Treinador de divisão de polinômios

Introduz o dividendo e o divisor como polinómios em x, por exemplo 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5, ou como listas de coeficientes por ordem decrescente dos expoentes, por exemplo 2, -3, 4, -5. Com coeficientes inteiros de valor moderado, todos os cálculos são exatos, mesmo quando surgem frações.

O algoritmo da divisão	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
O teorema do resto	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
O teorema do fator	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

Exemplo resolvido — Treinador de divisão de polinômios

Quociente	2x² + x + 6
Resto	7
Verificação por multiplicação	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2), pelo teorema do resto	7
x − 2 é um fator?	não
Dividendo	2

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Treinador de divisão de polinômios

Dividir um polinómio P(x) por D(x) consiste em determinar um quociente Q(x) e um resto R(x) tais que P = DQ + R e o grau de R seja inferior ao grau de D.

De onde vem a fórmula

Divide os termos de maior grau. O termo de maior grau de P dividido pelo termo de maior grau de D dá o primeiro termo do quociente.
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
Multiplica pelo divisor e subtrai. Ao subtrair esse produto, o termo de maior grau de P anula-se e fica um polinómio de grau inferior.
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
Repete até obteres um grau inferior ao de D. Cada passagem dá mais um termo do quociente. Se faltar uma potência em P, mantém a coluna correspondente, com coeficiente 0.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
Deduz o teorema do resto a partir da identidade. Quando o divisor é x − a, R é um número. Ao substituir x por a em P = (x − a)Q + R, todo o primeiro termo do segundo membro se anula.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
Deduz agora o teorema do fator. x − a divide P se e só se o resto P(a) for 0. Assim, encontrar um fator desta forma equivale a encontrar uma raiz.
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

Problemas resolvidos na íntegra

Divisão com um termo em falta 4 passos
Divide x³ + 2x − 5 por x + 1.

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1. Como não há termo em x², escreve 0x² para manter os termos alinhados por grau. x³ ÷ x = x².
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. O produto de x² por (x + 1) é x³ + x². Subtraindo, fica −x² + 2x − 5. A seguir, −x² ÷ x = −x.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. O produto de −x por (x + 1) é −x² − x. Subtraindo, fica 3x − 5. Depois, 3x ÷ x = 3. Como 3(x + 1) = 3x + 3, a última subtração dá −8.
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. Verifica o resultado multiplicando o divisor pelo quociente e somando o resto.
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
Resposta

Quociente x² − x + 3, resto −8.

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
Um divisor quadrático 3 passos
Divide x⁴ + 3x³ − x + 2 por x² + x − 1.

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1. x⁴ ÷ x² = x². Multiplica x² pelo divisor e subtrai o produto.
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x. Multiplica 2x pelo divisor e subtrai o produto.
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1. Multiplica −1 pelo divisor e subtrai o produto. Sobra 2x + 1, de grau 1. Como o divisor tem grau 2, este é o resto.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
Resposta

Quociente x² + 2x − 1, resto 2x + 1.

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
Um divisor não mónico 4 passos
Divide 4x³ − 2x² + 6x + 1 por 2x − 1.

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1. Cada termo do quociente obtém-se dividindo por 2x. 4x³ ÷ 2x = 2x².
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x². Ao subtrair, o termo em x² também se anula. Como 0x² ÷ 2x = 0, o quociente não tem termo em x.
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3. O produto 3(2x − 1) = 6x − 3, depois de subtraído, deixa resto 4.
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. O teorema do resto confirma o resultado: 2x − 1 anula-se em x = 1/2.
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
Resposta

Quociente 2x² + 3, resto 4.

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
O resto sem fazer a divisão 2 passos
Determina o resto da divisão de x³ − 4x² + 5x − 7 por x − 3.

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1. O divisor tem a forma x − a, com a = 3, pelo que o resto é P(3).
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. O algoritmo da divisão dá o mesmo resto e o quociente x² − x + 2.
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
Resposta

O resto é −1.

$R=P(3)=-1$
De um fator à fatorização completa 3 passos
Mostra que x − 1 é um fator de x³ − 6x² + 11x − 6 e decompõe o polinómio completamente em fatores.

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1. P(1) = 0. Pelo teorema do fator, x − 1 divide P.
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. Efetua a divisão para obter o outro fator.
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. O quociente é um polinómio do segundo grau que também se decompõe em fatores.
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
Resposta

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
Um coeficiente desconhecido 3 passos
x + 2 é um fator de x³ + kx² − x − 2. Determina k.

