Área entre curvas

A área entre duas curvas calcula-se integrando a curva superior menos a inferior, desde que não troquem de posição. Onde se cruzam, a diferença inverte o sinal e a integral começa a subtrair área que deveria somar. A ferramenta localiza as interseções, divide o intervalo e apresenta a área lado a lado com a integral direta.

Área entre duas curvas	$A=\int_{a}^{b}\bigl\|f(x)-g(x)\bigr\|\,dx$
Onde se cruzam em c	$\begin{aligned}\int_{a}^{b}\bigl\|f-g\bigr\|\,dx&=\int_{a}^{c}(g-f)\,dx\\&\quad+\int_{c}^{b}(f-g)\,dx\end{aligned}$

Exemplo resolvido — Área entre curvas

Área, dividida nas interseções	0,5
Integral da diferença, sem divisão	0
Interseções no intervalo	1

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Área entre curvas

A área entre duas curvas f e g em [a, b] é ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Se uma curva se mantém sempre por cima, temos ∫(superior − inferior) dx; onde se cruzam, divide-se o integral nesses cruzamentos e calcula-se cada parte como superior menos inferior.

O que significa cada símbolo

f, g: as duas curvas, funções de x, ou de y quando a região é fatiada no outro sentido

De onde vem a fórmula

Determine onde se encontram. Os cruzamentos ocorrem onde f − g muda de sinal no interior do intervalo, pois é aí que a curva de cima se inverte. Resolva f = g para encontrá-los; um ponto em que as curvas apenas se tocam não é um cruzamento.
$f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=c_1,\dots,c_k$
Integre superior menos inferior em cada parte. Entre cruzamentos vizinhos, uma curva permanece por cima: o integrando é positivo e o integral fornece a área dessa parte.
$A=\sum_{i}\left|\int_{c_i}^{c_{i+1}}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\right|$

Problemas resolvidos na íntegra

Uma parábola e uma reta 2 passos
Determine a área entre y = x² e y = x + 2.

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1. Intersetam-se onde x² = x + 2:
  
  $x^{2}=x+2\ \Rightarrow\ (x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$
2. Entre −1 e 2, a reta fica por cima:
  
  $\int_{-1}^{2}\left(x+2-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+2x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2}=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{2}$
Resposta

9/2 = 4,5. Confirme a curva superior testando um ponto: em x = 0 a reta vale 2 e a parábola 0.

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
Curvas que se cruzam no interior do intervalo 2 passos
Determine a área entre y = x³ e y = x em [−1, 1].

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1. Intersetam-se em x = −1, 0 e 1, invertendo posições em 0:
  
  $x^{3}=x\ \Rightarrow\ x=-1,\ 0,\ 1$
2. Em cada parte, coloca-se primeiro a curva superior:
  
  $\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right)dx+\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=\tfrac14+\tfrac14$
Resposta

½. Sem dividir o intervalo, a integral de x − x³ em [−1, 1] dá 0, tal como alertado no bloco sobre a integral nula.

$A=\tfrac12$
Duas curvas trigonométricas 2 passos
Determine a área entre y = sen x e y = cos x em [0, π/2].

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1. Cruzam-se onde tan x = 1, em π/4; antes desse ponto, cos x está por cima:
  
  $\sin x=\cos x\ \Rightarrow\ x=\tfrac{\pi}{4}$
2. As duas partes:
  
  $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x-\cos x)\,dx=(\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)$
Resposta

2√2 − 2 ≈ 0,8284. As duas partes são iguais, medindo √2 − 1 cada uma, devido à simetria da região em torno de x = π/4.

$A=2\sqrt2-2\approx0{.}8284$
Fatiamento em y 2 passos
Determine a área entre x = y² e x = y + 2.

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1. Intersetam-se onde y² = y + 2, em y = −1 e y = 2; a reta fica à direita:
  
  $y^{2}=y+2\ \Rightarrow\ y=-1,\ 2$
2. Uma única integral em y:
  
  $\int_{-1}^{2}\left(y+2-y^{2}\right)dy=\tfrac{9}{2}$
Resposta

9/2 = 4,5. O mesmo resultado do primeiro problema, pois esta região resulta da anterior por reflexão em torno da reta y = x.

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
Curvas que só se tocam nos extremos 1 passos
Determine a área entre y = √x e y = x² em [0, 1].

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1. Entre 0 e 1, √x fica por cima:
  
  $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac23x^{3/2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac23-\tfrac13$
Resposta

1/3. Cada curva é a imagem simétrica da outra em relação a y = x, pelo que a reta y = x divide esta área em duas metades de 1/6.

