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Fórmulas del ángulo doble

Indica A en grados o como en los exámenes, a partir del valor de una función y su cuadrante: el triángulo en la semicircunferencia muestra sin 2A, 1 + cos 2A y 1 − cos 2A como longitudes, y en los múltiplos enteros de 7,5° la tabla obtiene valores exactos con radicales. El modo Ecuaciones resuelve cos 2x o sin 2x frente a sin x o cos x en un intervalo, con el método paso a paso que se pide en un examen.

Seno sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A\sin2A=2\sin A\cos A
Coseno, tres formas cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A=2cos⁡2A−1=1−2sin⁡2A\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}
Tangente tan⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}
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Lección

La teoría — Fórmulas del ángulo doble

Las fórmulas del ángulo doble permiten calcular sin 2A, cos 2A y tan 2A a partir de las razones de A; leídas en sentido inverso, constituyen las fórmulas del ángulo mitad.

De dónde viene la fórmula

  1. Haz B = A en las fórmulas de la suma de ángulos. Los dos productos del seno se vuelven idénticos y el coseno pasa a ser una diferencia de cuadrados.
    sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A,cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A
  2. Sustituye un cuadrado por el otro mediante sin²A + cos²A = 1. Así obtienes dos variantes más de cos 2A: una que contiene únicamente cosenos y otra con solo senos.
    cos⁡2A=2cos⁡2A−1=1−2sin⁡2A\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A
  3. Divide para hallar la tangente. Al dividir numerador y denominador entre cos²A se exige cos A ≠ 0; la expresión carece de valor cuando tan²A = 1, que es justo donde cos 2A = 0.
    tan⁡2A=2sin⁡Acos⁡Acos⁡2A−sin⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}
  4. Despeja las expresiones del coseno para obtener el ángulo mitad. De ahí surgen cos²A y sin²A; el signo de la raíz cuadrada depende del signo de cos A o sin A en el cuadrante de A, un detalle que ninguna fórmula elige por ti.
    cos⁡2A=1+cos⁡2A2,sin⁡2A=1−cos⁡2A2\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}
  5. En una ecuación, busca una única función. Si acompaña a sin x, escribe cos 2x como 1 − 2sin²x; si acompaña a cos x, como 2cos²x − 1. Ante un término en sin 2x, saca factor común y jamás dividas entre él.
    cos⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=0,sin⁡2x=cos⁡x ⇒ cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0

Problemas resueltos al detalle

  1. Ángulo doble a partir de la tangente y el cuadrante 4 pasos

    tan A = 3/4 y 180° < A < 270°. Halla sin 2A, cos 2A y tan 2A, así como el cuadrante de 2A.

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    1. Un triángulo 3-4-5 determina las magnitudes; en el cuadrante III tanto el seno como el coseno son negativos:

      sin⁡A=−35,cos⁡A=−45\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}

    2. Aplicamos las fórmulas del ángulo doble; en el seno se cancelan los dos signos negativos:

      sin⁡2A=2(−35)(−45)=2425cos⁡2A=1625−925=725\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}

    3. Para la fórmula de la tangente basta conocer tan A:

      tan⁡2A=2⋅341−916=3/27/16=247\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}

    4. El ángulo 2A queda comprendido entre 360° y 540°; al tener seno y coseno positivos, se sitúa en el cuadrante I tras una vuelta completa:

      360∘<2A<540∘,sin⁡2A>0,cos⁡2A>0360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0

    Respuesta

    sin 2A = 24/25 = 0,96, cos 2A = 7/25 = 0,28, tan 2A = 24/7 ≈ 3,4286, y 2A ≈ 433,7398° se encuentra en el cuadrante I.

    sin⁡2A=2425,cos⁡2A=725,tan⁡2A=247\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}
  2. Valor exacto mediante la fórmula del ángulo mitad 3 pasos

    Usa cos 30° para obtener el valor exacto de cos 15° y demuestra que equivale a (√6 + √2)/4.

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    1. Despeja en cos 2A = 2cos²A − 1 tomando A = 15°:

      cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}

    2. Como 15° es agudo, se toma la raíz positiva:

      cos⁡15∘=2+32\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}

    3. Eleva al cuadrado el resultado obtenido por suma de ángulos para comparar. Al ser ambos positivos, cuadrados iguales demuestran que los números coinciden:

      (6+24)2=6+2+21216=8+4316=2+34\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}

    Respuesta

    cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

    cos⁡15∘=2+32=6+24≈0.9659\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659
  3. Tangente exacta mediante una ecuación de segundo grado 3 pasos

    Usa tan 45° = 1 y la fórmula de tan 2A para hallar el valor exacto de tan 22,5°.

