Regla del producto y regla del cociente

Un rectángulo de anchura u y altura v. Si incrementas x en un paso h, el área suma una franja a la derecha, otra arriba y una pequeña esquina. Haz disminuir h, divide cada pieza entre h y observa qué sobrevive.

La regla del producto	$(uv)'=u'v+uv'$
La regla del cociente	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad v\neq0$

Ejemplo resuelto — Regla del producto y regla del cociente

Área en x	6
Franja derecha	3
Franja superior	4
Esquina	2
Área ganada, las tres juntas	9
u′ por v	3
u por v′	4
Regla del producto, (uv)′	7

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Regla del producto y regla del cociente

Si u y v son derivables en x, la derivada de su producto es u′v + uv′, y la de su cociente, (u′v − uv′)/v² siempre que v ≠ 0. Ambas fórmulas nacen de una misma figura: un rectángulo de base u y altura v que va creciendo a medida que x aumenta.

Qué significa cada símbolo

u: la anchura del rectángulo, función derivable de x
v: su altura, otra función derivable
h: el paso en x; Δu = u(x + h) − u(x), y análogamente Δv

De dónde viene la fórmula

El rectángulo crece. Avanza x en h. La anchura pasa a ser u + Δu y la altura, v + Δv. La diferencia entre el área nueva y la antigua se descompone en tres partes: una franja a la derecha, otra en el borde superior y la esquina. Son las piezas azul, ámbar y carmesí de la figura.
$(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\,\Delta v$
Divide entre h y deja que h se reduzca. Como Δu/h tiende a u′ y Δv/h a v′, las dos franjas dan u′v + uv′. La esquina vale (Δu/h)·Δv: una tasa multiplicada por una variación. Y esa variación Δv tiende a 0 porque toda función derivable en x es continua allí. Así, en el segundo panel, la curva de la esquina cae a cero mientras las franjas se estabilizan, y la tentadora respuesta u′v′ es la única pieza que desaparece.
$\frac{\Delta A}{h}=\frac{\Delta u}{h}\,v+u\,\frac{\Delta v}{h}+\underbrace{\frac{\Delta u}{h}}_{\to\,u'}\,\underbrace{\Delta v}_{\to\,0}\ \longrightarrow\ u'v+uv'$
El cociente a partir del producto. Llama al cociente q = u/v, de modo que u = q·v. Deriva ese producto con la regla que acabas de ver y despeja q′. El signo menos proviene de la franja superior qv′, que pasa al otro lado de la ecuación. Este paso da por sentado que q tiene una derivada que despejar. Y así es siempre que v ≠ 0: Δq = (v·Δu − u·Δv)/(v(v + Δv)); al dividir entre h y hacer que h tienda a cero obtienes la misma regla, porque v + Δv tiende a v.
$u=qv\ \Rightarrow\ u'=q'v+qv'\ \Rightarrow\ q'=\frac{u'-qv'}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Supone: La figura exige que ambos lados sean positivos. Las reglas no: son válidas para cualesquiera u y v derivables en x, con v(x) ≠ 0 para el cociente.

Problemas resueltos al detalle

Dos polinomios y la tangente en x = 2 4 pasos
Deriva f(x) = (x² + 1)(3x − 2), comprueba el resultado desarrollando primero el producto y halla la recta tangente en x = 2.

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1. Identifica los dos factores y deriva cada uno. Aquí basta con la regla de la potencia:
  
  $u=x^{2}+1,\quad u'=2x;\qquad v=3x-2,\quad v'=3$
2. Aplica u′v + uv′ y agrupa términos semejantes:
  
  $f'(x)=2x(3x-2)+3\left(x^{2}+1\right)=9x^{2}-4x+3$
3. Multiplica primero y deriva término a término. Vuelves a obtener el mismo polinomio, que es la comprobación más honesta de la regla:
  
  $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+3x-2\ \Rightarrow\ f'(x)=9x^{2}-4x+3$
4. En x = 2 la curva vale 20 y sube a un ritmo de 31; por tanto, la tangente pasa por (2, 20) con pendiente 31:
  
  $f(2)=5\cdot4=20,\quad f'(2)=36-8+3=31,\qquad y-20=31(x-2)$
Respuesta

f′(x) = 9x² − 4x + 3, y la tangente en x = 2 es y = 31x − 42. La página muestra 31 para la regla en x = 2: 16 proceden de la franja derecha, u′v = 4 × 4, y 15 de la franja superior, uv′ = 5 × 3.

$f'(x)=9x^{2}-4x+3,\qquad y=31x-42$
Una potencia por un seno 3 pasos
Deriva f(x) = x² sin x y halla su pendiente en x = π/2.

