Optimización: la caja y la lata

Allí donde la magnitud que buscas maximizar deja de crecer, su tasa de variación se anula: así es como una derivada localiza la caja óptima o la lata más económica sin necesidad de probarlas una a una. Modifica el corte o el radio y observa cómo la tangente se vuelve horizontal; luego recorre la solución paso a paso, prestando atención a cómo se comprueban los extremos del intervalo permitido.

Extremos en un intervalo cerrado	$\begin{aligned}&\max_{[a,b]}f,\ \min_{[a,b]}f\\ &\quad\in\ \{\,f(a),\ f(b)\,\}\ \cup\ \{\,f(c):\ f'(c)=0\,\}\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — Optimización: la caja y la lata

Volumen de tu caja, cm³	1936
Tasa V′(x), cm³ por cm de corte	132
Corte óptimo, cm	5
Volumen de la caja óptima, cm³	2000
Tu caja frente a la óptima	-3,2 %
El mayor de esos valores es la solución.	2000

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Optimización: la caja y la lata

Optimización con la derivada: expresa la cantidad que quieras hacer máxima o mínima en función de una sola variable en el intervalo que permita el problema, halla dónde se anula su derivada y compara los valores en esos puntos con los de los extremos del intervalo. El máximo y el mínimo de una función derivable en un intervalo cerrado siempre se encuentran entre esos candidatos. El radio de una lata, en cambio, puede ser cualquier número positivo, así que no hay extremos que comparar. Decide entonces el signo de la derivada: al ser negativa en todo punto anterior al crítico y positiva en todo punto posterior, la función decrece y luego crece, de modo que en el punto crítico alcanza su menor valor en todo el dominio.

Qué significa cada símbolo

x: el lado del cuadrado recortado en cada esquina de la lámina, en cm
r: el radio de la lata, en cm; la altura queda determinada por el volumen
k: el coste de un cm² de base, medido en cm² de pared lateral

Supone: La lámina es cuadrada y la caja no tiene tapa. La lata es un cilindro cerrado cuyo gasto de metal se computa únicamente por superficie: sin costuras, sin pestañas de engaste y sin tener en cuenta el grosor de la chapa.

Problemas resueltos al detalle

La mejor caja a partir de un cuadrado de 24 cm 3 pasos
Corta cuadrados iguales en las esquinas de una lámina cuadrada de 24 cm y pliega los lados hacia arriba. ¿Qué corte da la caja de mayor volumen y cuál es su capacidad?

Abre este problema en la herramienta
1. Expresa el volumen en función del corte x. El corte no puede superar la mitad del lado:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le12$
2. Deriva con la regla del producto y saca factor común:
  
  $V'(x)=(24-2x)^{2}+x\cdot2(24-2x)(-2)=(24-2x)(24-6x)$
3. Las dos raíces son candidatas, y también los dos extremos del intervalo:
  
  $V'(x)=0\ \Rightarrow\ x=4\ \text{or}\ x=12,\qquad V(0)=V(12)=0,\qquad V(4)=4\times16^{2}=1{,}024$
Respuesta

Corta 4 cm en cada esquina. La caja tiene una base cuadrada de 16 cm, 4 cm de profundidad y una capacidad de 1.024 cm³. El corte mide un sexto del lado, como en cualquier lámina cuadrada. La raíz x = 12 también es candidata, pero no produce caja alguna: los dos cortes de cada lado se tocan y no queda base.

$x=4\ \mathrm{cm},\qquad V=1{,}024\ \mathrm{cm^{3}}$
La misma lámina, con 3 cm de profundidad como máximo 3 pasos
La caja hecha con la lámina de 24 cm debe caber en un estante, así que como máximo puede tener 3 cm de profundidad. ¿Cuál es ahora el corte óptimo y se anula la derivada en ese punto?

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1. El volumen es la misma función en un intervalo más corto:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le3$
2. Los dos factores de V′ se mantienen positivos en todo el intervalo:
  
  $0\le x\le3:\qquad 24-2x\ge18>0,\quad 24-6x\ge6>0\ \Rightarrow\ V'(x)>0$
3. Así que el volumen no deja de crecer hasta el límite, y la mejor caja queda en el extremo:
  
  $V(3)=3\times18^{2}=972,\qquad V'(3)=18\times6=108$
Respuesta

Corta 3 cm. La caja tiene una capacidad de 972 cm³, y la tasa de variación allí es de 108 cm³ por cm, no cero. Al igualar V′ = 0 se obtiene x = 4, que queda descartado. El valor máximo está en un extremo del intervalo, y solo darás con él si compruebas los extremos.

