Ley de Ampère

Recorre una curva cerrada cualquiera sumando la componente tangencial de B: obtendrás siempre μ₀ veces la corriente que atraviesa la curva. Para corrientes estacionarias el resultado es exacto y, al igual que la ley de Gauss, solo resulta útil en casos escogidos. Cuando la simetría hace que B tenga el mismo módulo en todo el recorrido y sea paralelo a él, la suma se reduce a B por la longitud del bucle, y el campo se despeja en una sola línea. Elige una corriente, fija el tamaño del bucle y observa tanto la corriente encerrada como el campo resultante.

Ley de Ampère con la corriente de desplazamiento de Maxwell	$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\Bigl(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)$
Solenoide largo y toroide	$B=\mu_0nI,\qquad B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$

Ejemplo resuelto — Ley de Ampère

Corriente a través del bucle	1,25 A
Longitud del bucle	0,06283 m
μ₀ veces la corriente	1,571×10⁻⁶ T·m
Campo B en el bucle	25 μT

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ley de Ampère

Ley de Ampère: al recorrer cualquier curva cerrada, la suma de las componentes tangenciales de B a lo largo de la curva es igual a μ₀ veces la corriente neta que la atraviesa, ∮B·dl = μ₀I_enc. Con la corrección de Maxwell, esta corriente engloba también la corriente de desplazamiento ε₀ dΦ_E/dt.

Qué significa cada símbolo

I_enc: la corriente neta que atraviesa cualquier superficie delimitada por el bucle, con el signo que fija la regla de la mano derecha
n: espiras por metro de un solenoide
K: corriente por metro de anchura de una lámina

De dónde viene la fórmula

Elige una curva donde la simetría determine B. Alrededor de un hilo recto, el módulo de B es constante sobre cualquier circunferencia concéntrica y apunta según su contorno, de modo que la circulación vale B·2πr.
$\oint\vec B\cdot d\vec l=B\cdot2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{enc}}$
Calcula la corriente encerrada. En el interior de un conductor con corriente homogénea, el bucle abarca una fracción r²/R² del total. En el exterior, la encierra por completo.
$I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}},\qquad r\ge R:\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
Solenoide largo. Traza un rectángulo con un lado en el interior y otro fuera. En el exterior B es despreciable y los lados cortos cortan a B perpendicularmente; solo aporta el lado interior, que encierra nℓ espiras.
$B\ell=\mu_0n\ell I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
Toroide. Una circunferencia dentro del núcleo corta las N espiras una sola vez, por lo que B·2πr = μ₀NI y B disminuye como 1/r.
$B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
Cuando la corriente no es estacionaria. Entre las armaduras de un condensador en carga no circula corriente de conducción, pero el flujo eléctrico varía y la corriente de desplazamiento ε₀ dΦ_E/dt ocupa su lugar.
$I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\qquad\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+I_{d}\right)$

Supone: Corrientes estacionarias en los pasos 1 al 4 y geometrías largas y simétricas: en un solenoide real el campo solo vale μ₀nI en el interior profundo, lejos de los extremos, y fuera es muy débil, no estrictamente nulo. Se asume aire o vacío; la presencia de hierro en el núcleo multiplica notablemente el valor de B.

Problemas resueltos al detalle

Dentro y fuera de un hilo grueso 3 pasos
Por un hilo de radio 2,0 cm circula una corriente de 5,0 A uniformemente distribuida por su sección. Halla B a 1,0 cm y a 4,0 cm del eje.

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1. En el interior, el bucle encierra una fracción r²/R² de la corriente:
  
  $I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=(5{.}0)\,\frac{(0{.}01)^{2}}{(0{.}02)^{2}}=1{.}25\ \mathrm{A}$
2. Ley de Ampère a lo largo de la circunferencia:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1{.}25)}{2\pi\,(0{.}01)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. En el exterior, el bucle encierra la corriente I completa:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}04)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

25 μT en ambos radios. En el interior, B crece de forma proporcional a r hasta alcanzar 50 μT en la superficie; en el exterior decae como 1/r.

