Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Da el valor de una función trigonométrica y un cuadrante, y la página encuentra el ángulo, el valor de su pareja mediante la identidad que liga ambas funciones, y las otras cuatro a partir del punto P. O arrastra el ángulo y observa cómo cambian sec θ, csc θ y cot θ como longitudes en la figura.

Funciones recíprocas	$\begin{gathered}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\\ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{gathered}$
Identidad pitagórica	$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
Dividida entre cos²θ	$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$
Dividida entre sin²θ	$1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

Ejemplo resuelto — Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Ángulo	143,1301°
Por la identidad, con el signo del cuadrante II	−0,8
Seno	0,6
Coseno	−0,8
Tangente	−0,75
Secante	−1,25
Cosecante	1,6667
Cotangente	−1,3333

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Las funciones recíprocas son sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ y cot θ = cos θ/sin θ, cada una definida donde su denominador no es cero. Las identidades pitagóricas sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ se cumplen en todo ángulo donde ambos miembros están definidos.

De dónde viene la fórmula

Parte de la circunferencia. P = (cos θ, sin θ) está a distancia 1 de O en cualquier ángulo, así que cos²θ + sin²θ = 1 en todos los cuadrantes. Los cuadrados no ven los signos, y por eso el triángulo de catetos |cos θ| y |sin θ| da la misma ecuación.
$x_P^{2}+y_P^{2}=1\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$
Divide entre cos²θ, o entre sin²θ. Cada división está permitida exactamente donde las nuevas funciones están definidas.
$\begin{aligned}\div\cos^{2}\theta:&\quad 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\\ \div\sin^{2}\theta:&\quad\cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta\end{aligned}$
Saca la raíz y después elige el signo. Una identidad da el cuadrado de la incógnita, así que fija su valor absoluto; el cuadrante fija el signo.
$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta},\qquad\sec\theta=\pm\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$

Supone: Cada identidad se cumple solo donde sus funciones están definidas: la segunda falla en los múltiplos impares de 90°, la tercera en los múltiplos de 180°.

Problemas resueltos al detalle

Dado el seno de un ángulo obtuso 2 pasos
sin θ = 3/5 y θ es obtuso. Halla exactamente las otras cinco funciones.

Abre este problema en la herramienta
1. Un ángulo obtuso está en el cuadrante II, donde el coseno es negativo. A partir de sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $\cos\theta=-\sqrt{1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{16}{25}}=-\tfrac{4}{5}$
2. Las otras cuatro son cocientes y recíprocas:
  
  $\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{3/5}{-4/5}=-\tfrac{3}{4}, & \sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}=-\tfrac{5}{4}\\ \csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}=\tfrac{5}{3}, & \cot\theta&=\frac{1}{\tan\theta}=-\tfrac{4}{3}\end{aligned}$
Respuesta

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$\cos\theta=-\tfrac45,\ \tan\theta=-\tfrac34,\ \sec\theta=-\tfrac54,\ \csc\theta=\tfrac53,\ \cot\theta=-\tfrac43$
Dada la tangente, halla la secante 2 pasos
tan θ = −12/5 y 270° < θ < 360°. Halla sec θ, cos θ y sin θ.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. En el cuadrante IV el coseno es positivo, y la secante también. A partir de 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $\sec\theta=+\sqrt{1+\left(-\tfrac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{169}{25}}=\tfrac{13}{5}$
2. Luego cos θ es la recíproca, y sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $\cos\theta=\tfrac{5}{13},\qquad\sin\theta=-\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac{5}{13}=-\tfrac{12}{13}$
Respuesta

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$\sec\theta=\tfrac{13}{5},\quad\cos\theta=\tfrac{5}{13}\approx0{.}3846,\quad\sin\theta=-\tfrac{12}{13}\approx-0{.}9231$
Dada la cotangente, halla la cosecante 2 pasos
cot θ = 3/4 y 180° < θ < 270°. Halla csc θ, sin θ y cos θ.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. En el cuadrante III el seno es negativo, y la cosecante también. A partir de 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $\csc\theta=-\sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{25}{16}}=-\tfrac{5}{4}$
2. Luego sin θ es la recíproca, y cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $\sin\theta=-\tfrac{4}{5},\qquad\cos\theta=\tfrac{3}{4}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=-\tfrac{3}{5}$
Respuesta