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    1. Sustituye t = tan 22,5° en la fórmula del ángulo doble con 2A = 45°:

      2t1−t2=1 ⇒ t2+2t−1=0\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0

    2. Resuelve la ecuación de segundo grado:

      t=−2±4+42=−1±2t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}

    3. El ángulo 22,5° es agudo y su tangente es positiva; la otra raíz, −1 − √2, es tan 112,5°, cuyo doble también tiene tangente 1. El triángulo de la semicircunferencia ofrece el mismo valor por otra vía:

      tan⁡22.5∘=sin⁡45∘1+cos⁡45∘=2/21+2/2=22+2=2−1\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

    Respuesta

    tan 22,5° = √2 − 1 ≈ 0,4142.

    tan⁡22.5∘=2−1≈0.4142\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142
  4. Elección de la forma adecuada de cos 2x 3 pasos

    Resuelve cos 2x = sin x para 0° ≤ x < 360°.

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    1. Como el otro término es un seno, conviene emplear la forma de cos 2x que solo contiene senos:

      1−2sin⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=01-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0

    2. Factoriza como ecuación de segundo grado en sin x:

      (2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0 ⇒ sin⁡x=12,sin⁡x=−1(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1

    3. sin x = 1/2 en 30° y 180° − 30°; sin x = −1 únicamente en 270°:

      x=30∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}

    Respuesta

    x = 30°, 150° o 270°. La expresión cos²x − sin²x habría mezclado senos y cosenos en la misma ecuación.

    x=30∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}
  5. Factoriza, no dividas 3 pasos

    Resuelve sin 2x = cos x para 0° ≤ x < 360°.

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    1. Desarrolla sin 2x y traslada todos los términos al mismo miembro:

      2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0

    2. cos x aparece en ambos términos. Sácalo como factor común:

      cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

    3. Un producto se anula si cualquiera de sus factores se anula:

      cos⁡x=0: x=90∘, 270∘,sin⁡x=12: x=30∘, 150∘\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}

    Respuesta

    x = 30°, 90°, 150° o 270°. Dividir entre cos x en el primer paso solo arroja 30° y 150°: asume erróneamente cos x ≠ 0 y descarta justo las soluciones en las que cos x = 0.

    x=30∘, 90∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}
  6. De un cuadrado a un ángulo doble para calcular una integral 3 pasos

    Expresa sin²x en función de cos 2x y calcula con ello el valor exacto de la integral de sin²x entre 0 y π/2.

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    1. Despeja en cos 2x = 1 − 2sin²x:

      sin⁡2x=12−12cos⁡2x\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x

    2. Ahora cada término tiene una primitiva inmediata:

      ∫0π/2sin⁡2x dx=[x2−sin⁡2x4]0π/2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}

    3. Como sin π = sin 0 = 0, solo interviene x/2:

      =π4−0=π4=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}

    Respuesta

    La integral vale π/4 ≈ 0,7854, justo la mitad de la longitud del intervalo, ya que el promedio de sin²x en él es 1/2.

    ∫0π/2sin⁡2x dx=π4≈0.7854\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854
  7. Demostración de una identidad del ángulo mitad 3 pasos

    Demuestra que sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A siempre que ambos miembros estén definidos, y compruébalo para A = 30°.

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    1. Sustituye cada ángulo doble por la expresión que permita simplificar con el otro:

      sin⁡2A1+cos⁡2A=2sin⁡Acos⁡A1+(2cos⁡2A−1)=2sin⁡Acos⁡A2cos⁡2A\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}

    2. Simplifica 2 cos A, distinto de cero en todos los puntos donde tan A está definida:

      =sin⁡Acos⁡A=tan⁡A=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A

    3. Para A = 30°:

      sin⁡60∘1+cos⁡60∘=3/23/2=33=tan⁡30∘\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}

    Respuesta

    sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A; en 30°, ambos miembros valen √3/3 ≈ 0,5774. En la semicircunferencia coincide con la altura de P dividida entre el segmento mayor del diámetro.

    sin⁡2A1+cos⁡2A=tan⁡A\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A

Problemas complementarios, solo con la respuesta

  1. tan A = 2 y A es un ángulo agudo. Halla tan 2A.