$B(1\ \mathrm{cm})=B(4\ \mathrm{cm})=25\ \mu\mathrm{T}$
Un cable coaxial 2 pasos
Un cable coaxial transporta 5,0 A por un hilo central de radio 0,50 cm y regresa por un conductor exterior delgado de radio 3,0 cm. Halla B a 2,0 cm y a 4,0 cm del eje.

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1. Entre ambos conductores, el bucle encierra solo la corriente interna:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0I\ \Rightarrow\ B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)}=5{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Fuera del cable encierra ambas corrientes, que se anulan:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0\,(I-I)=0$
Respuesta

50 μT a 2,0 cm y cero a 4,0 cm.

$B(2\ \mathrm{cm})=50\ \mu\mathrm{T},\qquad B(4\ \mathrm{cm})=0$
Un solenoide largo 2 pasos
Un solenoide largo tiene 2.000 espiras por metro y transporta 3,0 A. Halla B en su interior.

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1. Un rectángulo con un lado interior de longitud ℓ encierra nℓ espiras, cada una con corriente I; únicamente aporta el lado interior:
  
  $B\ell=\mu_0\,(n\ell)\,I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
2. Sustituyendo los valores numéricos:
  
  $B=(4\pi\times10^{-7})(2000)(3{.}0)\approx7{.}540\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Respuesta

7,54 mT, con independencia del radio del solenoide y en cualquier punto del interior que esté alejado de los extremos.

$B=\mu_0nI\approx7{.}54\ \mathrm{mT}$
El extremo de un solenoide finito 3 pasos
El solenoide del problema 3 mide 50 cm de longitud y tiene un radio de 2,0 cm. Halla B sobre su eje en el centro y en un extremo abierto.

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1. Sumando la contribución de cada espira mediante la ley de Biot-Savart se obtiene, sobre el eje:
  
  $B=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2\right)$
2. En el centro, cos α₁ = −cos α₂ = (L/2)/√(L²/4 + R²):
  
  $B(0)=\mu_0nI\,\frac{L/2}{\sqrt{L^{2}/4+R^{2}}}=(7{.}540\times10^{-3})\,\frac{0{.}25}{\sqrt{0{.}0625+0{.}0004}}\approx7{.}516\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
3. En el extremo, cos α₁ = L/√(L² + R²) y cos α₂ = 0:
  
  $B(\tfrac{L}{2})=\frac{\mu_0nI}{2}\,\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}=(3{.}770\times10^{-3})\,\frac{0{.}50}{\sqrt{0{.}25+0{.}0004}}\approx3{.}767\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Respuesta

7,516 mT en el centro y 3,767 mT en el extremo: la mitad exacta de μ₀nI con un margen inferior al 0,1%.

$B(0)\approx7{.}516\ \mathrm{mT},\qquad B(\tfrac{L}{2})\approx3{.}767\ \mathrm{mT}$
Un toroide 2 pasos
Un toroide tiene 500 espiras que transportan 2,0 A sobre un núcleo que abarca de 5,0 cm a 10 cm. Halla B en las paredes interior y exterior del núcleo, y fuera de él.

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1. Una circunferencia de radio r en el interior del núcleo encierra las N espiras:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
2. En ambas paredes:
  
  $B(0{.}05)=\frac{(2\times10^{-7})(500)(2{.}0)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T},\qquad B(0{.}10)=2{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Respuesta

4,0 mT a 5,0 cm, 2,0 mT a 10 cm y cero fuera del núcleo.

$B_{a}=4\ \mathrm{mT},\qquad B_{b}=2\ \mathrm{mT}$
Una lámina de corriente 1 pasos
Una lámina plana y extensa transporta 100 A por metro de anchura. Halla B en sus proximidades.