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1. Como x + 2 = x − (−2), temos P(−2) = 0.
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. Resolve a equação em ordem a k.
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. Verifica pela divisão: o resto é 0.
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
Resposta

k = 2, e x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).

$k=2$
Duas incógnitas, duas condições 3 passos
P(x) = x³ + ax² + bx − 6. x − 1 é um fator de P, e a divisão de P por x + 1 tem resto 4. Determina a e b.

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1. Como x − 1 é um fator, P(1) = 0.
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. Pelo teorema do resto, P(−1) = 4.
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. Soma as duas equações. Depois, substitui o valor obtido numa delas.
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
Resposta

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
Divisão de 2x³ − 3x² + 4x − 5 por x − 2 5 passos
Dividir 2x³ − 3x² + 4x − 5 por x − 2 deixa um resto de 7. Chegue a esse resultado por divisão sintética e, em seguida, obtenha o mesmo 7 sem efetuar qualquer divisão.

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1. A divisão sintética é a divisão longa sem o registo das variáveis. Apenas os coeficientes importam, e dividir por x − r significa que o multiplicador é r.
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. Baixe o 2, multiplique por 2 e adicione a −3 para obter 1, multiplique por 2 e adicione a 4 para obter 6, multiplique por 2 e adicione a −5 para obter 7. Os primeiros três são o quociente; o último é o resto.
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. Escrevendo por extenso, trata-se do algoritmo da divisão de polinómios — e a identidade é válida para todo o x, não apenas para os valores convenientes.
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. Portanto, substitua x = 2. O fator (x − 2) anula todo o quociente, seja ele qual for, e a identidade reduz-se a P(2) = resto.
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. Calcular P(2) diretamente dá 7, coincidindo com o resultado da divisão sem que qualquer divisão tenha sido feita.
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
Resposta

A ferramenta apresenta um quociente de 2x² + x + 6 e um resto de 7. O teorema do resto é o que o passo 4 prova, e vale mais do que o atalho que proporciona: como o resto é P(r), perguntar se (x − r) divide um polinómio é o mesmo que perguntar se P(r) = 0. Aqui é 7, pelo que não divide. Essa equivalência transforma a procura de fatores numa avaliação — tente valores para o divisor até que o resto seja 0, e terá encontrado uma raiz e fatorizado o polinómio no mesmo passo.

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

Problemas suplementares, só com a resposta

Divide x³ − 3x² + 5 por x − 1.

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Quociente x² − 2x − 2, resto 3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
Divide 2x⁴ − 3x³ + x − 4 por x² − 2.

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Quociente 2x² − 3x + 4, resto −5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
Divide x² + 1 por 2x − 1.

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Quociente x/2 + 1/4, resto 5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
Determina o resto da divisão de 2x³ + 3x² − 5 por 2x + 1.

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−9/2

$-\frac92$
Mostra que x − 2 é um fator de x³ − 7x + 6 e decompõe o polinómio completamente em fatores.

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(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
A divisão de x³ + px + q por x − 1 tem resto 6, e x + 2 é um fator. Determina p e q.

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p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

Dividir por x − r não precisa de x nenhum

Quando o divisor é x − r, toda a disposição do algoritmo da divisão se reduz a uma linha de cálculos com os coeficientes: baixa o primeiro coeficiente, multiplica por r, soma o coeficiente seguinte e repete. É a regra de Ruffini. O procedimento é o mesmo do método de Horner para calcular o valor de um polinómio, o que explica por que razão o último número obtido é tanto o resto como o valor do polinómio em r. A poupança de cálculos é considerável: para um polinómio de grau 10, bastam 10 multiplicações, em vez de 19 se cada potência for calculada separadamente. É assim que as bibliotecas de cálculo numérico calculam valores de polinómios.

Seus arquivos são verificados por isto

Por trás de cada código de verificação CRC, usado para detetar erros num ficheiro guardado, num arquivo ZIP ou num pacote Ethernet, está uma divisão de polinómios. Os bits dos dados tornam-se coeficientes de um enorme polinómio sobre o corpo GF(2), onde a aritmética se faz módulo 2 e a adição corresponde à operação XOR. Multiplica-se esse polinómio pela potência de x correspondente ao grau do gerador e divide-se o resultado por um polinómio gerador fixo. O resto é o código de verificação, com os ajustes de valor inicial e inversão final que a norma utilizada possa prever. O mesmo algoritmo que aqui percorres à mão é executado milhares de milhões de vezes por segundo nos circuitos dos equipamentos de rede.

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Referências (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Treinador de divisão de polinômios

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

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