Laboratório de sólidos: esfera, cone e cilindro

Coloque uma esfera de raio 3 dentro do menor cilindro que a contenha. Mostre que os volumes estão na razão 2:3, que as superfícies totais estão na mesma razão de 2:3 e, depois, explique por que razão o mesmo número surge duas vezes.

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1. O cilindro ajustado fica determinado pela esfera: o seu raio é r e a sua altura é 2r, porque a esfera tem de tocar na parede curva e em ambas as bases planas. Nada se pode escolher livremente.

   $$V_{\text{sph}} = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad V_{\text{cyl}} = \pi r^{2}\cdot 2r = 2\pi r^{3}$$

2. Volumes. A esfera é ⁴⁄₃πr³ e o cilindro é πr² × 2r = 2πr³. Dividindo: (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃, e r cancelou-se, pelo que a razão se mantém para todas as esferas que alguma vez existiram. Para r = 3 isto dá 113,10 contra 169,65.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$$

3. Superfícies. A esfera é 4πr². O cilindro necessita de três peças: duas bases planas de πr² cada e a parede curva, que se desenrola num retângulo de largura 2πr e altura 2r — ou seja, 4πr². Total 2πr² + 4πr² = 6πr².

   $$A_{\text{cyl}} = \underbrace{2\pi r^{2}}_{\text{caps}} + \underbrace{2\pi r\cdot 2r}_{\text{wall}} = 6\pi r^{2}$$

4. Dividindo de novo: 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃. A mesma razão, a partir de um cálculo completamente diferente. Para r = 3 isto dá 113,10 contra 169,65 mais uma vez.

   $$\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}} = \frac{4\pi r^{2}}{6\pi r^{2}} = \frac{2}{3}$$

5. Eis por que não se trata de sorte. Considere apenas a superfície lateral: a sua área é 4πr², exatamente a área total da esfera. É o resultado de Arquimedes: se cortarmos a esfera e o cilindro por quaisquer dois planos perpendiculares ao eixo do cilindro, as duas faixas compreendidas entre eles terão a mesma área, pois, à medida que subimos na esfera, os círculos diminuem precisamente ao ritmo a que a superfície se inclina. Somando as duas bases, 2πr², o 4 passa a 6.

   $$A_{\text{sph}} = 4\pi r^{2} = A_{\text{wall}} \quad\text{(Archimedes)}$$

6. Um aviso sobre o painel nestas definições. Mostra 113,0973 para o volume da esfera e 113,0973 para a sua superfície, e essas não são o mesmo tipo de grandeza — uma é em unidades cúbicas e a outra quadradas. Coincidem apenas porque ⁴⁄₃πr³ = 4πr² exige r = 3. Mude r para 4 e elas separam-se de imediato.

   $$\tfrac{4}{3}\pi r^{3} = 4\pi r^{2} \iff r = 3 \quad\text{(why the panel prints 113.0973 twice)}$$

A igual volume, o painel cobra ao cilindro mais 14,5% de superfície do que à esfera, e ao cone mais 26,0%. Determine de onde vêm esses dois valores e decida se a predefinição de material fixo é um segundo facto ou o mesmo.

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1. Comece pela esfera. Com r = 3, o volume é (4/3)π × 27 = 113,10 e a superfície é 4π × 9 = 113,10, que é o alvo que todos os outros sólidos têm de igualar.

   $$V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi\cdot 27 = 113.10, \qquad A_{\text{sph}} = 4\pi r^{2} = 113.10$$

2. O cilindro fechado mais barato que contém esse volume tem h = 2r, a proporção que minimiza a superfície. Então V = 2πr³ e A = 6πr², logo r = ∛18 = 2,6207 e a área dá 129,46.

   $$\text{Best cylinder: } h = 2r_c \Rightarrow V = 2\pi r_c^{3},\ A = 6\pi r_c^{2}; \qquad r_c = \sqrt[3]{18} = 2.6207,\ A = 129.46$$

3. Faça a comparação sem números e r desaparece. Igualar os volumes obriga a que o cubo do raio da esfera seja 3/2 do cubo do raio do cilindro, e a razão entre as áreas reduz-se à raiz cúbica de 3/2, que é 1,1447. É esse o 14,5%, e vale para qualquer tamanho.

   $$r_s^{3} = \tfrac{3}{2}r_c^{3} \;\Longrightarrow\; \frac{A_{\text{cyl}}}{A_{\text{sph}}} = \frac{6\pi r_c^{2}}{4\pi\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2/3} r_c^{2}} = \sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} = 1.1447 \;\Rightarrow\; +14.5\%$$

4. O cone mais barato tem h = √8 r, o que faz a sua geratriz medir exatamente 3r e a sua área 4πr². O mesmo cancelamento deixa a raiz cúbica de 2, que é 1,2599, ou seja, 26,0%.

   $$\text{Best cone: } h = \sqrt{8}\,r_n \Rightarrow \ell = 3r_n,\ A = 4\pi r_n^{2},\ V = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi r_n^{3}; \qquad \frac{A_{\text{cone}}}{A_{\text{sph}}} = \sqrt[3]{2} = 1.2599 \;\Rightarrow\; +26.0\%$$

5. Duas raízes cúbicas de frações pequenas são um forte indício de que há uma única grandeza a fazer o trabalho, e ela é Q = 36πV²/A³. Não tem unidades e não se altera quando um sólido é ampliado. A esfera dá 1, o melhor cilindro ⅔ e o melhor cone exatamente ½.

   $$Q = \frac{36\pi V^{2}}{A^{3}}: \qquad Q_{\text{sph}} = 1, \quad Q_{\text{cyl}} = \tfrac{2}{3}, \quad Q_{\text{cone}} = \tfrac{1}{2}$$

6. Q resolve as duas predefinições de uma só vez. A volume fixo, a superfície varia como Q elevado a −⅓, o que devolve 1,1447 e 1,2599. A superfície fixa, o volume varia como √Q, pelo que a esfera contém √(3/2) = 1,2247 vezes o cilindro e √2 = 1,4142 vezes o cone. São os 22,5% e os 41,4% dos cartões de material fixo.

   $$\text{fixed } V:\ A \propto Q^{-1/3} \Rightarrow 1.1447,\ 1.2599; \qquad \text{fixed } A:\ V \propto Q^{1/2} \Rightarrow \sqrt{\tfrac{3}{2}} = 1.2247,\ \sqrt{2} = 1.4142$$

7. E o ⅔ do cilindro é a razão com que esta página abriu. O cilindro que minimiza a superfície é h = 2r, o cilindro circunscrito de Arquimedes, e aí a esfera contém dois terços tanto do volume como da superfície. Introduza isso em Q e os quadrados e os cubos deixam (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}} = \frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}} = \frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; Q_{\text{cyl}} = \frac{(3/2)^{2}}{(3/2)^{3}} = \frac{2}{3}$$