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1. Un rectángulo que atraviesa la lámina con lados de longitud ℓ paralelos a ella encierra una corriente Kℓ. El campo B discurre a lo largo de ambos lados en sentidos contrarios, y los lados transversales no aportan nada:
  
  $2B\ell=\mu_0K\ell\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0K}{2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2}\approx6{.}283\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

62,83 μT a cada lado, paralelo a la lámina y con el mismo valor a cualquier distancia mientras la lámina pueda considerarse infinita.

$B=\frac{\mu_0K}{2}\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Entre las armaduras de un condensador en carga 2 pasos
Dos armaduras circulares de radio 10 cm se cargan con una corriente de 2,0 A. Halla B entre ellas a 5,0 cm del eje.

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1. Entre las placas, E = σ/ε₀ crece al aumentar la carga; a través de un círculo de radio r el flujo es (Q/ε₀)(r²/R²), por lo que la corriente de desplazamiento resulta
  
  $I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Q}{\varepsilon_0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=0{.}5\ \mathrm{A}$
2. Ley de Ampère con el término de Maxwell:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(0{.}5)}{2\pi\,(0{.}05)}=2{.}0\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Respuesta

2,0 μT. Fuera de las armaduras, para r ≥ R, el campo es μ₀I/(2πr), idéntico al que rodea al hilo conductor.

$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}}=2\ \mu\mathrm{T}$
Un hilo con corriente no homogénea 3 pasos
Por un hilo de radio 2,0 cm circulan 5,0 A con una densidad de corriente J = J₀r/R. Halla J₀ y el campo B a 1,0 cm del eje.
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1. La corriente encerrada en el radio r, integrando anillos de área 2πr′ dr′:
  
  $I(r)=\int_{0}^{r}J_0\frac{r'}{R}\,2\pi r'\,dr'=\frac{2\pi J_0r^{3}}{3R}$
2. Haciendo r = R se despeja J₀, y la ley de Ampère proporciona B:
  
  $J_0=\frac{3I}{2\pi R^{2}}=\frac{3\,(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)^{2}}\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=\frac{\mu_0I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0I\,r^{2}}{2\pi R^{3}}$
3. Para r = 1,0 cm:
  
  $B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)^{2}}{2\pi\,(0{.}02)^{3}}=1{.}25\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

J₀ = 5.968 A/m²; B = 12,5 μT, la mitad de los 25 μT que se obtendrían con un reparto uniforme, ya que la mayor parte de la corriente se concentra cerca de la superficie.

$J_0\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=12{.}5\ \mu\mathrm{T}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Por un hilo recto y largo de 1,0 mm de radio circulan 10 A distribuidos uniformemente. Halla B en su superficie.

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2,0 mT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}=2{.}0\ \mathrm{mT}$
Un solenoide de 30 cm de longitud tiene 600 espiras y transporta 2,0 A. Halla B en su interior, lejos de los extremos.

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5,027 mT.

$B=\mu_0\,\frac{N}{L}\,I\approx5{.}027\ \mathrm{mT}$
Un toroide de 1.000 espiras transporta 1,5 A. Halla B sobre la línea media de su núcleo, a un radio de 8,0 cm.

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3,75 mT.

$B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}=3{.}75\ \mathrm{mT}$
Dos láminas de corriente paralelas transportan cada una 50 A por metro de anchura, en sentidos opuestos. Halla B entre ellas y en el exterior.

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62,83 μT entre ambas y cero en el exterior.

$B=2\cdot\frac{\mu_0K}{2}=\mu_0K\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Un cable coaxial transporta 4,0 A por un conductor interno hueco de radio 1,0 mm y regresa por un conductor externo de radio 5,0 mm. Halla B a 0,5 mm, 3,0 mm y 6,0 mm del eje.

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0, 266,7 μT y 0.

$0,\quad\frac{\mu_0I}{2\pi r}\approx266{.}7\ \mu\mathrm{T},\quad0$
Un condensador con placas circulares de 5,0 cm de radio se carga de modo que dE/dt = 1,0 × 10¹² V/(m·s) entre ellas. Halla la corriente de desplazamiento y el campo B en el borde de las placas.