$A=\tfrac13$
Curvas que se intersetam em três pontos 2 passos
Determine a área total delimitada por y = x³ − x e y = 3x.
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1. Intersetam-se onde x³ − 4x = 0, ou seja, em x = −2, 0 e 2:
  
  $x^{3}-x=3x\ \Rightarrow\ x^{3}-4x=0\ \Rightarrow\ x=-2,\ 0,\ 2$
2. As partes têm a mesma forma rodada meia-volta em torno da origem; basta duplicar a da direita, onde 3x fica por cima:
  
  $A=2\int_{0}^{2}\left(4x-x^{3}\right)dx=2\Bigl[2x^{2}-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2}=2(8-4)$
Resposta

8. A integral direta em [−2, 2] voltaria a dar 0.

$A=8$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determine a área da região delimitada por y = x² e y = 2x − x².

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1/3 ≈ 0,3333. As curvas intersetam-se em x = 0 e x = 1.

$A=\tfrac13\approx0{.}3333$
Determine a área entre y = eˣ e y = x, de x = 0 a x = 1.

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e − 3/2 ≈ 1,2183. As curvas nunca se intersetam, pelo que os limites de integração são os extremos do intervalo.

$A=e-\tfrac32\approx1{.}2183$
Determine a área da região delimitada por y = x² − 4 e pelo eixo das abcissas.

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32/3 ≈ 10,6667. O integral de x² − 4 em [−2, 2] é −32/3, pois a região fica abaixo do eixo.

$A=\tfrac{32}{3}\approx10{.}6667$
Determine a área da região delimitada por y = √x, y = 2 − x e pelo eixo das abcissas.

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7/6 ≈ 1,1667. Integrando em ordem a y, basta um integral: ∫₀¹ (2 − y − y²) dy. Em ordem a x, são necessários dois, dividindo o intervalo em x = 1.

$A=\int_{0}^{1}\left(2-y-y^{2}\right)dy=\tfrac76\approx1{.}1667$
Determine a área da região delimitada por y = x, y = 1/x e pela reta x = 2.

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3/2 − ln 2 ≈ 0,8069, integrando desde x = 1, onde as curvas se intersetam, até x = 2.

$A=\int_{1}^{2}\left(x-\tfrac1x\right)dx=\tfrac32-\ln2\approx0{.}8069$

A integral da diferença pode ser nula numa região com bastante área

Clique em x³ e x: zero, mas há área. No intervalo [−1, 1], as duas curvas cruzam-se em 0. À esquerda, x³ fica por cima; à direita, é x. Como os dois lobos têm a mesma forma rodada meia-volta em torno da origem, cada um mede 0,25. O integral de x − x³ conta o lobo direito como positivo e o esquerdo como negativo, chegando a 0. A área é 0,5. Clique em sen e cos, volta completa para ver o mesmo em escala maior: uma área de 4√2 ≈ 5,6569 e um integral de exatamente 0. O integral de f − g mede o quanto f supera g em termos de saldo; a área pede |f − g|. Para integrar um valor absoluto, divide-se o cálculo onde o interior muda de sinal.

A mesma região pode exigir uma integral ou duas, dependendo de como a fatiamos

Clique em x = y² e x = y + 2. Fatiando ao longo de y, todas as faixas horizontais partem da parábola à esquerda e terminam na reta à direita, bastando uma única integral: ∫ de −1 a 2 de (y + 2 − y²) dy = 4,5. Se cortar a mesma área ao longo de x, o bordo inferior muda a meio caminho: abaixo de x = 1, ambos os extremos assentam na parábola, y = ±√x; de 1 a 4, a base passa a ser a reta. São precisas duas integrais, ambas com raízes quadradas, para obter os mesmos 4,5. Antes de fixar a variável, examine sempre as fronteiras que cada faixa encontra.

Arquimedes calculou esta área sem integrais: quatro terços de um triângulo

Clique em Parábola de Arquimedes. A reta x + 2 interseta a parábola nos pontos (−1, 1) e (2, 4), delimitando uma área de 4,5. Construa sobre essa corda o triângulo cujo terceiro vértice fica onde a tangente à parábola é paralela à reta, em (½, ¼): a sua área é 3,375, e 4,5 corresponde rigorosamente a 4/3 desse valor. Arquimedes demonstrou este resultado cerca de 250 a.C., em A Quadratura da Parábola, preenchendo o segmento com triângulos onde cada geração media um quarto da anterior e somando 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3. O cálculo integral chega ao mesmo número numa só linha; o método dele não precisou de cálculo, porque este ainda não existia.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.