$x=3\ \mathrm{cm},\qquad V=972\ \mathrm{cm^{3}},\qquad V'(3)=108\neq0$
La lata con menos metal 3 pasos
Una lata cilíndrica cerrada debe contener 1000 cm³, y sus tapas se cortan de la misma chapa que la pared. ¿Qué radio gasta menos metal y qué altura tiene esa lata?

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1. El volumen fija la altura, así que el metal queda en función únicamente de r:
  
  $\pi r^{2}h=1000\ \Rightarrow\ h=\frac{1000}{\pi r^{2}},\qquad M(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Iguala M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=\frac{500}{\pi}\ \Rightarrow\ r=5{.}419\ \mathrm{cm}$
3. La altura y el metal. M′ es negativa por debajo de este radio y positiva por encima, así que se trata del mínimo:
  
  $h=\frac{1000}{\pi\times5{.}419^{2}}=10{.}84=2r,\qquad M=2\pi(5{.}419)^{2}+\frac{2000}{5{.}419}=553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Respuesta

r ≈ 5,42 cm y h ≈ 10,84 cm: la lata es tan alta como ancha y emplea 553,6 cm² de metal. La relación h = 2r es exacta, no una casualidad del redondeo: con πr³ = 500, h = 1000/(πr²) = 2r.

$r\approx5{.}42\ \mathrm{cm},\qquad h=2r\approx10{.}84\ \mathrm{cm},\qquad M\approx553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Tapas troqueladas de cuadrados 3 pasos
La misma lata de 1000 cm³, pero ahora cada tapa se troquela a partir de un cuadrado de lado 2r y las esquinas se desechan. Contando los cuadrados enteros, ¿qué radio gasta menos metal ahora?

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1. Cada cm² de tapa cuesta ahora el cociente entre el área del cuadrado y la del círculo, 4/π, así que las tapas pesan más:
  
  $k=\frac{(2r)^{2}}{\pi r^{2}}=\frac{4}{\pi},\qquad M(r)=2k\pi r^{2}+\frac{2000}{r}=8r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Iguala M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=16r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=125\ \Rightarrow\ r=5\ \mathrm{cm}$
3. El metal y la altura:
  
  $M(5)=8\times25+\frac{2000}{5}=200+400=600,\qquad h=\frac{1000}{25\pi}=12{.}73\ \mathrm{cm}$
Respuesta

r = 5 cm, 600 cm² de metal y la lata mide 12,73 cm de alto. Las tapas se llevan 200 cm² y la pared 400 cm²: la mitad, como en toda lata óptima. Unas tapas más caras hacen que la lata óptima sea más estrecha y alta: 1,27 diámetros, que es 4/π.

$r=5\ \mathrm{cm},\qquad M=600\ \mathrm{cm^{2}},\qquad \frac{200}{400}=0{.}5$
Cercado junto a un muro 3 pasos
Un agricultor dispone de 60 m de valla para cercar un corral rectangular aprovechando un muro largo como cuarto lado. ¿Con qué dimensiones se obtiene el área máxima?
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1. Llama x a cada lado perpendicular al muro. Para el lado paralelo quedan 60 − 2x de valla, de modo que el área depende únicamente de x en el intervalo que permite la cerca:
  
  $\begin{aligned}&A(x)=x\,(60-2x)=60x-2x^{2}\\&0\le x\le30\end{aligned}$
2. Iguala A′ = 0:
  
  $A'(x)=60-4x=0\ \Rightarrow\ x=15$
3. Compara con los extremos, donde el corral no encierra área:
  
  $\begin{aligned}&A(15)=15\cdot30=450\\&A(0)=A(30)=0\end{aligned}$
Respuesta

15 m en perpendicular al muro y 30 m a lo largo de este, con 450 m². El lado que va junto al muro mide el doble que los otros. Sin el muro, el corral óptimo sería un cuadrado de 15 m de lado y apenas 225 m²: el muro ahorra un lado entero de valla.