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    −4/3

    tan⁡2A=−43\tan2A=-\tfrac{4}{3}

  2. Resuelve cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 para 0° ≤ x < 360°.

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    x = 120°, 180° o 240°

    x=120∘, 180∘, 240∘x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}

  3. Resuelve sin 2x = sin x para 0° ≤ x < 360°.

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    x = 0°, 60°, 180° o 300°

    x=0∘, 60∘, 180∘, 300∘x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}

  4. Halla el valor exacto de sin 22,5°.

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    √(2 − √2)/2 ≈ 0,3827

    sin⁡22.5∘=2−22\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

  5. cos A = 1/3 y A pertenece al cuadrante IV. Halla los valores exactos de sin 2A y cos 2A.

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    sin 2A = −4√2/9 ≈ −0,6285, cos 2A = −7/9

    sin⁡2A=−429,cos⁡2A=−79\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}

  6. Demuestra que cos 3A = 4cos³A − 3cos A.

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    Desarrolla cos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin A, sustituye 2cos²A − 1 y 2 sin A cos A, y aplica luego sin²A = 1 − cos²A.

    cos⁡3A=4cos⁡3A−3cos⁡A\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A

Las fórmulas del ángulo doble son un único triángulo en una semicircunferencia

Une los dos extremos de un diámetro, W y E, con el punto P situado en el ángulo 2A de la circunferencia. La cuerda WP parte de W con un ángulo A, justo la mitad del ángulo central: es el teorema de Euclides según el cual el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central subtendido por el mismo arco (Elementos III.20). El triángulo WPE es rectángulo en P (III.31) y su hipotenusa es el diámetro, 2, de modo que WP = 2 cos A y EP = 2 sin A. Mide ahora cada trazo. La altura de P es WP · sin A, es decir, 2 sin A cos A, y equivale también a sin 2A. El pie F de la perpendicular desde P divide el diámetro en dos segmentos: WF = WP · cos A = 2cos²A y FE = EP · sin A = 2sin²A, que corresponden precisamente a 1 + cos 2A y 1 − cos 2A. El cociente de la altura entre WF da tan A = sin 2A/(1 + cos 2A), la fórmula del ángulo mitad, sin haber escrito una sola línea de álgebra. Al superar A = 90°, la cuerda WP apunta hacia el otro lado y 2 cos A se vuelve negativo; como cada producto arrastra su signo, todas estas relaciones geométricas se mantienen rigurosamente para cualquier ángulo.

Dividir entre cos x descarta la mitad de las respuestas

Pulsa sin 2x = cos x. Al escribirla como 2 sin x cos x = cos x, resulta tentador simplificar cos x, y de 2 sin x = 1 se obtienen 30° y 150°. Sin embargo, la herramienta encuentra cuatro soluciones: añade 90° y 270°, donde cos x = 0 y ambos miembros se anulan. Simplificar cos x equivale a dividir entre él, algo lícito únicamente cuando no vale cero; al dar ese paso por supuesto, se eliminan justo las soluciones que se pierden. Pasa todo a un miembro y saca factor común: cos x(2 sin x − 1) = 0. Un producto se anula si cualquiera de sus factores vale cero. La misma trampa acecha en sin 2x = sin x, donde se perderían 0° y 180°.

El promedio de sin²x es un medio: por eso la red eléctrica marca menos que su pico

Lee cos 2x = 1 − 2sin²x despejando el cuadrado: sin²x = 1/2 − (1/2) cos 2x. El cuadrado de una onda senoidal es otra onda con el doble de frecuencia y la mitad de amplitud, montada sobre el nivel 1/2. A lo largo de cualquier número entero de periodos, la parte del coseno promedia cero; por tanto, el promedio de sin²x es exactamente 1/2. Una resistencia disipa calor en proporción al cuadrado de la tensión, así que un voltaje alterno V₀ sin ωt la calienta de forma idéntica a una tensión continua de V₀/√2. Ese equivalente continuo es el valor eficaz de la tensión, justo la cifra que figura en la placa de características: la red europea tiene un valor nominal de 230 V y oscila hasta 230√2 ≈ 325 V y de vuelta cincuenta veces por segundo.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (3)

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.