Acumulación y movimiento

Si integras la velocidad, obtienes el cambio de posición. Si integras su valor absoluto, obtienes la distancia que el objeto recorrió de verdad. Ambas cantidades difieren en cuanto el móvil da la vuelta. La gráfica sombrea el avance y el retroceso, dibuja la posición y señala los instantes exactos en que la velocidad iguala a su propio promedio.

Distancia frente a desplazamiento	$\int_{a}^{b}v\,dt=s(b)-s(a),\qquad d=\int_{a}^{b}\left\|v\right\|dt$
Valor medio	$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$

Ejemplo resuelto — Acumulación y movimiento

Desplazamiento	1,3333
Distancia recorrida, por giros	4
Velocidad media	0,3333
Rapidez media	1
Instantes con v igual a la media	0,8453, 3,1547

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Acumulación y movimiento

Dada una velocidad v(t) en [a, b], el desplazamiento es ∫ₐᵇ v dt y la distancia recorrida es ∫ₐᵇ |v| dt. El valor medio de una función f en [a, b] es (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt: la altura del rectángulo sobre [a, b] con la misma área que f.

Qué significa cada símbolo

v̄: la velocidad media: desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido

De dónde viene la fórmula

Distancia: separa en los giros. Donde v cambia de signo, el objeto da la vuelta y |v| pasa a tener otra expresión. Integra entre giros consecutivos y suma los valores absolutos.
$\int_{a}^{b}\left|v\right|dt=\sum_{i}\left|\int_{t_i}^{t_{i+1}}v\,dt\right|,\qquad v(t_i)=0$
El valor medio se alcanza. Si f es continua en [a, b], toma todos los valores comprendidos entre su mínimo m y su máximo M. Como su valor medio se sitúa entre ambos, f iguala a su media en algún punto c.
$m\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\,dt\le M\ \Rightarrow\ f(c)=\bar f$

Problemas resueltos al detalle

Valor medio y punto donde se alcanza 2 pasos
Halla el valor medio de f(t) = t² en [0, 3] y el instante en que f lo alcanza.

Abre este problema en la herramienta
1. Divide la integral entre la longitud del intervalo:
  
  $\bar f=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}\cdot9=3$
2. Resuelve f(c) = 3 dentro del intervalo:
  
  $c^{2}=3\ \Rightarrow\ c=\sqrt3$
Respuesta

Media 3, alcanzada en c = √3 ≈ 1,7321. No en el punto medio 1,5, donde t² apenas vale 2,25.

$\bar f=3,\quad c=\sqrt3\approx1{.}7321$
Desplazamiento y distancia 2 pasos
Una partícula se mueve con velocidad v(t) = t² − 4t + 3 para 0 ≤ t ≤ 4. Halla su desplazamiento y la distancia que recorre.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El desplazamiento es la integral directa:
  
  $\int_{0}^{4}\left(t^{2}-4t+3\right)dt=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t\Bigr]_{0}^{4}=\tfrac{4}{3}$
2. Cambia de sentido donde v = 0, en t = 1 y en t = 3, así que separa la distancia en esos puntos:
  
  $\tfrac43+\left|-\tfrac43\right|+\tfrac43=4$
Respuesta

Desplazamiento 4/3, distancia 4. Cada uno de los tres tramos abarca 4/3; el del medio va hacia atrás.

$\Delta s=\tfrac43,\qquad d=4$
Posición a partir de la velocidad y el origen 2 pasos
v(t) = 3t² − 6t y s(0) = 2. Halla s(t) y la posición en t = 3.
Mostrar solución
1. La posición es el punto de partida más la velocidad acumulada:
  
  $s(t)=2+\int_{0}^{t}\left(3\tau^{2}-6\tau\right)d\tau=t^{3}-3t^{2}+2$
2. En t = 3:
  
  $s(3)=27-27+2=2$
Respuesta

s(t) = t³ − 3t² + 2 y s(3) = 2. De vuelta al punto de partida: retrocedió hasta t = 2, donde s = −2, y avanzó de nuevo después.

$s(t)=t^{3}-3t^{2}+2,\qquad s(3)=2$
El valor medio de un seno 1 pasos
Halla el valor medio de sin t en [0, π].

Abre este problema en la herramienta
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1. La integral a lo largo del arco, dividida entre su anchura:
  
  $\bar f=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\cos t\Bigr]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}$
Respuesta

2/π ≈ 0,6366. La herramienta señala los dos momentos en que se alcanza: en 0,6901 y en π − 0,6901 = 2,4515.