$\begin{aligned}&x=15\ \mathrm{m},\quad60-2x=30\ \mathrm{m}\\&A=450\ \mathrm{m^{2}}\end{aligned}$
El punto de y = √x más cercano a (3, 0) 3 pasos
Halla el punto de la curva y = √x más cercano a (3, 0) y su distancia.
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1. La distancia de (3, 0) a (x, √x) lleva una raíz cuadrada. Su cuadrado alcanza el mínimo en el mismo punto y ya no tiene raíz:
  
  $\begin{aligned}D^{2}&=(x-3)^{2}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\\&=(x-3)^{2}+x,\qquad x\ge0\end{aligned}$
2. Deriva e iguala a cero:
  
  $\dfrac{d}{dx}D^{2}=2(x-3)+1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac52$
3. El dominio tiene un solo extremo, x = 0. Hacia el otro lado D² crece sin límite, así que compara el punto crítico con ese extremo:
  
  $D^{2}\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac14+\tfrac52=\tfrac{11}{4},\qquad D^{2}(0)=9$
Respuesta

El punto más cercano es (2,5; √2,5) ≈ (2,5; 1,5811), a una distancia √11/2 ≈ 1,6583. Podemos minimizar D² en lugar de D porque la raíz cuadrada siempre crece: ambas alcanzan el mínimo en el mismo valor de x. Si derivas la propia D con la regla de la cadena obtienes la misma x, pero arrastrando una raíz en cada paso.

$\left(\tfrac52,\ \sqrt{\tfrac52}\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx1{.}6583$
La caja óptima a partir de una hoja A4 4 pasos
Una hoja de papel A4 mide 21 cm por 29,7 cm. Recorta un cuadrado idéntico en cada esquina, dobla los lados hacia arriba y calcula qué corte produce la caja de mayor volumen, así como dicho volumen. En la herramienta las láminas son cuadradas. Pulsa Lado menor del A4 para explorar un cuadrado de 21 cm, cuyo corte óptimo es de 3,5 cm y cuya caja alcanza 686 cm³.

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1. Con un corte x, la base mide 21 − 2x por 29,7 − 2x y la altura de la caja es x. Desarrollando el producto para cortes que no superen la mitad del lado menor:
  
  $V(x)=x\,(21-2x)(29{.}7-2x)=4x^{3}-101{.}4x^{2}+623{.}7x,\qquad 0\le x\le10{.}5$
2. Deriva término a término:
  
  $V'(x)=12x^{2}-202{.}8x+623{.}7$
3. Iguala V′(x) = 0 y aplica la fórmula cuadrática. El radicando es 16 × 699,39, lo que simplifica el cálculo:
  
  $x=\frac{202{.}8\mp\sqrt{202{.}8^{2}-4\cdot12\cdot623{.}7}}{24}=\frac{50{.}7\mp\sqrt{699{.}39}}{6},\qquad x_1=4{.}0423,\quad x_2=12{.}8577$
4. La segunda raíz supera los 10,5 cm, rebasando la mitad del lado menor, con lo que ya no formaría una caja. En ambos extremos del intervalo admisible el volumen es 0, así que la caja óptima corresponde a la primera raíz:
  
  $V(4{.}0423)=4{.}0423\times12{.}9153\times21{.}6153=1{,}128{.}5$
Respuesta

Recorta 4,04 cm en cada esquina: la caja mide 12,92 cm por 21,62 cm con 4,04 cm de fondo y alberga unos 1.128,5 cm³, algo más de un litro. Este corte queda entre un sexto del lado menor, 3,5 cm, y un sexto del lado mayor, 4,95 cm, sin coincidir con ninguno. Para una lámina de dimensiones a por b, el corte óptimo responde a (a + b − √(a² − ab + b²))/6. En una lámina cuadrada la raíz se reduce simplemente a a, con lo que la fórmula general se simplifica al L/6 de la herramienta.

$x\approx4{.}04,\qquad V\approx1{,}128{.}5$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Dos números positivos suman 20. ¿Qué pareja tiene el mayor producto?

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10 y 10, con un producto de 100

$10+10=20,\qquad10\cdot10=100$
De todos los rectángulos con un perímetro de 40 cm, ¿cuál tiene la mayor área?

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El cuadrado de 10 cm de lado, con 100 cm²

$10\times10\ \mathrm{cm},\qquad A=100\ \mathrm{cm^{2}}$
Una caja sin tapa y con base cuadrada debe albergar 32 m³. ¿Con qué dimensiones se usa la menor cantidad de material?

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Una base de 4 m por 4 m y una altura de 2 m, con 48 m²

$4\times4\times2\ \mathrm{m},\qquad S=48\ \mathrm{m^{2}}$
El beneficio de una empresa al producir q unidades es P(q) = −2q² + 120q − 1000. ¿Qué producción maximiza el beneficio y a cuánto asciende?