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1. Los factores y sus derivadas:
  
  $u=x^{2},\quad u'=2x;\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. Aplica la regla. Puedes sacar factor común x, que es justo como conviene dejarlo:
  
  $f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x=x\left(2\sin x+x\cos x\right)$
3. En π/2 el seno vale 1 y el coseno 0; el segundo término se anula y solo queda u′v:
  
  $f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot1+\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot0=\pi$
Respuesta

f′(x) = 2x sin x + x² cos x, y f′(π/2) = π ≈ 3,1416. En la página, la franja superior uv′ marca 0 en ese punto. La altura sin x ha dejado de crecer en su punto máximo, y toda la variación proviene de la anchura.

$f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x,\qquad f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi\approx3{.}1416$
Dónde se aplana x·eˣ 4 pasos
Halla dónde tiene tangente horizontal la gráfica de f(x) = x eˣ y determina si se trata de un máximo o de un mínimo.

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1. Los factores y sus derivadas. eˣ es su propia derivada:
  
  $u=x,\quad u'=1;\qquad v=e^{x},\quad v'=e^{x}$
2. Aplica la regla y después saca factor común eˣ. En un examen querrán que esté factorizado: un producto solo es cero si lo es alguno de sus factores:
  
  $f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$
3. Como eˣ nunca vale cero, la pendiente solo se anula donde lo hace el paréntesis:
  
  $e^{x}>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0\iff x=-1,\qquad f(-1)=-e^{-1}\approx-0{.}3679$
4. Prueba a ambos lados. La pendiente es negativa en −2 y positiva en 0, de modo que la curva primero baja y luego sube:
  
  $f'(-2)=-e^{-2}<0,\qquad f'(0)=1>0$
Respuesta

Un mínimo en (−1, −1/e) ≈ (−1, −0,3679). En x = −1 la página muestra que la regla da 0 a partir de dos franjas que se cancelan con exactitud: 0,3679 y −0,3679. No puede dibujar el rectángulo en ese punto porque uno de los lados, u = −1, es negativo; a la regla le da igual.

$f_{\min}=f(-1)=-\tfrac{1}{e}\approx-0{.}3679$
Una potencia por un logaritmo 3 pasos
Deriva f(x) = x³ ln x para x > 0 y halla dónde deja de decrecer.

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1. Los factores y sus derivadas:
  
  $u=x^{3},\quad u'=3x^{2};\qquad v=\ln x,\quad v'=\tfrac{1}{x}$
2. Aplicamos la regla. El segundo término se simplifica, x³ · 1/x = x², y luego x² queda como factor común:
  
  $f'(x)=3x^{2}\ln x+x^{3}\cdot\tfrac{1}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}=x^{2}\left(3\ln x+1\right)$
3. Para x > 0, x² es positivo: solo el paréntesis puede anularse:
  
  $3\ln x+1=0\ \Rightarrow\ \ln x=-\tfrac13\ \Rightarrow\ x=e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Respuesta

f′(x) = x²(3 ln x + 1), que se anula en x = e^(−1/3) ≈ 0,7165. A su izquierda, el paréntesis es negativo y f decrece; a su derecha, crece. En x = 1, la página muestra u′v = 0 porque ln 1 = 0, y toda la tasa de 1 procede de la segunda franja. Desliza x de 0,71 a 0,72 y observa cómo la regla cambia de signo, de −0,0138 a 0,0075.

$f'(x)=x^{2}\left(3\ln x+1\right),\qquad f'\!\left(e^{-1/3}\right)=0,\quad e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Una raíz cuadrada por un polinomio 4 pasos
Deriva f(x) = √x (x² − 4) y escribe el resultado como una sola fracción.

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1. Escribe primero √x como potencia; después, la regla de la potencia se aplica como siempre:
  
  $u=x^{1/2},\quad u'=\tfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}};\qquad v=x^{2}-4,\quad v'=2x$
2. Aplicamos la regla:
  
  $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}$
3. Reduce ambos términos a común denominador 2√x. Como √x · √x = x, el segundo término queda como 4x²/(2√x):
  
  $2x\sqrt{x}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4+4x^{2}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
4. Una comprobación en x = 4, donde √x = 2:
  
  $f'(4)=\dfrac{80-4}{2\cdot2}=\dfrac{76}{4}=19$
Respuesta

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x). En x = 4, la página muestra 19: 3 de la franja de la derecha y 16 de la franja superior.

$f'(x)=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
eˣ sin x, derivado dos veces 3 pasos
Halla f′(x) y f″(x) para f(x) = eˣ sin x.

