Razones relacionadas

Cuando dos magnitudes están unidas por una ecuación en todo instante, sus razones de cambio quedan ligadas por la derivada. Elige un escenario, fija el momento y recorre tú mismo los cinco pasos: verás el resultado de la regla de la cadena junto a la velocidad medida directamente sobre el movimiento, además de su gráfica en todo el recorrido.

Razones de cambio relacionadas	$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

Altura del extremo superior, y (m)	4
Velocidad del extremo, y′ (m/s)	−0,375
Velocidad superior como múltiplo de la del pie	0,75
Ángulo con el suelo, θ (grados)	53,1
Altura a la que dicho empuje se anula (m)	0,752

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

Las razones relacionadas son las derivadas respecto al tiempo de magnitudes ligadas por una ecuación. Si una relación como x² + y² = L² se cumple en todo instante, derivar ambos miembros respecto a t mediante la regla de la cadena produce una igualdad entre las razones x′ e y′; de este modo, conocer una de ellas determina la otra en cualquier instante en que se conozcan x e y. El orden de los pasos es fundamental: primero se deriva y solo después se introducen los valores numéricos del instante.

Qué significa cada símbolo

x′: dx/dt, la razón de cambio de x respecto al tiempo
y*: la altura a la que el extremo superior de una escalera uniforme se despega de la pared, (2a²L²/(3g))^⅓

Supone: Se considera que la escalera es rígida, que su pie se desliza a velocidad constante y que su extremo superior no se despega de la pared; que el cono es geométricamente perfecto y que la sombra la proyecta un foco de luz puntual. La fuerza de apoyo calculada corresponde a una escalera homogénea sobre suelo y pared sin fricción, con g = 9,81 m/s². El cálculo de las razones de cambio propiamente dicho recurre únicamente a la geometría.

La escalera en 3-4-5 3 pasos
Una escalera de 5 m se apoya contra una pared con la base a 3 m, deslizándose a 0,5 m/s. ¿A qué velocidad desciende el extremo superior y cuánto tardará la base en alcanzar los 5 m?

Abre este problema en la herramienta
1. La relación se cumple en todo momento. En este instante, nos da la altura del extremo superior:
  
  $x^{2}+y^{2}=5^{2},\qquad x=3\ \Rightarrow\ y=\sqrt{25-9}=4$
2. Deriva respecto a t y sustituye los valores de este instante:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{3}{4}\times0{.}5=-0{.}375\ \mathrm{m/s}$
3. A la base le quedan 2 m por recorrer a un ritmo constante de 0,5 m/s:
  
  $t=\frac{L-x}{x'}=\frac{5-3}{0{.}5}=4\ \mathrm{s}$
Respuesta

El extremo superior baja a 0,375 m/s y la base alcanza los 5 m al cabo de 4 s. El signo menos refleja que la altura disminuye. La respuesta corresponde a un instante concreto: un segundo después la base estará a 3,5 m y el extremo superior bajará más rápido.

$y'=-0{.}375\ \mathrm{m/s},\qquad t=4\ \mathrm{s}$
Un cono a media profundidad 3 pasos
Entra agua a 2 m³/min en un cono con el vértice hacia abajo, de 4 m de profundidad y 2 m de radio en el borde. ¿A qué velocidad sube el nivel cuando el agua alcanza 2 m de profundidad y cómo se compara con su ritmo al llegar al borde?

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1. Los triángulos semejantes relacionan el radio de la superficie con la profundidad, dejando el volumen en función de una sola variable:
  
  $\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{2}{4}\ \Rightarrow\ r=\frac{h}{2},\qquad V=\frac{\pi}{3}r^{2}h=\frac{\pi}{12}h^{3}$
2. Deriva. El factor que acompaña a h′ es el área de la superficie:
  
  $V'=\frac{\pi}{4}h^{2}\,h'=\pi r^{2}\,h'\ \Rightarrow\ h'=\frac{Q}{\pi r^{2}}=\frac{2}{\pi\cdot1^{2}}=0{.}6366\ \mathrm{m/min}$
3. En el borde, la superficie tiene el doble de radio:
  
  $h=4,\ r=2:\qquad h'=\frac{2}{\pi\cdot2^{2}}=0{.}1592\ \mathrm{m/min}$
Respuesta

El nivel sube a 2/π ≈ 0,6366 m/min, cuatro veces los 0,1592 m/min que alcanza en el borde. Elimina r antes de derivar. Derivar V = πr²h/3 conservando r introduce r′ como una segunda tasa desconocida.