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$\csc\theta=-\tfrac54,\quad\sin\theta=-\tfrac45,\quad\cos\theta=-\tfrac35$
Valores exactos a 30° 3 pasos
Halla exactamente sec 30°, csc 30° y cot 30°.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La mitad de un triángulo equilátero de lado 2 tiene lados 1, √3 y 2, así que
  
  $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2},\qquad\cos30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. Invierte y racionaliza el denominador:
  
  $\sec30^{\circ}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$
3. Comprueba con la segunda identidad:
  
  $1+\tan^{2}30^{\circ}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
Respuesta

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$\sec30^{\circ}=\tfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{.}1547,\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\sqrt3\approx1{.}7321$
Simplificar con dos identidades 2 pasos
Simplifica (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
Mostrar solución
1. Cada paréntesis es un miembro de una identidad; sustitúyelo por el otro miembro:
  
  $(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=\sin^{2}\theta\cdot\csc^{2}\theta$
2. y csc θ = 1/sin θ:
  
  $\sin^{2}\theta\cdot\frac{1}{\sin^{2}\theta}=1$
Respuesta

1, en todo ángulo que no sea múltiplo de 180°, donde cot θ no está definida.

$(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=1,\qquad\theta\neq k\cdot180^{\circ}$
Una demostración con la identidad factorizada 3 pasos
Demuestra que 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ y compruébalo en θ = 60°.

Abre este problema en la herramienta
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1. Multiplica numerador y denominador por sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{\sec\theta-\tan\theta}=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta}$
2. Por 1 + tan²θ = sec²θ, el denominador es 1:
  
  $=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{1}=\sec\theta+\tan\theta$
3. A 60°, sec θ = 2 y tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
Respuesta

Ambos miembros son iguales allí donde están definidos; a 60° los dos valen 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{\sec60^{\circ}-\tan60^{\circ}}=2+\sqrt3\approx3{.}7321$
Un valor que ningún ángulo alcanza 2 pasos
Halla todos los ángulos con sec θ = 1/2.

Abre este problema en la herramienta
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1. sec θ = 1/2 significaría
  
  $\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=2$
2. pero cos θ es una coordenada de un punto de una circunferencia de radio 1, así que |cos θ| ≤ 1 y, por tanto,
  
  $|\sec\theta|=\frac{1}{|\cos\theta|}\geq1$
Respuesta

No hay ninguno: sec θ y csc θ nunca toman un valor estrictamente entre −1 y 1. El ejemplo rechaza 1/2 y deja θ en 60°, donde la recíproca va en sentido contrario: cos θ = 1/2 y sec θ = 2.

$\left\{\theta:\ \sec\theta=\tfrac12\right\}=\varnothing$
Eliminar el parámetro 2 pasos
Una curva viene dada por x = 3 sec t, y = 2 tan t. Halla su ecuación cartesiana.
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1. Despeja las dos funciones:
  
  $\sec t=\frac{x}{3},\qquad\tan t=\frac{y}{2}$
2. y sustitúyelas en sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
Respuesta

x²/9 − y²/4 = 1, una hipérbola. Como |sec t| ≥ 1, todo punto de ella tiene |x| ≥ 3.

$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1,\qquad|x|\geq3$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

cos θ = −5/13 y θ está en el tercer cuadrante. Halla las otras cinco funciones.

Mostrar respuesta

sin θ = −12/13, tan θ = 12/5, sec θ = −13/5, csc θ = −13/12, cot θ = 5/12.

