Volume por Fatiamento

Corte um sólido em fatias finas perpendiculares a um eixo e o volume será a soma das áreas dessas fatias multiplicadas pela espessura: V = ∫A(x) dx. Discos, anilhas ou secções transversais com forma geométrica conhecida são todos variantes desta mesma ideia; só muda A(x). O gráfico mostra a região plana, a secção em x vista de frente e a função de área ao longo do eixo, cuja área sob a curva fornece o volume.

Volume por fatiamento	$V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx$
Uma anilha	$A(x)=\pi\left(R(x)^{2}-r(x)^{2}\right)$

Exemplo resolvido — Volume por Fatiamento

Área da fatia em x	0,7854
Volume, integral das áreas	3,1416

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Volume por Fatiamento

Se a secção transversal de um sólido em x tem área A(x) para a ≤ x ≤ b, o seu volume é V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Ao rodar uma região em torno de um eixo, cada secção gera discos, A = πR², ou anilhas, A = π(R² − r²), em que R e r são as distâncias ao eixo de rotação.

O que significa cada símbolo

A(x): área da fatia em x, perpendicular ao eixo
R, r: raios exterior e interior da anilha, medidos a partir do eixo de rotação

De onde vem a fórmula

Fatie e some as parcelas. Uma fatia delgada com espessura Δx tem um volume próximo de A(x)Δx. Ao somar todas as fatias e fazer Δx tender para zero, a soma converte-se no integral.
$V\approx\sum_{i}A(x_i)\,\Delta x\ \longrightarrow\ \int_{a}^{b}A(x)\,dx$
Discos e anilhas. A rotação de uma região plana transforma cada fatia num disco maciço ou num disco com abertura central: subtraia sempre a área do buraco, nunca o seu raio.
$A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)\ne\pi(R-r)^{2}$

Problemas resolvidos na íntegra

Disco em torno do eixo x 1 passos
Calcule o volume gerado pela rotação da região sob y = √x em [0, 4] em torno do eixo x.

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1. Cada fatia é um disco de raio √x:
  
  $V=\int_{0}^{4}\pi\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot8$
Resposta

8π ≈ 25,1327.

$V=8\pi\approx25{.}1327$
A fórmula do cone a partir de discos 2 passos
Mostre que um cone de raio r e altura h tem volume πr²h/3.

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1. Assente o cone ao longo do eixo x com o vértice na origem: o raio em x vale rx/h.
  
  $R(x)=\frac{r}{h}x,\qquad 0\le x\le h$
2. Integre a área dos discos:
  
  $V=\int_{0}^{h}\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2}\,dx=\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
Resposta

πr²h/3. Com r = 1 e h = 3, o valor calculado é 3,1416, ou seja, π.

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
Uma anilha 1 passos
A região delimitada por y = x e y = x² em [0, 1] roda em torno do eixo x. Calcule o volume.

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1. Raio exterior x, raio interior x²:
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(x^{2}-x^{4}\right)dx=\pi\left(\tfrac13-\tfrac15\right)=\frac{2\pi}{15}$
Resposta

2π/15 ≈ 0,4189. O cálculo π∫(x − x²)² dx daria 0,1047, o erro apontado na secção sobre anilhas.

$V=\frac{2\pi}{15}\approx0{.}4189$
Anilha em torno de outro eixo 2 passos
A região sob y = x² em [0, 1] roda em torno da reta y = −1. Calcule o volume.

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1. Medindo os raios a partir de y = −1: a fronteira exterior fica em x² + 1 e o orifício em 1 (o eixo x):
  
  $R=x^{2}+1,\quad r=1$
2. Desenvolva e integre:
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(\left(x^{2}+1\right)^{2}-1\right)dx=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{4}+2x^{2}\right)dx=\pi\left(\tfrac15+\tfrac23\right)$
Resposta

13π/15 ≈ 2,7227. Esquecer o deslocamento de 1 nos raios daria o volume dos discos em torno do eixo x, π/5, que corresponde a outro sólido.

$V=\frac{13\pi}{15}\approx2{.}7227$
Secções quadradas 1 passos
A base de um sólido é a região sob y = √x em [0, 4]. Todas as secções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados. Calcule o volume.

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1. O quadrado na posição x tem lado √x:
  
  $V=\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\int_{0}^{4}x\,dx=8$
Resposta

8. Não há rotação nem fator π: a geometria da fatia determina A(x) e nada mais é necessário.

$V=8$
Secções semicirculares 1 passos
A base de um sólido é o disco x² + y² ≤ 1. As secções transversais perpendiculares ao eixo x são semicírculos assentes nas cordas do disco. Calcule o volume.

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1. A corda em x mede 2√(1 − x²), logo o raio do semicírculo é √(1 − x²):
  
  $A(x)=\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right),\qquad V=\int_{-1}^{1}\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right)dx=\tfrac12\pi\cdot\tfrac43$
Resposta

2π/3 ≈ 2,0944. Metade do volume da esfera unitária, cujas secções seriam círculos completos em vez de semicírculos.

