Demostración de identidades trigonométricas

Escribe la identidad propuesta (miembro izquierdo ≡ miembro derecho) y desarrolla la demostración paso a paso, igualando cada línea a la anterior. Cada paso se comprueba en 64 ángulos distribuidos en una vuelta completa: verás una marca si ambas líneas coinciden dondequiera que estén definidas, un aspa con el primer ángulo en el que discrepen y un aviso si alguna queda indefinida cuando la identidad sí lo está. El teclado permite insertar funciones, potencias y raíces.

Pasar a senos y cosenos	$\begin{gathered}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{gathered}$
Cuadrados de seno y coseno	$\begin{gathered}\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\\ 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x\end{gathered}$
1 ± sen x en el denominador	$(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^{2}x$
Diferencia de dos cuadrados	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Ejemplo resuelto — Demostración de identidades trigonométricas

miembro derecho	64 ángulos evaluados

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Demostración de identidades trigonométricas

Demostrar una identidad consiste en probar que dos expresiones toman el mismo valor para cualquier ángulo donde ambas estén definidas, enlazándolas mediante una cadena de expresiones iguales de un miembro al otro.

De dónde viene la fórmula

Empieza por el miembro más complejo, que suele ser el que contiene más términos, fracciones o ángulos compuestos y dobles: allí tienes más margen para simplificar.
$\tan x+\cot x=\cdots=\sec x\csc x$
Pásalo todo a senos y cosenos si aparecen mezcladas tangentes, secantes, cosecantes o cotangentes: tan x = sin x/cos x junto con sus inversas.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\quad\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}$
Aprovecha las herramientas algebraicas habituales: común denominador, diferencias de cuadrados o multiplicar por el conjugado 1 − sin x para obtener 1 − sin²x.
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x$
Aplica identidades conocidas donde encajen: sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x y las fórmulas de adición o del ángulo doble.
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\qquad1+\tan^{2}x=\sec^{2}x,\qquad1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
Concluye en el otro miembro, exactamente en la forma en que está escrito. Cada línea equivale a la anterior allí donde ambas están definidas; por tanto, la primera coincide con la última, siempre que ningún paso intermedio quede indefinido donde la identidad original sí lo estaba. No eleves ambos miembros al cuadrado: al hacerlo se pierde el signo y una igualdad falsa puede transformarse en una verdadera.
$f_{0}=f_{1}=f_{2}=\cdots=f_{n}\ \Rightarrow\ f_{0}\equiv f_{n}$

Problemas resueltos al detalle

Expresar en senos y cosenos 3 pasos
Demuestra que tan x + cot x ≡ sec x csc x.

Abre este problema en la herramienta
1. Escribe el miembro izquierdo en función del seno y del coseno:
  
  $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Suma las fracciones con común denominador sin x cos x:
  
  $=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}$
3. El numerador vale 1; aplicar las razones inversas completa la prueba:
  
  $=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\csc x$
Respuesta

tan x + cot x ≡ sec x csc x siempre que sin x y cos x sean ambos distintos de cero. Coinciden en los 64 ángulos evaluados.

$\tan x+\cot x\equiv\sec x\csc x$
Diferencia de cuadrados 2 pasos
Demuestra que cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. cos⁴x − sin⁴x es una diferencia de cuadrados de cos²x y sin²x:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)$
2. El segundo paréntesis vale 1 y el primero corresponde a la fórmula del ángulo doble:
  
  $=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot1=\cos2x$
Respuesta

cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x para todo x.

$\cos^{4}x-\sin^{4}x\equiv\cos2x$
Multiplicar por el conjugado 2 pasos
Demuestra que (1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Multiplica numerador y denominador por 1 − sin x para obtener una diferencia de cuadrados en el numerador:
  
  $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}$
2. Como 1 − sin²x = cos²x, se simplifica un factor cos x:
  
  $=\frac{\cos^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Respuesta

(1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x) siempre que cos x ≠ 0 y sin x ≠ 1.

$\frac{1+\sin x}{\cos x}\equiv\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Ángulos compuestos y dobles combinados 3 pasos
Demuestra que sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x.

