← Matemáticas

Teorema del valor medio

Escribe f y el intervalo. La cuerda discontinua une ambos extremos; arrastra c por la curva o mediante el deslizador hasta que la tangente en c sea paralela a ella. El panel inferior representa f′ frente a la pendiente m de la cuerda: cada c corresponde a un punto de corte entre ambas.

Teorema del valor medio f′(c)=f(b)−f(a)b−a,a<c<bf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b
Teorema de Rolle f(a)=f(b) ⇒ f′(c)=0,a<c<bf(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b
Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Teorema del valor medio

El teorema del valor medio: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), en algún c estrictamente entre a y b la tangente es paralela a la cuerda, f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). El teorema de Rolle es el caso particular en que f(a) = f(b), donde f′(c) = 0.

De dónde viene la fórmula

  1. Comprueba las hipótesis. f no debe presentar saltos en todo [a, b], extremos incluidos, y debe tener derivada en cada punto interior. Los polinomios, eˣ, el seno y el coseno cumplen siempre en cualquier intervalo; desconfía de divisiones por cero, raíces de números negativos o puntos angulosos como |x|.
    lim⁡x→x0f(x)=f(x0)(a≤x0≤b)f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h(a<x<b)\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}
  2. Calcula la pendiente de la cuerda. m es la variación vertical de f(a) a f(b) dividida por la distancia de a a b: la recta discontinua en el gráfico.
    m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
  3. Por qué existe c. La distancia g entre la curva y la cuerda vale 0 en ambos extremos. Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza un valor máximo y uno mínimo; si g no es 0 en todas partes, alguno de ellos queda en el interior, donde la curva más se aparta de la cuerda, y allí g′ = 0. Eso equivale a f′(c) = m. En el gráfico es el punto donde la tangente discurre paralela.
    g(x)=f(x)−f(a)−m (x−a)g(a)=g(b)=0⇒ g′(c)=f′(c)−m=0\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}
  4. Resuelve f′(c) = m y conserva solo las soluciones estrictamente entre a y b. Una solución fuera del intervalo, o en uno de los extremos, no cuenta como c.
    f′(c)=m,a<c<bf'(c)=m,\qquad a<c<b

Problemas resueltos al detalle

  1. Halla c y descarta la solución exterior 2 pasos

    Demuestra que f(x) = x³ cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3] y halla cada c que garantiza.

    Abre este problema en la herramienta

    1. f es un polinomio, por lo que es continua y derivable en todas partes. La pendiente de la cuerda:

      m=f(3)−f(0)3−0=27−03=9m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9

    2. Resolvemos f′(c) = m:

      3c2=9 ⇒ c=±33c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}

    Respuesta

    c = √3 ≈ 1,7321. La solución −√3 también resuelve 3c² = 9, pero queda fuera de (0, 3).

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321
  2. Teorema de Rolle: extremos iguales 2 pasos

    Comprueba el teorema de Rolle para f(x) = sin x + cos x en [0, π/2].

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. Tanto el seno como el coseno son continuos y derivables en todas partes. En los extremos coinciden:

      f(0)=0+1=1f ⁣(π2)=1+0=1\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}

    2. La cuerda es horizontal y existe un c con f′(c) = 0:

      cos⁡c−sin⁡c=0⇒ tan⁡c=1 ⇒ c=π4\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

    Respuesta

    c = π/4 ≈ 0,7854, la cima del arco.

    c=π4≈0.7854c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854
  3. Dos valores de c 2 pasos

    Halla cada c prometido por el teorema del valor medio para f(x) = x³ − 3x en [−2, 2].

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. Al ser un polinomio, ambas hipótesis se cumplen. La pendiente de la cuerda:

      m=f(2)−f(−2)2−(−2)=2−(−2)4=1m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1

    2. Resolvemos f′(c) = m:

      3c2−3=1 ⇒ c=±233c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}

    Respuesta

    c = −2/√3 ≈ −1,1547 y c = 2/√3 ≈ 1,1547. Ambos pertenecen a (−2, 2), así que el «al menos uno» del teorema se traduce aquí en dos.

    c=±23≈±1.1547c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547
  4. Una exponencial: c mediante un logaritmo 2 pasos

    Halla el valor de c que proporciona el teorema del valor medio para f(x) = eˣ en [0, 1].

