes reais.

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−3 < k < 3

$-3<k<3$
Resolve 3x² − 5x − 2 = 0.

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x = 2 ou x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
Resolve x² + 6x + 13 = 0.

Mostrar resposta

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
Resolve 4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0.

Mostrar resposta

x = 1 ou x = 2

$x=1,\ \ x=2$

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.