Acumulação e Movimento

Integrar a velocidade dá a variação da posição; integrar o seu valor absoluto mostra quanto o objeto realmente percorreu. Os dois valores divergem sempre que há inversão de sentido. A página sombreia o avanço e o recuo, desenha a posição e assinala os instantes em que a velocidade iguala o seu valor médio.

Distância versus deslocamento	$\int_{a}^{b}v\,dt=s(b)-s(a),\qquad d=\int_{a}^{b}\left\|v\right\|dt$
Valor médio	$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$

Exemplo resolvido — Acumulação e Movimento

Deslocamento	1,3333
Distância dividida por troços	4
Velocidade média	0,3333
Velocidade escalar média	1
Instantes com v igual à média	0,8453, 3,1547

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Acumulação e Movimento

Para uma velocidade v(t) em [a, b], o deslocamento é ∫ₐᵇ v dt e a distância percorrida é ∫ₐᵇ |v| dt. O valor médio de uma função f em [a, b] é (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt: a altura do retângulo sobre [a, b] com a mesma área que f.

O que significa cada símbolo

v̄: a velocidade média, obtida dividindo o deslocamento pelo tempo decorrido

De onde vem a fórmula

Distância: decompor nas inversões. Onde v muda de sinal o objeto inverte o sentido, e a expressão de |v| muda de cada lado. Integre entre inversões consecutivas e some os valores absolutos.
$\int_{a}^{b}\left|v\right|dt=\sum_{i}\left|\int_{t_i}^{t_{i+1}}v\,dt\right|,\qquad v(t_i)=0$
A média é atingida. Uma função contínua f em [a, b] assume todos os valores entre o seu mínimo m e o seu máximo M. Como a média se situa entre ambos, f atinge o valor médio em algum ponto c.
$m\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\,dt\le M\ \Rightarrow\ f(c)=\bar f$

Problemas resolvidos na íntegra

Valor médio e onde é atingido 2 passos
Determine o valor médio de f(t) = t² em [0, 3] e o instante em que f o atinge.

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1. Divida a integral pelo comprimento do intervalo:
  
  $\bar f=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}\cdot9=3$
2. Resolva f(c) = 3 no interior do intervalo:
  
  $c^{2}=3\ \Rightarrow\ c=\sqrt3$
Resposta

Média 3, atingida em c = √3 ≈ 1,7321. Não no ponto médio 1,5, onde t² vale apenas 2,25.

$\bar f=3,\quad c=\sqrt3\approx1{.}7321$
Deslocamento e distância 2 passos
Uma partícula move-se com velocidade v(t) = t² − 4t + 3 para 0 ≤ t ≤ 4. Determine o seu deslocamento e a distância percorrida.

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1. O deslocamento é a integral simples:
  
  $\int_{0}^{4}\left(t^{2}-4t+3\right)dt=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t\Bigr]_{0}^{4}=\tfrac{4}{3}$
2. O sentido inverte-se onde v = 0, em t = 1 e t = 3; decomponha a distância nesses pontos:
  
  $\tfrac43+\left|-\tfrac43\right|+\tfrac43=4$
Resposta

Deslocamento 4/3, distância 4. Cada um dos três trechos cobre 4/3; o do meio é feito em recuo.

$\Delta s=\tfrac43,\qquad d=4$
Posição a partir da velocidade e da condição inicial 2 passos
Sendo v(t) = 3t² − 6t e s(0) = 2, determine s(t) e a posição em t = 3.
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1. A posição é a condição inicial somada à velocidade acumulada:
  
  $s(t)=2+\int_{0}^{t}\left(3\tau^{2}-6\tau\right)d\tau=t^{3}-3t^{2}+2$
2. Em t = 3:
  
  $s(3)=27-27+2=2$
Resposta

s(t) = t³ − 3t² + 2 e s(3) = 2. De volta à partida: recuou até t = 2, onde s = −2, e depois avançou novamente.

$s(t)=t^{3}-3t^{2}+2,\qquad s(3)=2$
A média do seno 1 passos
Determine o valor médio de sin t em [0, π].

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1. A integral sob o arco, dividida pela sua largura:
  
  $\bar f=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\cos t\Bigr]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}$
Resposta

2/π ≈ 0,6366. A página marca os dois instantes em que esse valor é atingido, em 0,6901 e em π − 0,6901 = 2,4515.