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. eˣ es continua y derivable en todas partes. La pendiente de la cuerda:

      m=e1−e01−0=e−1m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1

    2. Resolvemos f′(c) = eᶜ = m tomando logaritmos:

      ec=e−1 ⇒ c=ln⁡(e−1)e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)

    Respuesta

    c = ln(e − 1) ≈ 0,5413, que pertenece a (0, 1).

    c=ln⁡(e−1)≈0.5413c=\ln(e-1)\approx0{.}5413
  5. Punto anguloso en el interior: ningún c 2 pasos

    Demuestra que no existe ningún c en (−1, 2) con f′(c) = (f(2) − f(−1))/3 para f(x) = |x|. ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio?

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. La pendiente de la cuerda:

      m=∣2∣−∣−1∣2−(−1)=13m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}

    2. Fuera del 0, la derivada de |x| vale −1 o 1, nunca 1/3:

      f′(x)=−1(x<0)f′(x)=1(x>0)\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}

    Respuesta

    No existe ningún c. |x| no es derivable en 0, que cae dentro de (−1, 2); por tanto, falla la hipótesis de derivabilidad y el teorema no garantiza nada.

    f′(c)≠13  ∀c∈(−1,2)f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)
  6. Un salto en el interior: la conclusión de Rolle falla 2 pasos

    f(x) = 1/x² cumple f(−1) = f(1). ¿Existe algún c en (−1, 1) con f′(c) = 0? Explica por qué.

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. Los extremos coinciden, así que la cuerda es horizontal:

      f(−1)=1(−1)2=1=f(1),m=0f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0

    2. Sin embargo, f′ nunca vale 0:

      f′(x)=−2x3≠0  (x≠0)f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)

    Respuesta

    No. f no está definida en 0, de modo que no es continua en [−1, 1]: el teorema de Rolle no es aplicable y su conclusión no se cumple.

    f′(c)≠0  ∀c∈(−1,1)f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)
  7. Sin derivada en un extremo: el teorema sigue siendo válido 2 pasos

    ¿Es aplicable el teorema del valor medio a f(x) = √x en [0, 4]? Si es así, calcula c.

    Abre este problema en la herramienta

    Mostrar solución

    1. √x es continua en [0, 4] y derivable en (0, 4); f′(0) no existe, pero en un extremo no es necesaria. La pendiente de la cuerda:

      m=4−04−0=12m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}

    2. Resolvemos f′(c) = m:

      12c=12 ⇒ c=1 ⇒ c=1\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1

    Respuesta

    Sí; c = 1.

    c=1c=1
  8. Velocidad media entre dos cámaras 2 pasos

    Un coche pasa por una cámara y, 6 minutos más tarde, por una segunda cámara 12 km más adelante en la carretera. El límite es de 100 km/h. Demuestra que en algún instante entre ambas circulaba exactamente a 120 km/h.

    Mostrar solución

    1. Sea s(t) la distancia recorrida en km al cabo de t horas. El coche avanza sin saltos y tiene velocidad en todo instante, por lo que s es continua y derivable. La velocidad media a lo largo de las 0,1 h es la pendiente de la cuerda:

      s(0.1)−s(0)0.1−0=120.1=120 km/h\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}

    2. Por el teorema del valor medio, en algún instante c entre las cámaras s′(c) alcanza ese valor:

      s′(c)=120 km/h,0<c<0.1s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1

    Respuesta

    En algún instante la velocidad fue exactamente de 120 km/h, de modo que el coche superó el límite aunque ninguna cámara individual lo detectase.

    s′(c)=120 km/h>100 km/hs'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}
  9. Una cota a partir de acotar f′ 2 pasos

    f es derivable, f(1) = 10 y f′(x) ≤ 3 para todo x. ¿Hasta qué valor puede llegar f(5)?