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q = 30, con un beneficio de 800

$q=30,\qquad P(30)=800$
Halla los puntos de y = x² más cercanos a (0, 2).

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(±√(3/2), 3/2), a una distancia √7/2 ≈ 1,3229. El origen, donde la derivada de D² también se anula, es un máximo local de la distancia, con valor 2.

$\left(\pm\sqrt{\tfrac32},\ \tfrac32\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{.}3229$
Halla el valor máximo de x e^(−x) para x ≥ 0.

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1/e ≈ 0,3679, en x = 1

$x=1,\qquad\max=\tfrac1e\approx0{.}3679$

Desvíate un quinto del corte óptimo y la caja apenas perderá un 3%

En el corte óptimo la derivada V′ vale cero, de modo que desviarse un poco cuesta poquísimo. Pulsa Caja óptima y luego Corte de 4 cm: si te quedas corto un 20%, pierdes un 3,2% del volumen; con un corte un 20% más profundo, la tabla muestra una pérdida de apenas el 2,8%. En cualquier lámina cuadrada, desviarse una fracción δ cuesta δ²(3 − δ)/4 del volumen. El cuadrado aparece porque la curva se allana en la cima, y ese −δ explica por qué pasarse de corte penaliza algo menos que quedarse corto.

Una cota de profundidad traslada la mejor caja al borde, donde la pendiente no es nula

Pulsa Máximo 4 cm de fondo. Ahora solo se permiten cortes de hasta 4 cm; la franja gris cubre el resto. La condición V′ = 0 sigue apuntando a 5 cm, pero ese valor queda descartado. En todo el intervalo admisible V′ es positiva, así que el volumen no deja de subir hasta alcanzar el tope: la mejor caja es la de 4 cm, donde la derivada todavía vale 132. La ecuación V′ = 0 localiza dónde la curva es horizontal, pero un óptimo en el extremo del intervalo no tiene por qué serlo en absoluto. Por eso en los pasos se comprueban también los extremos. En una lámina de 30 cm, cualquier cota inferior a 5 cm restringe de esta manera, mientras que cualquier límite de 5 cm o más no cambia nada.

En la lata de menor superficie, las bases cuestan justo la mitad que la pared

Si ensanchas un poco la lata, las tapas crecen mientras la pared encoge. El radio óptimo es donde se equilibran las dos tasas, 4kπr = 2V/r², y al multiplicar por r/2 obtenemos 2kπr² = V/r: las tapas cuestan exactamente la mitad que los 2V/r de la pared. Pulsa Tapas de cuadrados, donde cada tapa se troquela de un cuadrado y las esquinas son chatarra; la tarjeta sigue marcando 0,5. Ocurre con cualquier volumen y con cualquier precio del metal de las tapas. El precio, en cambio, altera la forma: la lata óptima mide k diámetros de alto (tan alta como ancha cuando las tapas llevan el mismo metal que la pared) y 1,27 diámetros si se troquelan de un cuadrado. Alejarse de la forma ideal sale barato, por la misma razón que en la caja: Lata esbelta mide 1,5 diámetros y solo consume un 1,75% más de metal.

Ruta de aprendizaje

Derivación: cómo se combinan las razones de cambio

Referencias (2)

The method in the definition and in the step-through (evaluate at the endpoints, find the critical points inside the interval, compare all the values: “the absolute extrema must occur at endpoints or critical points”), the Extreme Value Theorem (Theorem 4.1) and Fermat's theorem (Theorem 4.2) behind it: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The open box worked on a rectangular sheet, 24 in. by 36 in., whose best cut is x = 10 − 2√7 ≈ 4.7 in. for about 1,825 in³ (Example 4.33, the same calculation as the page's A4 worked problem), and the applied-problem strategy's step that sets the domain from the physical problem before looking for the extremum (Step 5) and the remark that locating it “typically involves looking for critical points and evaluating a function at endpoints” (Step 6): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.7, “Applied Optimization Problems”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Optimización: la caja y la lata

Qué significa cada símbolo

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Desvíate un quinto del corte óptimo y la caja apenas perderá un 3% 🖖

Una cota de profundidad traslada la mejor caja al borde, donde la pendiente no es nula 🖖

En la lata de menor superficie, las bases cuestan justo la mitad que la pared 🖖

Desvíate un quinto del corte óptimo y la caja apenas perderá un 3%

Una cota de profundidad traslada la mejor caja al borde, donde la pendiente no es nula

En la lata de menor superficie, las bases cuestan justo la mitad que la pared