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Laboratório de triângulos semelhantes

Define os três lados e depois arrasta o fator de escala. Os ângulos ficam quietos, os lados seguem k e a área segue k × k.

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O dobro da altura é quatro vezes a tinta

Este é o erro de aritmética mais dispendioso que a maioria das pessoas comete, embora a aritmética não seja o problema. Duplicar as dimensões de uma figura não equivale a obter duas figuras. Equivale a obter quatro. Uma pizza com o dobro do diâmetro corresponde a quatro pizzas. Uma fotografia com o dobro da largura precisa de quatro vezes mais píxeis. Um modelo à escala 1:2 requer um quarto do material, não metade. Escolha um número inteiro para k e a ferramenta deixa de se limitar a afirmar o resultado: o triângulo maior aparece dividido nas cópias que realmente contém, para que possa contá-las.

Porque são exatamente k²

Divide cada lado do triângulo ampliado em k partes iguais e une as marcas com paralelas aos três lados. O resultado pavimenta sem folgas, e todas as peças são congruentes com o original — são k², das quais k na fila de baixo. Em nenhum ponto desse argumento se diz que forma tinha o triângulo, e é por isso que a lasca fina dá 16 tal como o 3-4-5. Euclides enuncia o resultado geral nos Elementos VI.19: «os triângulos semelhantes estão entre si na razão duplicada dos lados correspondentes» — e «razão duplicada» é a maneira dele de dizer o quadrado da razão.

É a medição que se atribui a Tales

Uma vara e a sua sombra formam um triângulo; uma árvore e a sua sombra formam outro. O sol está suficientemente longe para que os raios cheguem paralelos, portanto os dois triângulos têm ângulos iguais e, logo, lados proporcionais — e uma altura a que ninguém chega transforma-se em três comprimentos que qualquer pessoa mede a pé. É todo o método para medir uma pirâmide pela sombra, e é o mesmo quadrado que se preenche na grelha de multiplicação cruzada: 3 está para 4 como a árvore está para 20. São os triângulos semelhantes que tornam essa grelha legítima em vez de um truque.

Problema resolvido na íntegra

  1. Quantas cópias do triângulo 3-4-5 original cabem dentro da ampliação 5 passos

    Duplique todos os lados de um triângulo 3-4-5 e a área não duplica. Determine o que acontece a cada grandeza e quantas cópias do original cabem na ampliação.

    1. Multiplicar os três lados pelo mesmo fator de escala mantém o triângulo semelhante, e 6-8-10 continua a satisfazer Pitágoras — como tem de ser, uma vez que a relação é homogénea nos lados.

      (3,4,5)→ ×2 (6,8,10),62+82=100=102(3,4,5)\xrightarrow{\ \times2\ }(6,8,10),\qquad 6^2+8^2=100=10^2

    2. O perímetro é uma soma de comprimentos, pelo que varia na mesma proporção. Doze passa a vinte e quatro.

      P: 12→24=k P,A: 6→24=k2AP:\ 12\rightarrow24=k\,P,\qquad A:\ 6\rightarrow24=k^{2}A

    3. A área é o produto de dois comprimentos, pelo que varia com o quadrado do fator. Seis passa a vinte e quatro — o mesmo número que o perímetro neste caso, o que é uma coincidência destes lados em particular e uma boa razão para não extrapolar a partir de um único exemplo.

    4. Os ângulos não se alteram de todo. Dependem apenas de razões entre lados, e a mudança de escala mantém inalterada cada razão — que é o significado de semelhante.

      tan⁡−134=36.87∘, tan⁡−143=53.13∘, 90∘ — unchanged\tan^{-1}\tfrac34=36.87^\circ,\ \tan^{-1}\tfrac43=53.13^\circ,\ 90^\circ\ \text{— unchanged}

    5. Assim, quatro cópias do original cabem na ampliação, e isso é visível: o triângulo duplicado divide-se em quatro triângulos congruentes com o original.

      A′A=k2=4⟹4 copies tile the enlargement\frac{A'}{A}=k^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad 4\ \text{copies tile the enlargement}

    Resposta

    A ferramenta apresenta lados de 6, 8, 10, perímetro de 12 → 24, área de 6 → 24, ângulos inalterados e 4 cópias que cabem na figura. A regra resume-se numa linha: o comprimento varia com k, a área com k², o volume com k³ e o ângulo com k⁰; o expoente é igual à dimensão da grandeza medida. Por isso, duplicar o diâmetro da forma indicada numa receita quadruplica a área da base e faz o bolo sair mal. Também explica por que razão um animal com o dobro da altura teria oito vezes o peso apoiado numa secção transversal dos ossos apenas quatro vezes maior: a tensão nas patas duplicaria, impedindo-o de ser uma simples cópia ampliada de si próprio. Defina o fator como 3 e a área aumenta nove vezes.

    P∝k,A∝k2,V∝k3,angles∝k0P\propto k,\quad A\propto k^{2},\quad V\propto k^{3},\quad \text{angles}\propto k^{0}

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Referências (3)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.