    Mostrar solución

    1. En [1, 5], el teorema del valor medio proporciona un c con:

      f(5)−f(1)5−1=f′(c),1<c<5\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5

    2. Puesto que f′(c) ≤ 3:

      f(5)=f(1)+4f′(c)≤10+4⋅3=22f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22

    Respuesta

    f(5) ≤ 22, cota que alcanza la función f(x) = 3x + 7.

    f(5)≤22f(5)\le22

Problemas complementarios, solo con la respuesta

  1. Calcula c para f(x) = x² − 4x + 1 en [0, 5].

    Mostrar respuesta

    c = 2,5

    c=52c=\frac{5}{2}

  2. Comprueba el teorema de Rolle para f(x) = x³ − 4x en [0, 2] y halla c.

    Mostrar respuesta

    c = 2/√3 ≈ 1,1547

    c=23≈1.1547c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547

  3. Calcula c para f(x) = ln x en [1, e].

    Mostrar respuesta

    c = e − 1 ≈ 1,7183

    c=e−1≈1.7183c=e-1\approx1{.}7183

  4. Calcula c para f(x) = 1/x en [1, 3].

    Mostrar respuesta

    c = √3 ≈ 1,7321

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321

  5. ¿Es aplicable el teorema del valor medio a f(x) = |x − 2| en [0, 3]? ¿Existe algún c?

    Mostrar respuesta

    No: hay un punto anguloso en x = 2; la pendiente de la cuerda es −1/3 y f′ solo vale ±1, así que no existe ningún c

    f′(x)=±1≠−13f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}

  6. f(0) = 5 y f′(x) ≥ −2 para todo x. ¿Cuál es el menor valor posible de f(6)?

    Mostrar respuesta

    −7

    f(6)≥−7f(6)\ge-7

Los extremos pueden fallar; el interior, no

Pulsa √x en [0, 4]. En 0 la curva arranca en vertical y f′(0) no existe; aun así, ahí tenemos c = 1, dando una tangente de pendiente 1/2 paralela a la cuerda. Pulsa ahora |x| en [−1, 2]. La pendiente de la cuerda es 1/3, toda tangente tiene pendiente −1 o 1 y no existe ningún c. La clave está en dónde cae el punto problemático. El teorema únicamente se compromete a buscar un c en el interior estricto entre a y b, por lo que solo le hace falta derivada en esa zona; un extremo puede prescindir de ella. Lo que no puede hacer un extremo es desligarse de la curva, pues la cuerda conectaría un punto equivocado. Pedimos continuidad en el intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto: esa diferencia explica por qué el enunciado recurre a dos tipos de paréntesis y corchetes.

El teorema detrás de cada + C

Pocos exámenes piden hallar c. El teorema se gana su lugar por lo que demuestra. Si f′(x) = 0 en cada punto de un intervalo, cualquier cuerda trazada en él tiene la pendiente de alguna tangente, que es 0; por tanto, f toma el mismo valor en dos puntos cualesquiera: f es constante. Dos primitivas de una misma función tienen una diferencia cuya derivada es 0, de modo que en un intervalo difieren solo en una constante. De ahí nace el + C: es un teorema, no una convención. Y que sea en un intervalo resulta esencial: ln|x| + 1 para x < 0 junto con ln|x| − 3 para x > 0 también es una primitiva de 1/x, porque ningún intervalo cruza el 0. El mismo argumento con f′ > 0 asegura que toda cuerda sube, con lo que f es creciente: el criterio sobre el que descansa la página siguiente.

En una parábola, c es siempre el punto medio

Pulsa x² en [1, 3]: c = 2, justo en el punto medio. No es una casualidad numérica. Para f(x) = px² + qx + r, la pendiente de la cuerda da siempre p(a + b) + q, que coincide exactamente con f′ en (a + b)/2 en cualquier intervalo. Leído en clave de movimiento, afirma que con aceleración constante la velocidad media en un tramo de tiempo iguala a la velocidad instantánea en su punto medio. William Heytesbury formuló esa regla en Oxford hacia 1330, y Galileo se apoyó en ella tres siglos después para estudiar la caída de los cuerpos. Una función cúbica rompe esta simetría enseguida: pulsa x³ en [0, 3] y verás que c = √3 ≈ 1,7321, no 1,5.

Ruta de aprendizaje

Qué nos dicen f′ y f″ sobre una gráfica

Referencias (2)

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.