$h'=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366\ \mathrm{m/min},\qquad \frac{0{.}6366}{0{.}1592}=4$
El extremo de la sombra 3 pasos
Una farola está a 6 m de altura en un poste. Una persona de 1,8 m de estatura se aleja a 1,5 m/s. Cuando se encuentra a 4 m del poste, ¿cuánto mide su sombra, a qué ritmo crece y a qué velocidad se desplaza su extremo?

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1. El rayo de luz que roza la cabeza forma dos triángulos semejantes. Despeja la longitud s de la sombra:
  
  $\frac{s}{1{.}8}=\frac{d+s}{6}\ \Rightarrow\ 4{.}2\,s=1{.}8\,d\ \Rightarrow\ s=\frac{1{.}8\times4}{4{.}2}=1{.}714\ \mathrm{m}$
2. Deriva. La longitud s es un múltiplo constante de d, así que su tasa de variación es ese mismo múltiplo de d′:
  
  $s'=\frac{1{.}8}{4{.}2}\,d'=\frac{1{.}8\times1{.}5}{4{.}2}=0{.}643\ \mathrm{m/s}$
3. El extremo dista d + s del poste:
  
  $(d+s)'=d'+s'=1{.}5+0{.}643=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

La sombra mide 1,714 m, crece a 0,643 m/s y su extremo se desplaza a 2,143 m/s. Ninguna de las dos tasas depende de d: haz la misma pregunta a 16 m y las respuestas serán idénticas.

$s'=0{.}643\ \mathrm{m/s},\qquad (d+s)'=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
A qué velocidad se cierra el ángulo 4 pasos
Una escalera de 6,5 m se apoya en una pared y su pie resbala alejándose a 0,4 m/s. Cuando el pie dista 2,5 m de la pared, ¿a qué velocidad desciende el extremo superior? ¿A qué distancia de la pared se halla el pie cuando ambos extremos se mueven a la misma velocidad? ¿Y a qué ritmo disminuye el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el pie está a 2,5 m? Pulsa Problema resuelto para obtener las dos primeras respuestas. La página no calcula la tercera.

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1. La relación geométrica y la altura del extremo superior en este instante:
  
  $x^{2}+y^{2}=6{.}5^{2},\qquad x=2{.}5\ \Rightarrow\ y=\sqrt{42{.}25-6{.}25}=6$
2. Deriva respecto a t y despeja y′:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{2{.}5}{6}\times0{.}4=-0{.}1667\ \mathrm{m/s}$
3. Ambos extremos se mueven a la misma velocidad cuando x/y = 1, es decir, cuando x = y:
  
  $\frac{x}{y}=1\ \Rightarrow\ x=y=\frac{6{.}5}{\sqrt2}=4{.}596\ \mathrm{m}$
4. Para el ángulo, deriva en su lugar x = L cos θ y observa que L sen θ equivale a y:
  
  $x=L\cos\theta\ \Rightarrow\ x'=-L\sin\theta\,\theta'=-y\,\theta'\ \Rightarrow\ \theta'=-\frac{x'}{y}=-\frac{0{.}4}{6}=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}$
Respuesta

El extremo superior desciende a 0,1667 m/s, las velocidades coinciden cuando el pie se halla a 4,596 m y el ángulo disminuye a 0,0667 rad/s, aproximadamente 3,82° por segundo. La expresión θ′ = −x′/y lleva la misma y en el denominador que la velocidad del extremo, por lo que también crece sin límite a medida que la escalera se tumba.