$\bar f=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$
Acumulação a partir de uma taxa 1 passos
Entra água num tanque a uma taxa r(t) = 20 − 4t litros por minuto, durante 0 ≤ t ≤ 5. Quanta água entra?
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1. A quantidade acumulada é a integral da taxa:
  
  $\int_{0}^{5}(20-4t)\,dt=\Bigl[20t-2t^{2}\Bigr]_{0}^{5}=100-50$
Resposta

50 litros. A taxa cai para 0 em t = 5, logo a quantidade corresponde à área de um triângulo de base 5 e altura 20 — uma verificação que dispensa o cálculo.

$50\ \mathrm{L}$
Viagem de ida e volta 2 passos
Sendo v(t) = sin t em [0, 2π], determine a velocidade média e a velocidade escalar média.

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1. O deslocamento ao longo da volta completa é 0:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0$
2. A distância reparte-se em π:
  
  $\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt-\int_{\pi}^{2\pi}\sin t\,dt\right)=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$
Resposta

Velocidade média 0, velocidade escalar média 2/π ≈ 0,6366. Uma ida e volta tem sempre velocidade média 0, por mais depressa que o objeto tenha viajado.

$\bar v=0,\qquad\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determina o valor médio de 1/x no intervalo [1, e] e o valor de x em que é atingido.

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1/(e − 1) ≈ 0,582, atingido em x = e − 1 ≈ 1,7183.

$\bar f=\frac{1}{e-1}\approx0{.}582,\qquad c=e-1\approx1{.}7183$
Uma partícula parte do repouso com aceleração a(t) = 6t − 6. Determina v(t), o deslocamento e a distância percorrida para 0 ≤ t ≤ 3.

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v(t) = 3t² − 6t. O deslocamento é 0 e a distância percorrida é 8: a partícula recua 4 até t = 2 e depois avança 4.

$v(t)=3t^{2}-6t,\qquad\Delta s=0,\qquad d=8$
Um depósito perde líquido à taxa de 10e^−0,2t litros por minuto. Que volume se perde nos primeiros 10 minutos?

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50(1 − e⁻²) ≈ 43,2 litros. Por mais tempo que a fuga dure, o volume total perdido fica sempre abaixo de 50 litros.

$\int_{0}^{10}10e^{-0.2t}\,dt=50\left(1-e^{-2}\right)\approx43{.}2\ \mathrm{L}$
A temperatura t horas após as 6 da manhã é T(t) = 20 + 5 sen(πt/12) °C. Determina a temperatura média nas primeiras 12 horas.

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20 + 10/π ≈ 23,2 °C.

$\bar T=20+\frac{10}{\pi}\approx23{.}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$
Determina b > 0 para que o valor médio de x² no intervalo [0, b] seja 12.

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b = 6, pois b²/3 = 12.

$\frac{b^{2}}{3}=12\ \Rightarrow\ b=6$

O deslocamento diz onde terminou; só a distância diz quanto andou

Clique em O triplo da distância. A velocidade t² − 4t + 3 é positiva até t = 1, negativa de 1 a 3 e volta a ser positiva depois. Ao integrá-la em [0, 4], o recuo cancela parte do avanço: o corpo termina a 1,3333 da partida. Contudo, percorreu 4, o triplo desse valor, porque cada um dos três troços cobre 4/3 e apenas o valor absoluto os soma todos como distância. Integrar a velocidade diz-nos onde o objeto foi parar. Para saber quanto andou, divida o trajeto em cada inversão de marcha e some as parcelas como números positivos.

O valor médio é atingido algures, e raramente a meio

Clique em t²: fora do meio. A média de t² em [0, 3] é 9/3 = 3, e a linha tracejada cruza a curva uma única vez, em t = √3 ≈ 1,7321. O ponto médio do intervalo é 1,5, onde t² vale apenas 2,25. Para uma função contínua, o teorema do valor intermediário garante que a média é sempre atingida nalgum ponto, já que fica situada entre o mínimo e o máximo. O instante exato depende da geometria do gráfico: uma função com crescimento acelerado perto do fim, como t², alcança a média mais tarde.

Numa oscilação completa, a velocidade média é zero, mas a velocidade escalar não

Prima Uma oscilação completa. Numa volta completa, sen t avança e regressa ao ponto de partida: o deslocamento é 0, pelo que a velocidade média é 0, ainda que pelo caminho só pare ao inverter o sentido. Já a velocidade escalar média — a distância dividida pelo tempo — é 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Prima agora Meia oscilação: o valor médio de sen t em [0, π] também é 2/π. Afinal, a segunda metade da oscilação percorre a mesma distância que a primeira no mesmo intervalo de tempo, pelo que a velocidade escalar média na volta completa coincide com a velocidade média em meia oscilação.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.