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1. Los factores y sus derivadas:
  
  $u=e^{x},\quad u'=e^{x};\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. Aplicamos la regla y sacamos factor común eˣ:
  
  $f'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)$
3. f′ es a su vez un producto, eˣ por (sin x + cos x), de modo que aplicamos la regla por segunda vez. Los senos se cancelan:
  
  $f''(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)+e^{x}\left(\cos x-\sin x\right)=2e^{x}\cos x$
Respuesta

f′(x) = eˣ(sin x + cos x) y f″(x) = 2eˣ cos x. En x = 0, la página muestra f′ = 1, procedente por entero de la franja superior, e⁰ cos 0. La segunda derivada queda un paso más allá de esta página, pero puedes hacer que la calcule: escribe u = e^x y v = sin(x) + cos(x), y la regla que muestra en 0 es f″(0) = 2.

$f'(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right),\qquad f''(x)=2e^{x}\cos x$
tan x como cociente 3 pasos
Escribe tan x como sen x / cos x y derívala con la regla del cociente. ¿Cuál es su pendiente en x = π/4?

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1. Numerador, denominador y sus derivadas:
  
  $\begin{aligned}u&=\sin x,&u'&=\cos x\\v&=\cos x,&v'&=-\sin x\end{aligned}$
2. Aplica la regla. En el numerador queda cos²x + sen²x, que vale 1:
  
  $\begin{aligned}(\tan x)'&=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x\,(-\sin x)}{\cos^{2}x}\\&=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\end{aligned}$
3. En π/4 el coseno vale √2/2, así que su cuadrado es un medio:
  
  $\begin{aligned}&\cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac12\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Respuesta

(tan x)′ = 1/cos²x = sec²x, y la pendiente en π/4 es 2. En la pantalla, u′v marca 0,5 y uv′ marca −0,5; como la regla resta el segundo, el numerador vale 1 y no 0. Además, cos²x nunca supera a 1, por lo que la pendiente jamás baja de 1: allí donde está definida, tan x sube al menos con tanta inclinación como y = x.

$\begin{aligned}&(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Dónde cambia de sentido x/(x² + 1) 3 pasos
Halla los puntos estacionarios de f(x) = x/(x² + 1) y determina cuál es un máximo y cuál un mínimo.

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1. Numerador, denominador y sus derivadas:
  
  $\begin{aligned}u&=x,&u'&=1\\v&=x^{2}+1,&v'&=2x\end{aligned}$
2. Aplica la regla y simplifica el numerador:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}$
3. El denominador, (x² + 1)², es positivo para todo x, de modo que f′ tiene el signo de 1 − x²: cero en ±1, positivo entre ambos y negativo fuera.
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=0\iff x=\pm1\\&f'(0)=1>0,\qquad f'(\pm2)=-\tfrac{3}{25}<0\end{aligned}$
Respuesta

Un máximo f(1) = 1/2 y un mínimo f(−1) = −1/2. En x = 1 verás en la pantalla que u′v y uv′ valen 2, así que su diferencia, y con ella la pendiente, es 0.

$f_{\max}=f(1)=\tfrac12,\qquad f_{\min}=f(-1)=-\tfrac12$
Divide primero 3 pasos
Deriva f(x) = (x³ − 2)/x² de dos formas, con la regla del cociente y dividiendo primero, y halla la pendiente en x = 1.

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1. Con la regla del cociente, tomando u = x³ − 2 y v = x²:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{3x^{2}\cdot x^{2}-\left(x^{3}-2\right)\cdot2x}{x^{4}}\\&=\dfrac{x^{4}+4x}{x^{4}}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
2. Si divides primero, el cociente se transforma en dos potencias y cada una se deriva por separado:
  
  $\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{2}}=x-2x^{-2}\\f'(x)&=1+4x^{-3}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
3. Ambos caminos dan la misma derivada, y en x = 1:
  
  $f'(1)=1+4=5$
Respuesta

f′(x) = 1 + 4/x³, y f′(1) = 5. Si el denominador es una sola potencia de x, divídela entre cada término del numerador y te ahorrarás la regla del cociente. La pantalla aplica siempre la regla: en x = 1 muestra u′v = 3 y uv′ = −2, así que el numerador vale 3 − (−2) = 5, sobre v² = 1.

$f'(x)=1+\dfrac{4}{x^{3}},\qquad f'(1)=5$
Una caja cuyos tres lados varían 4 pasos
Añade al rectángulo una profundidad w = 3 − x, de modo que la caja tenga lados x + 1, 2x + 1 y 3 − x. Halla la tasa de variación de su volumen en x = 1 y calcula ΔV/h con total exactitud para un paso h. Pulsa Ejemplo resuelto: en x = 1 la página muestra (uv)′ = 7, y ΔA/h = 8 con h = ½.