Abre este problema en la herramienta
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1. Escribe 3x = 2x + x y desarrolla el seno de la suma:
  
  $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$
2. Aplica las fórmulas del ángulo doble, eligiendo para cos 2x la expresión que solo contiene senos:
  
  $=2\sin x\cos^{2}x+(1-2\sin^{2}x)\sin x$
3. Sustituye cos²x por 1 − sin²x y agrupa términos:
  
  $=2(1-\sin^{2}x)\sin x+\sin x-2\sin^{3}x=3\sin x-4\sin^{3}x$
Respuesta

sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x para todo x.

$\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^{3}x$
Una afirmación falsa y el punto donde se quiebra 3 pasos
¿Es √(1 − cos²x) = sin x una identidad? Si no lo es, indica un ángulo donde falle y corrígela.

Abre este problema en la herramienta
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1. El primer paso es una identidad válida:
  
  $\sqrt{1-\cos^{2}x}=\sqrt{\sin^{2}x}$
2. La raíz cuadrada de un cuadrado es el valor absoluto, no el propio número:
  
  $\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|$
3. Por tanto, la afirmación falla siempre que sin x < 0. En el primer ángulo de discrepancia:
  
  $x=264{.}98^{\circ}:\quad|\sin x|=0{.}9962,\qquad\sin x=-0{.}9962$
Respuesta

No. Falla en todo el intervalo 180° < x < 360°; por ejemplo en 264,98°, donde los dos miembros valen 0,9962 y −0,9962. La identidad correcta es √(1 − cos²x) = |sin x|.

$\sqrt{1-\cos^{2}x}\equiv|\sin x|$
Demostrar y resolver a continuación 3 pasos
Demuestra que (1 − cos 2x)/sin 2x ≡ tan x y resuelve a continuación (1 − cos 2x)/sin 2x = √3 para 0° < x < 360°.
Mostrar solución
1. Usa la forma de cos 2x que reduce 1 − cos 2x a un solo término, junto con el seno del ángulo doble:
  
  $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\frac{1-(1-2\sin^{2}x)}{2\sin x\cos x}=\frac{2\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\tan x$
2. La ecuación queda en tan x = √3, con período de 180° para la tangente:
  
  $\tan x=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x=60^{\circ},\quad x=60^{\circ}+180^{\circ}=240^{\circ}$
3. Comprueba que sin 2x ≠ 0 en ambos valores para asegurar que el miembro izquierdo esté definido:
  
  $\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0,\qquad\sin480^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0$
Respuesta

x = 60° o x = 240°.

$x=60^{\circ},\ 240^{\circ}$
Encuentra el error 2 pasos
Un estudiante escribe cos⁴x − sin⁴x = (cos²x − sin²x)² = cos 2x. Encuentra el error.

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1. El primer paso confunde la diferencia de cuadrados con el cuadrado de una diferencia:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x\ \ne\ (\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}$
2. Ambas expresiones no son equivalentes. En 42,49°, el primer ángulo que falla:
  
  $x=42{.}49^{\circ}:\quad\cos^{4}x-\sin^{4}x=0{.}0874,\qquad(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}=0{.}0076$
Respuesta

El paso 1 es erróneo: a² − b² = (a − b)(a + b), no (a − b)². Su segundo miembro vale cos²2x, por lo que el razonamiento no demuestra nada, aunque la afirmación inicial sea cierta.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\ne(a-b)^{2}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Demuestra que 1/(1 − sin x) + 1/(1 + sin x) ≡ 2 sec²x.

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Denominador común 1 − sin²x = cos²x; los numeradores suman 2.

$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin^{2}x}=\frac{2}{\cos^{2}x}=2\sec^{2}x$
Demuestra que (sin x + cos x)² ≡ 1 + sin 2x.

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Desarrolla el cuadrado: sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.

$(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$
Demuestra que sec⁴x − tan⁴x ≡ sec²x + tan²x.

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Factoriza como (sec²x − tan²x)(sec²x + tan²x), teniendo en cuenta que sec²x − tan²x = 1.

$\sec^{4}x-\tan^{4}x=(\sec^{2}x-\tan^{2}x)(\sec^{2}x+\tan^{2}x)=\sec^{2}x+\tan^{2}x$
Demuestra que cot x − tan x ≡ 2 cot 2x.