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0,06954 A y 0,2782 μT.

$I_{d}=\varepsilon_0\pi R^{2}\frac{dE}{dt}\approx0{.}06954\ \mathrm{A},\qquad B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi R}\approx0{.}2782\ \mu\mathrm{T}$

En la boca de un solenoide largo el campo vale la mitad que en su interior

Pulsa Boca de un solenoide. 50 cm de longitud, 2.000 espiras por metro y 3 A: en el centro el campo vale 7,516 mT, muy cerca de μ₀nI = 7,54 mT, y en el extremo abierto cae a 3,767 mT. Esa mitad exacta proviene de la simetría. Si acoplas un segundo solenoide idéntico al extremo abierto, la unión queda en el interior de una bobina el doble de larga, donde el campo es casi idéntico a μ₀nI y las dos mitades contribuyen por igual. Retira una y queda justo la mitad: el 49,96% de μ₀nI en este caso, y el 50% exacto en un solenoide ideal. El campo tampoco se debilita poco a poco desde el centro: arrastra P a lo largo del eje y verás que se mantiene a menos del 1% de μ₀nI hasta que P se sitúa a unos cinco radios del borde, unos 10 cm, perdiendo toda la mitad restante en ese último tramo.

El campo de un toroide no es uniforme en su núcleo

Pulsa Un toroide. Una circunferencia de radio r en el interior del núcleo encierra las N espiras completas; por tanto, B = μ₀NI/(2πr). Como r varía a lo ancho del núcleo, el campo cambia: 4 mT en la pared interior a 5 cm y 2 mT en la exterior a 10 cm. Curvar un solenoide para formar un anillo aprieta las espiras en la cara interna. Fuera del núcleo, en cambio, el bucle no encierra ninguna espira o las corta dos veces, una en cada sentido, de modo que la corriente neta se anula y el campo resultante es cero. El toroide confina todo su campo en el interior; por eso tantos transformadores y bobinas de choque se devanan sobre núcleos toroidales.

Un condensador en carga hace fallar la ley de Ampère en su formulación original

Pulsa Condensador en carga. Ninguna carga cruza el espacio entre las armaduras y, sin embargo, a lo largo de un bucle de 5 cm de radio entre ellas existe un campo de 2 μT. Si apoyas un disco plano sobre ese bucle, ninguna corriente lo atraviesa; si apoyas una superficie con forma de bolsa que envuelva una de las placas, la corriente de 2 A del hilo entra de lleno en ella. La ley de Ampère no puede dar dos respuestas distintas para una misma curva. La corrección de Maxwell añade la rapidez con que cambia el flujo eléctrico, ε₀ dΦ_E/dt, bajo el nombre de corriente de desplazamiento: a través del disco plano vale (r/R)² de 2 A, es decir, 0,5 A, lo que explica exactamente esos 2 μT. Este término demuestra que un campo eléctrico variable engendra un campo magnético. Con él, las ecuaciones de Maxwell predijeron ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz; Hertz comenzó a confirmarlas en 1887.

Ruta de aprendizaje

De dónde vienen los campos

Referencias (4)

Ampère's law over an arbitrary closed path, and the thick wire inside (μ₀I₀r/(2πa²)) and outside (Example 12.7): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.5, “Ampère's Law”.
The long solenoid μ₀nI (zero outside), the toroid μ₀NI/(2πr) (zero outside), and the finite solenoid on its axis in the form (μ₀NI/2L)(sin θ₂ − sin θ₁): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.6, “Solenoids and Toroids”.
Insight block 3: the charging capacitor with two surfaces on one loop, the displacement current I_d = ε₀ dΦ_E/dt, and Maxwell's prediction of electromagnetic waves travelling at the speed of light, confirmed by Hertz from 1887: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 16.1, “Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves”.
Insight block 3: the paper in which Maxwell's equations, with the displacement current, give electromagnetic waves: J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), pp. 459-512. DOI 10.1098/rstl.1865.0008

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.