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1. Considera la caja como el producto del rectángulo uv por la profundidad w y aplica la regla del producto dos veces. La página ya ha calculado la derivada interna:
  
  $(uvw)'=(uv)'\,w+uv\,w'=7\cdot2+6\cdot(-1)=8$
2. Compruébalo con porcentajes. Los lados varían a razón de 1 sobre 2, 2 sobre 3 y −1 sobre 2 de sí mismos, y en un producto las tasas se suman:
  
  $\frac{V'}{V}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3},\qquad V'=12\cdot\frac{2}{3}=8$
3. Veamos ahora el paso exacto. Al ser lados lineales tenemos Δu = h, Δv = 2h y Δw = −h; al desarrollar el producto obtenemos tres losas, tres aristas y un cubo en la esquina:
  
  $\Delta V=(2+h)(3+2h)(2-h)-12=8h-3h^{2}-2h^{3}$
4. Divide entre h. Las losas dan la derivada; las aristas y el cubo arrastran las potencias de h que se desvanecen:
  
  $\frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2},\qquad h=1:\ 3,\qquad h=\tfrac{1}{2}:\ 6$
Respuesta

V′(1) = 8 y exactamente ΔV/h = 8 − 3h − 2h². Las tres losas u′vw, uv′w y uvw′ (6, 8 y −6) sobreviven al límite; las tres aristas, que suman −3, van multiplicadas por h, y el cubo u′v′w′ = −2 por h². Un paso de una unidad entera cambia el volumen en 3, pasando de 12 a 15, un resultado muy alejado de 8: con h = 1 las aristas y el cubo pesan tanto como cualquier otra parte.

$V'(1)=8,\qquad \frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Deriva (2x + 1)(x² − 3).

Mostrar respuesta

6x² + 2x − 6

$f'(x)=6x^{2}+2x-6$
Deriva x³eˣ y escribe el resultado factorizado.

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x²eˣ(x + 3)

$f'(x)=x^{2}e^{x}(x+3)$
Deriva (x + 1)/(x − 1).

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−2/(x − 1)², negativa allí donde está definida

$f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$
Halla dónde es estacionaria ln x / x y su valor en ese punto.

Mostrar respuesta

f′(x) = (1 − ln x)/x², se anula en x = e, donde f = 1/e ≈ 0,3679

$\begin{aligned}&f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\\&x=e,\quad f(e)=\tfrac1e\approx0{.}3679\end{aligned}$
Deriva sin x / x.

Mostrar respuesta

(x cos x − sin x)/x²

$f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$
Halla la recta tangente a y = x/(x + 1) en x = 1.

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y′ = 1/(x + 1)², de modo que la pendiente es 1/4 y la recta tangente es y = x/4 + 1/4

$y=\tfrac14x+\tfrac14$

La regla equivocada es la esquina

Pulsa La esquina y observa un paso completo. El rectángulo gana una franja a la derecha, otra en la parte superior y una pequeña esquina: esa esquina es justo u′v′. Ahora reduce h a la mitad, y luego otra vez. Divididas entre h, las dos franjas conservan su tamaño; la esquina mengua con h y desaparece en el límite. Por tanto, la conjetura (uv)′ = u′v′ se queda con la única pieza que el límite descarta y pierde las dos que conserva. Leibniz anotó esa misma conjetura en un manuscrito del 11 de noviembre de 1675, y un par de páginas después él mismo la refutó con x por x.

En porcentajes, las tasas se suman en el producto y se restan en el cociente

Pulsa Porcentaje. Un lado crece un 3% de su valor por cada unidad de x, el otro un 2%, y el área aumenta un 5%. Divide la regla del producto entre uv: lo que afirma en cada x, para cualquier pareja de funciones, es precisamente que las tasas relativas se suman. También se suman si una de ellas es negativa; por eso, subir los precios un 3% mientras las ventas caen un 2% eleva los ingresos en torno a un 1%. Pulsa Razón: con esos mismos dos lados, el cociente crece un 1%, porque en un cociente las tasas se restan. El signo menos de la regla del cociente no es más que esa resta.

Dos franjas que se cancelan en el producto se suman en el cociente

Pulsa Equilibrio: los lados son sin x y cos x, en x = π/4. La anchura crece a la misma velocidad a la que disminuye la altura, de modo que las dos franjas son iguales y opuestas, y el área deja de cambiar. Es el tamaño máximo que alcanza este rectángulo. Pulsa tan x: esas dos mismas franjas entran en la regla del cociente, donde el signo menos convierte la cancelación en una suma. Al menguar v, el cociente se hace mayor; así, la franja que el producto perdió la gana el cociente.

Ruta de aprendizaje

Derivación: cómo se combinan las razones de cambio

Referencias (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.