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Con denominador sin x cos x, el numerador es cos²x − sin²x = cos 2x, y sin x cos x = ½ sin 2x.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}=2\cot2x$
¿Se cumple que sin x/(1 + cos x) ≡ (1 − cos x)/sin x?

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Sí, dondequiera que ambos miembros estén definidos: multiplica numerador y denominador del miembro derecho por 1 + cos x.

$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x\,(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
¿Es cos x = √(1 − sin²x) una identidad?

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No: falla siempre que cos x < 0; por ejemplo en 120°, donde el miembro izquierdo vale −1/2 y el derecho 1/2.

$x=120^{\circ}:\quad\cos x=-\tfrac12,\quad\sqrt{1-\sin^{2}x}=\tfrac12$

Coincidir en unos pocos ángulos es solo un indicio, no una demostración

Pulsa en √(1 − cos²x) = sin x? y evalúa la igualdad en 30°, 45°, 60°, 90° o 150°, los ángulos típicos que cualquiera probaría con la calculadora: ambos lados coinciden siempre. Sin embargo, la afirmación es falsa. El primer ángulo donde falla es 264,98°, donde el miembro izquierdo vale 0,9962 y el derecho −0,9962. Una raíz cuadrada nunca devuelve un valor negativo, pero sin x es negativo en los cuadrantes III y IV. Probar únicamente en la media vuelta donde el seno es positivo no habría revelado nada; por eso distribuimos los 64 ángulos a lo largo de la vuelta entera. La identidad correcta es √(1 − cos²x) = |sin x|.

Elevar al cuadrado hace que una identidad falsa parezca demostrada

Esa misma igualdad falsa resiste el único paso que no admite marcha atrás. Si elevas al cuadrado ambos miembros de √(1 − cos²x) = sin x, obtienes 1 − cos²x = sin²x, que es cierta para cualquier ángulo. Al elevar al cuadrado se destruye el signo: no distingue entre sin x y −sin x. Por eso, obtener una verdad al final de una cadena de cuadrados no garantiza nada sobre el principio; después de todo, elevar −1 = 1 da 1 = 1. Esta es la razón de que una demostración deba avanzar siempre en un único sentido, de un miembro al otro, igualando cada línea con la inmediatamente anterior. Cada signo = afirma la igualdad entre cantidades idénticas, encadenando el razonamiento desde el miembro izquierdo hasta el derecho.

Con múltiplos enteros de x, un número suficiente de ángulos basta como demostración

Existe una situación en la que comprobar ángulos sí constituye una demostración rigurosa. Una suma de senos y cosenos de x, 2x, …, nx (un polinomio trigonométrico de grado n) que no sea idénticamente nula se anula como máximo en 2n ángulos en una vuelta completa. Si representamos por z el punto de la circunferencia unidad correspondiente al ángulo x, la suma se transforma en un polinomio en z de grado 2n dividido entre zⁿ, y un polinomio de ese grado no puede tener más de 2n raíces. En consecuencia, dos expresiones de este tipo que coincidan en 2n + 1 ángulos distintos dentro de una vuelta coincidirán en todas partes; las fracciones se reducen a este mismo principio en cuanto eliminamos denominadores. Salvo por imprecisiones de redondeo, la coincidencia en los 64 ángulos de la aplicación basta para validar cualquier identidad de grado hasta 31. Las raíces cuadradas y los valores absolutos quedan fuera de este marco, que es justo donde residía la afirmación falsa del primer ejemplo.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (1)

The method the lesson states: work on one side, usually the more complex one; factor, square a binomial or add fractions; failing that, convert to sines and cosines: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Demostración de identidades trigonométricas

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Coincidir en unos pocos ángulos es solo un indicio, no una demostración 🖖

Elevar al cuadrado hace que una identidad falsa parezca demostrada 🖖

Con múltiplos enteros de x, un número suficiente de ángulos basta como demostración 🖖

Coincidir en unos pocos ángulos es solo un indicio, no una demostración

Elevar al cuadrado hace que una identidad falsa parezca demostrada

Con múltiplos enteros de x, un número suficiente de ángulos basta como demostración