$y'=-0{.}1667\ \mathrm{m/s},\qquad x=4{.}596\ \mathrm{m},\qquad \theta'=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}\approx-3{.}82^{\circ}/\mathrm{s}$
Un globo que se infla 3 pasos
Se bombea aire a un globo esférico a 100 cm³/s. ¿Con qué rapidez crece el radio cuando mide 10 cm y a qué ritmo aumenta entonces su superficie?
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1. La relación que se cumple en todo momento y su derivada respecto de t:
  
  $V=\tfrac43\pi r^{3}\ \Rightarrow\ V'=4\pi r^{2}\,r'$
2. Ahora, el instante: r = 10:
  
  $\begin{aligned}r'&=\dfrac{V'}{4\pi r^{2}}=\dfrac{100}{400\pi}\\&=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\end{aligned}$
3. La superficie es otra relación con r, que se deriva del mismo modo:
  
  $\begin{aligned}S&=4\pi r^{2}\ \Rightarrow\ S'=8\pi r\,r'\\S'&=8\pi\cdot10\cdot\dfrac{1}{4\pi}=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Respuesta

El radio crece a 1/(4π) ≈ 0,0796 cm/s y la superficie, a 20 cm²/s. Un caudal constante de aire hace que el radio crezca cada vez más despacio: r′ disminuye como 1/r², pues cada nuevo cm³ se reparte sobre una superficie mayor.

$\begin{aligned}&r'=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\\&S'=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Dos coches y un cruce 3 pasos
El coche A está 0,6 km al norte de un cruce y avanza hacia él a 50 km/h. El coche B está 0,8 km al este y se aleja a 60 km/h. ¿A qué ritmo cambia la distancia que los separa?
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1. Pon nombre a las distancias: y es la distancia de A al cruce y x la de B; como A se acerca, su ritmo de cambio es negativo:
  
  $y'=-50,\quad x'=60,\quad s^{2}=x^{2}+y^{2}$
2. Deriva la relación respecto de t antes de introducir ningún número:
  
  $\begin{aligned}2s\,s'&=2x\,x'+2y\,y'\\s'&=\dfrac{x\,x'+y\,y'}{s}\end{aligned}$
3. En este instante, los coches distan 1 km entre sí:
  
  $\begin{aligned}s&=\sqrt{0{.}8^{2}+0{.}6^{2}}=1\\s'&=0{.}8\cdot60+0{.}6\cdot(-50)\\&=48-30=18\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
Respuesta

La distancia aumenta a 18 km/h. La respuesta no es ninguna de las dos velocidades, ni tampoco su suma. Cada coche influye únicamente según su proyección sobre la recta que los une, x/s para B e y/s para A: B aporta 48 km/h y A, al acercarse, resta 30.

$s'=18\ \mathrm{km/h}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Al caer una piedra en un estanque, genera una onda circular cuyo radio crece a 3 cm/s. ¿Con qué rapidez aumenta el área encerrada cuando el radio mide 10 cm?

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60π ≈ 188,5 cm²/s

$A'=60\pi\approx188{.}5\ \mathrm{cm^{2}/s}$
La arista de un cubo crece a 2 mm/s. ¿Con qué rapidez aumenta su volumen cuando la arista mide 5 mm?

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150 mm³/s

$V'=150\ \mathrm{mm^{3}/s}$
Una escalera de 10 m resbala apoyada en una pared mientras su pie se aleja a 1 m/s. ¿A qué velocidad desciende el extremo superior cuando el pie dista 6 m de la pared?

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0,75 m/s

$y'=-0{.}75\ \mathrm{m/s}$
Un globo asciende verticalmente a 5 m/s desde un punto situado a 100 m de un observador. ¿Con qué rapidez aumenta el ángulo de elevación cuando el globo está a 100 m de altura?

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0,025 rad/s, unos 1,43°/s

$\theta'=0{.}025\ \mathrm{rad/s}\approx1{.}43^{\circ}/\mathrm{s}$
Una bola de nieve se derrite manteniendo su forma esférica a razón de 10 cm³/min. ¿Con qué rapidez disminuye su radio cuando este mide 5 cm?