$V=\frac{2\pi}{3}\approx2{.}0944$
A esfera 1 passos
Mostre que uma esfera de raio r tem volume 4πr³/3.
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1. Rode o semicírculo y = √(r² − x²) em torno do eixo x: o disco em x tem raio √(r² − x²).
  
  $V=\int_{-r}^{r}\pi\left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi\left(2r^{3}-\tfrac{2r^{3}}{3}\right)$
Resposta

4πr³/3. Arquimedes obteve este valor como dois terços do cilindro circunscrito, 2πr³.

$V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Faz rodar a região sob a curva y = x², com 0 ≤ x ≤ 2, em torno do eixo x. Determina o volume do sólido obtido.

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32π/5 ≈ 20,1062.

$V=\frac{32\pi}{5}\approx20{.}1062$
Faz rodar a região delimitada por y = x³, y = 8 e pelo eixo y em torno desse eixo. Determina o volume do sólido obtido.

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96π/5 ≈ 60,3186. As secções perpendiculares ao eixo y são discos de raio x = ∛y, com 0 ≤ y ≤ 8.

$V=\int_{0}^{8}\pi y^{2/3}\,dy=\frac{96\pi}{5}\approx60{.}3186$
Faz rodar a região compreendida entre y = x² e y = 1 em torno da reta y = 1. Determina o volume do sólido obtido.

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16π/15 ≈ 3,351. As secções são discos de raio 1 − x², medido para baixo a partir do eixo de rotação, com −1 ≤ x ≤ 1.

$V=\int_{-1}^{1}\pi\left(1-x^{2}\right)^{2}dx=\frac{16\pi}{15}\approx3{.}351$
Um sólido tem por base o disco x² + y² ≤ 1. Todas as secções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros. Determina o volume do sólido.

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4√3/3 ≈ 2,3094. Um triângulo equilátero de lado s tem área (√3/4)s². Neste caso, s = 2√(1 − x²).

$V=\int_{-1}^{1}\sqrt3\left(1-x^{2}\right)dx=\frac{4\sqrt3}{3}\approx2{.}3094$
Uma taça hemisférica de raio 10 cm contém água até uma altura de 4 cm a contar do fundo. Determina o volume da água.

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416π/3 ≈ 436 cm³. À altura y acima do fundo, a secção transversal da água é um disco com r² = 100 − (10 − y)², para 0 ≤ y ≤ 4.

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{4}\pi\left(20y-y^{2}\right)dy\\&=\frac{416\pi}{3}\approx436\ \mathrm{cm^{3}}\end{aligned}$

O cone é exatamente um terço do respetivo cilindro, e as fatias explicam porquê

Carregue em Um cone, um terço. A fatia na posição x é um disco de raio x/3. A sua área cresce ao ritmo de x²: minúscula junto ao vértice, atinge π na base. O volume procurado é a área sob A(x) de 0 a 3. Como ∫x² dx = x³/3, a área sob uma parábola preenche um terço do retângulo que a envolve. Esse retângulo vale π vezes 3 — o próprio cilindro envolvente. O cone mede, portanto, π. Sempre um terço, independentemente da altura ou do raio. Demócrito enunciou esta proporção e Arquimedes atribuiu a demonstração rigorosa a Eudoxo; com o método das fatias, basta um único integral.

A anilha é a diferença de duas áreas, não a área de uma diferença

Carregue em Áreas, não raios. Cada fatia é um disco de raio x ao qual se retira um disco interior de raio x², com área π(x² − x⁴). O volume total dá 2π/15 ≈ 0,4189. Há um atalho tentador que consiste em elevar ao quadrado a diferença dos raios, calculando π(x − x²)². A página também integra esse valor: dá 0,1047, exatamente um quarto do correto. Em cada fatia, as duas expressões diferem em 2πr(R − r), uma quantidade que nunca é negativa; por isso, o atalho fica sempre aquém da realidade. O buraco é um disco completo de raio r, e é a sua área que tem de ser subtraída.

O volume depende apenas da área das fatias, não da sua disposição

Carregue em Fatias quadradas e, depois, em Fatias semicirculares. Nenhum destes sólidos resulta de uma revolução: um ergue secções quadradas sobre uma região plana, o outro assenta semicírculos sobre um disco. O cálculo é rigorosamente o mesmo em ambos os casos, integrando A(x), porque mais nada nas fatias interfere no volume. Empurre uma pilha de moedas até ficar inclinada e o seu volume permanece inalterado, já que cada fatia mantém a sua área individual. Bonaventura Cavalieri transformou esta constatação num princípio em 1635; na China, por volta do ano 500, Zu Geng, filho de Zu Chongzhi, já aplicava o mesmo raciocínio.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.