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Geometria da Pirâmide

geometria ao estilo do Egito antigo para pirâmides de base quadrada

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O um terço é exato, mas não se prova cortando

Uma pirâmide contém exatamente um terço do prisma que compartilha sua base e altura — não aproximadamente, exatamente. Em duas dimensões o fato correspondente é fácil de ver: um triângulo é metade do seu retângulo, e você pode demonstrá-lo cortando o retângulo e reorganizando as peças. Em três dimensões esse caminho está fechado. Hilbert perguntou em 1900 se dois sólidos de volume igual podem sempre ser cortados em um número finito de peças e remontados um no outro, e Max Dehn provou em 1901 que não — um tetraedro regular e um cubo de mesmo volume não são alcançáveis um a partir do outro por nenhum conjunto finito de cortes. O fator 1/3 é portanto genuinamente um resultado sobre limites, e é por isso que ele chega com o cálculo e não com uma tesoura.

Dois números definem toda a pirâmide

Uma pirâmide de base quadrada fica totalmente determinada por apenas duas medidas: o lado da base s e a altura vertical h. Todo o resto decorre de um triângulo retângulo que vai do centro da base ao ponto médio de uma aresta. O apótema da pirâmide é sua hipotenusa, l = √(h² + (s/2)²), e, com l, a superfície e o volume saem na hora. Mude uma entrada e cada resultado é recalculado junto.

Como os egípcios mediam a inclinação ao contrário

Os antigos egípcios não usavam ângulos. No papiro de Rhind, registravam a inclinação de uma pirâmide como seu seked: o avanço horizontal, em palmos, para cada côvado real (7 palmos) de subida vertical — em essência a cotangente, o inverso da nossa inclinação moderna. O seked da Grande Pirâmide é de cerca de 5½ palmos, dando um ângulo de face próximo de 51,84°. A saída seked desta ferramenta ressuscita essa convenção de 3600 anos.

Problema resolvido na íntegra

  1. Duas coincidências da Grande Pirâmide, resolvidas com um número 6 passos

    A Grande Pirâmide: base 230,4 m, altura 146,6 m. Obtenha a altura inclinada, as áreas, o volume e o ângulo da face — e depois resolva as duas famosas coincidências com um único número.

    1. A altura inclinada é a hipotenusa do triângulo que vai do centro da base ao ponto médio da aresta e até ao ápice — metade da base, e não a base completa, que é o erro mais comum aqui.

      ℓ=h2+(s2)2=146.62+115.22=34 762.6=186.4473 m\ell=\sqrt{h^{2}+\left(\tfrac{s}{2}\right)^{2}}=\sqrt{146.6^{2}+115.2^{2}}=\sqrt{34\,762.6}=186.4473\ \mathrm{m}

    2. A superfície lateral é composta por quatro triângulos, cada um com base s e altura ℓ, pelo que 4 × ½sℓ se reduz a 2sℓ. Adicione a base para obter o total.

      Ab=s2=53 084.16,Al=2sℓ=85 914.92,A=138 999.08 m2A_b=s^{2}=53\,084.16,\qquad A_l=2s\ell=85\,914.92,\qquad A=138\,999.08\ \mathrm{m^{2}}

    3. O volume é um terço do prisma, e esse terço não é uma aproximação — é exato para qualquer pirâmide sobre qualquer base.

      V=13s2h=13(53 084.16)(146.6)=2 594 045.95 m3V=\tfrac{1}{3}s^{2}h=\tfrac{1}{3}(53\,084.16)(146.6)=2\,594\,045.95\ \mathrm{m^{3}}

    4. O ângulo da face deriva da elevação sobre a metade da base. O seked é o seu inverso, e era com esse número que os construtores efetivamente trabalhavam.

      θ=arctan⁡2hs=arctan⁡293.2230.4=51.8393∘,k=s/2h=0.7858\theta=\arctan\frac{2h}{s}=\arctan\frac{293.2}{230.4}=51.8393^{\circ},\qquad k=\frac{s/2}{h}=0.7858

    5. Compare o seked medido com a fração mais simples próxima dele. Cinco palmos e meio por côvado de sete palmos é 11/14, e coincide com uma precisão de uma parte em oito mil.

      k=512 palms7 palms=1114=0.785714(measured 0.785812)k=\frac{5\tfrac{1}{2}\ \text{palms}}{7\ \text{palms}}=\frac{11}{14}=0.785714\quad(\text{measured }0.785812)

    6. Agora derive a razão de π a partir dessa única fração. Não é um facto independente sobre a pirâmide; é 8k, e 8 × 11/14 calha a ficar a 0,04% de 2π.

      k=s/2h⇒h=s2k⇒4sh=8k=8⋅1114=6.28571against2π=6.28319k=\frac{s/2}{h}\Rightarrow h=\frac{s}{2k}\Rightarrow\frac{4s}{h}=8k=8\cdot\frac{11}{14}=6.28571\quad\text{against}\quad 2\pi=6.28319

    Resposta

    Ambas as coincidências são a mesma, e resumem-se à fração de um construtor: um seked de 11/14. Os egípcios não especificavam uma inclinação através de um ângulo. Indicavam antes quantos palmos de avanço horizontal correspondiam a um côvado de elevação, e um côvado tem sete palmos. Se adotarmos 5½ palmos, o seked, como razão pura, é de 11/14 = 0,785714, a contrastar com os 0,785812 que a pirâmide realmente mede. Tudo o resto deriva daí. O perímetro sobre a altura é exatamente 8 vezes o seked, logo 8 × 11/14 = 6,28571 face a 2π = 6,28319, e a proporção da apótema para a metade da base resulta em 1,6186 face a φ = 1,618034. Nem o π nem o φ foram lá introduzidos. Uma única inclinação racional, escolhida por ser simples de traçar no terreno com uma corda e um fio de prumo, produz ambas as constantes com três algarismos de precisão.

    k=1114 ⟹ 4sh=6.2857≈2π and ℓs/2=1.6186≈φk=\tfrac{11}{14}\ \Longrightarrow\ \frac{4s}{h}=6.2857\approx2\pi\ \text{and}\ \frac{\ell}{s/2}=1.6186\approx\varphi
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.