$\bar f=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$
Acumulación a partir de una tasa 1 pasos
Entra agua en un depósito a razón de r(t) = 20 − 4t litros por minuto para 0 ≤ t ≤ 5. ¿Cuánta agua entra?
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1. La cantidad es la integral del caudal:
  
  $\int_{0}^{5}(20-4t)\,dt=\Bigl[20t-2t^{2}\Bigr]_{0}^{5}=100-50$
Respuesta

50 litros. El caudal cae a 0 en t = 5, por lo que el total es el área de un triángulo con base 5 y altura 20; una comprobación que no necesita cálculo.

$50\ \mathrm{L}$
Un viaje de ida y vuelta 2 pasos
v(t) = sin t en [0, 2π]. Halla la velocidad media y la rapidez media.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El desplazamiento a lo largo del ciclo completo es 0:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0$
2. La distancia se separa en π:
  
  $\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt-\int_{\pi}^{2\pi}\sin t\,dt\right)=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$
Respuesta

Velocidad media 0, rapidez media 2/π ≈ 0,6366. Un viaje de ida y vuelta siempre tiene una velocidad media de 0, sin importar lo rápido que haya ido.

$\bar v=0,\qquad\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Halla el valor medio de 1/x en [1, e] y el punto donde se alcanza.

Mostrar respuesta

1/(e − 1) ≈ 0,582, alcanzado en x = e − 1 ≈ 1,7183.

$\bar f=\frac{1}{e-1}\approx0{.}582,\qquad c=e-1\approx1{.}7183$
Una partícula parte del reposo con aceleración a(t) = 6t − 6. Calcula v(t), así como el desplazamiento y la distancia recorrida para 0 ≤ t ≤ 3.

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v(t) = 3t² − 6t. Desplazamiento 0 y distancia 8: retrocede 4 hasta t = 2 y luego avanza 4.

$v(t)=3t^{2}-6t,\qquad\Delta s=0,\qquad d=8$
Un depósito pierde líquido a razón de 10e^−0,2t litros por minuto. ¿Cuánto pierde en los primeros 10 minutos?

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50(1 − e⁻²) ≈ 43,2 litros. Por mucho que dure la fuga, el total se mantiene por debajo de 50 litros.

$\int_{0}^{10}10e^{-0.2t}\,dt=50\left(1-e^{-2}\right)\approx43{.}2\ \mathrm{L}$
La temperatura t horas después de las 6 de la mañana es T(t) = 20 + 5 sin(πt/12) °C. Halla la temperatura media durante las primeras 12 horas.

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20 + 10/π ≈ 23,2 °C.

$\bar T=20+\frac{10}{\pi}\approx23{.}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$
Determina b > 0 para que el valor medio de x² en [0, b] sea 12.

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b = 6, ya que b²/3 = 12.

$\frac{b^{2}}{3}=12\ \Rightarrow\ b=6$

El desplazamiento indica dónde termina; solo la distancia dice cuánto recorrió

Pulsa El triple de distancia. La velocidad t² − 4t + 3 es positiva hasta t = 1, negativa de 1 a 3 y de nuevo positiva a partir de ahí. Al integrarla en [0, 4], el tramo de retroceso cancela parte del avance: el objeto termina a 1,3333 de donde empezó. Sin embargo, recorrió 4, el triple exacto, porque cada uno de los tres tramos cubre 4/3 y solo el valor absoluto los cuenta todos como distancia. La integral de la velocidad te dice dónde acaba; para saber cuánto recorrió, separa en cada cambio de sentido y suma las partes como números positivos.

El valor medio siempre se alcanza, y rara vez a la mitad

Pulsa t²: no en la mitad. El promedio de t² en [0, 3] es 9/3 = 3, y la línea discontinua corta la curva una sola vez, en t = √3 ≈ 1,7321. El punto medio del intervalo es 1,5, donde t² apenas llega a 2,25. Para cualquier función continua, el teorema del valor intermedio asegura que la media se alcanza en algún punto, pues este promedio siempre queda entre el valor mínimo y el máximo. El lugar exacto depende de la forma: una función que crece con más fuerza hacia el final, como t², alcanza su media bastante tarde.

En una oscilación completa la velocidad media es cero, pero la rapidez media no

Pulsa Oscilación completa. A lo largo de una vuelta completa, sin t avanza y regresa a donde empezó: el desplazamiento es 0 y la velocidad media también, aunque entre la salida y la meta solo se detuvo en el giro. La rapidez media, distancia dividida entre tiempo, es 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Pulsa ahora Media oscilación: el valor medio de sin t en [0, π] da exactamente lo mismo, 2/π. No es casualidad: la segunda mitad del recorrido cubre la misma distancia que la primera en el mismo tiempo, así que la rapidez promediada en la oscilación completa coincide con la velocidad promediada en la media oscilación.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.