$\begin{aligned}&\sin\theta=-\tfrac{12}{13},\ \tan\theta=\tfrac{12}{5},\ \sec\theta=-\tfrac{13}{5}\\&\csc\theta=-\tfrac{13}{12},\ \cot\theta=\tfrac{5}{12}\end{aligned}$
Simplifica (sec θ − cos θ)/tan θ.

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sin θ. El numerador es (1 − cos²θ)/cos θ = sin²θ/cos θ, y al dividir entre sin θ/cos θ queda sin θ.

$\frac{\sec\theta-\cos\theta}{\tan\theta}=\sin\theta$
Resuelve 2 sin²x + 3 cos x = 3 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 0°, 60° o 300°. Al sustituir sin²x = 1 − cos²x obtienes 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0, de modo que cos x = 1 o ½.

$\begin{aligned}&2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\\&x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 300^{\circ}\end{aligned}$
Elimina el parámetro en x = 2 cos t, y = 3 sin t.

Mostrar respuesta

x²/4 + y²/9 = 1, una elipse, a partir de cos²t + sin²t = 1.

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Tres identidades son un triángulo a tres tamaños

El triángulo OMP tiene catetos |cos θ| y |sin θ| e hipotenusa 1, y Pitágoras en él es sin²θ + cos²θ = 1. Amplíalo con factor 1/|cos θ| y sus lados pasan a ser 1, |tan θ| y |sec θ|: los del triángulo OAT, apoyado en la tangente x = 1. Pitágoras en OAT dice 1 + tan²θ = sec²θ. Amplía en cambio con factor 1/|sin θ| y los lados pasan a ser 1, |cot θ| y |csc θ|, los de OBS sobre la recta y = 1, lo que da 1 + cot²θ = csc²θ. En álgebra, la ampliación es dividir la primera identidad entre cos²θ o entre sin²θ; basta recordar una identidad, y las otras dos son una línea de cálculo. La figura muestra también dónde falla cada una: a 90° la recta OP es paralela a x = 1 y OAT se queda sin tercer vértice. Thomas Fincke introdujo los términos tangente y secante en su Geometriae rotundi de 1583; en latín significan que toca y que corta, y AT está sobre una recta que toca la circunferencia mientras que OT está sobre una que la atraviesa.

√(1 − sin²θ) no es cos θ

Pulsa sin θ = 3/5, cuadrante II. La identidad da cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, y 0,64 tiene dos raíces cuadradas. El signo radical indica la positiva, así que √(1 − sin²θ) es |cos θ|, y escribir cos θ = √(1 − sin²θ) es un error para cualquier ángulo de los cuadrantes II y III. Aquí cos θ = −0,8. La identidad fija el valor absoluto y solo el cuadrante fija el signo; por eso el enunciado tiene que decir dónde está θ, como hace «θ es obtuso». Con el valor todavía en 0,6, haz clic en I: θ pasa a 36,8699° y cos θ se vuelve +0,8. Haz clic en III y la página se niega, porque ahí el seno es negativo.

Cerca de 90°, sec θ y tan θ son enormes y casi iguales

Pulsa θ = 89°: tan θ = 57,29 y sec θ = 57,2987, a solo 0,0087 una de otra. Tan cerca de 90° no pueden separarse, y la razón es la segunda identidad. Escrita como sec²θ − tan²θ = 1 y factorizada, dice (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, de modo que la diferencia es exactamente 1 dividido entre la suma, y 1/114,5887 ≈ 0,0087. Acerca θ a 90° y la suma crece sin límite mientras la diferencia se encoge hacia 0; en los 90° mismos, ninguna de las dos funciones está definida. La forma factorizada es también el paso clave de una demostración clásica: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, porque al multiplicar numerador y denominador por sec θ + tan θ el denominador queda en 1.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Tres identidades son un triángulo a tres tamaños 🖖

√(1 − sin²θ) no es cos θ 🖖

Cerca de 90°, sec θ y tan θ son enormes y casi iguales 🖖

Tres identidades son un triángulo a tres tamaños

√(1 − sin²θ) no es cos θ

Cerca de 90°, sec θ y tan θ son enormes y casi iguales