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1/(10π) ≈ 0,0318 cm/min

$r'=-\dfrac{1}{10\pi}\approx-0{.}0318\ \mathrm{cm/min}$
Un depósito cónico con el vértice hacia abajo tiene 6 m de profundidad y una boca de 3 m de radio. Si entra agua a 1 m³/min, ¿con qué rapidez sube el nivel cuando el agua alcanza 2 m de profundidad?

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1/π ≈ 0,318 m/min

$h'=\dfrac{1}{\pi}\approx0{.}318\ \mathrm{m/min}$

La fórmula hace que la escalera se estrelle contra el suelo a velocidad infinita

y′ = −(x/y)·x′ nos dice que el extremo superior se mueve x/y veces más rápido que el pie. Esa razón es menor que 1 mientras la escalera mantenga más de 45° de inclinación. Rebasados los 45°, no tiene techo: al acercarse el extremo superior al suelo, y tiende a cero y el resultado de la fórmula se dispara al infinito. Pulsa Los últimos 10 cm para comprobarlo. La derivación asume que el extremo superior no se despega de la pared, y es justo eso lo que falla. Para mantenerse contra ella, la pared tiene que empujar; en una escalera uniforme arrastrada a velocidad constante, ese empuje se anula en y* = (2a²L²/(3g))^⅓, que en esta escalera corresponde a 0,752 m. Más abajo, la pared tendría que tirar de ella hacia dentro, así que la escalera se despega. A la derecha de la línea ámbar, la curva azul prolonga la fórmula cuando una escalera real ya se ha separado de la pared.

El extremo de tu sombra avanza siempre a la misma velocidad, camines lo que camines

Por semejanza de triángulos, la sombra es una fracción fija de tu distancia al poste, s = pd/(P − p), y una fracción fija de d crece con esa misma fracción de d′. Tu posición, por tanto, no interviene en la velocidad. Pulsa Sombra a 4 m y después Sombra a 16 m: la sombra es cuatro veces más larga y ambas velocidades permanecen inalteradas, como líneas horizontales en la gráfica. La velocidad de la escalera se dispara porque x² + y² = L² es una curva. Esta relación, en cambio, es una recta, y una recta vincula dos velocidades mediante una constante.

Un cono se llena hasta la mitad de su profundidad en un octavo del tiempo

El caudal entrante se reparte por la superficie del agua, de modo que el nivel asciende a h′ = Q/(πr²): deprisa mientras la superficie es pequeña, despacio en cuanto se ensancha. A media profundidad, la superficie tiene una cuarta parte del área del borde, así que el nivel sube cuatro veces más rápido de lo que lo hará arriba. Y como el volumen varía con el cubo de la profundidad, la mitad inferior contiene solo una octava parte del agua, que se alcanza en una octava parte del tiempo de llenado. Ninguna de estas dos razones depende del tamaño del cono ni del caudal. Cámbialos: a media profundidad, la página seguirá mostrando 4 y 12,5%. Pulsa Restablecer y Ejecutar para ver cómo el nivel sube disparado y luego avanza a paso de tortuga.

Ruta de aprendizaje

Referencias (1)

The five-step strategy the page's stepper follows (assign symbols, state what is given and what is wanted, find an equation relating the variables, differentiate both sides with respect to time by the chain rule, then substitute the known values and solve), with worked examples on a balloon, an aeroplane, a rocket launch and water draining from a cone-shaped funnel, and the ladder and lamppost-shadow problems among the exercises: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.1, “Related Rates”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Razones relacionadas

Qué significa cada símbolo

Problemas complementarios, solo con la respuesta

La fórmula hace que la escalera se estrelle contra el suelo a velocidad infinita 🖖

El extremo de tu sombra avanza siempre a la misma velocidad, camines lo que camines 🖖

Un cono se llena hasta la mitad de su profundidad en un octavo del tiempo 🖖

La fórmula hace que la escalera se estrelle contra el suelo a velocidad infinita

El extremo de tu sombra avanza siempre a la misma velocidad, camines lo que camines

Un cono se llena hasta la mitad de su profundidad en un octavo del tiempo