Ley de Gauss y flujo eléctrico

El flujo de E que atraviesa cualquier superficie cerrada equivale a la carga encerrada dividida por ε₀. Es una verdad universal y casi siempre inservible por sí sola: da un único número para toda la superficie. Pero si la distribución de carga guarda simetría, puedes elegir una superficie a la que E corte en ángulo recto y con el mismo módulo en cada punto; basta entonces una línea de álgebra para despejar E. Elige una simetría, ajusta la superficie gaussiana y lee directamente la carga encerrada, el flujo y el campo.

Ley de Gauss: flujo saliente de cualquier superficie cerrada	$\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$
Flujo a través de una superficie plana en un campo uniforme	$\Phi=\vec E\cdot\vec A=EA\cos\theta$

Ejemplo resuelto — Ley de Gauss y flujo eléctrico

Carga encerrada	1,25×10⁻⁹ C
Área de la esfera gaussiana	0,03142 m²
Flujo que sale de la superficie	141,2 N·m²/C
Campo sobre la superficie	4494 N/C

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ley de Gauss y flujo eléctrico

El flujo eléctrico a través de una superficie es Φ = ∫E·dA: la componente del campo normal a la superficie integrada sobre toda su área. La ley de Gauss establece que, para cualquier superficie cerrada, el flujo saliente equivale a la carga encerrada dividida por ε₀: ∮E·dA = Q_enc/ε₀.

Qué significa cada símbolo

dA: un elemento diferencial de superficie expresado como vector: su módulo es el área y apunta hacia el exterior de la superficie cerrada
Q_enc: la carga neta encerrada por la superficie; las cargas exteriores no aportan flujo neto
ε₀: la permitividad del vacío, 8,854 × 10⁻¹² C²/(N·m²)

De dónde viene la fórmula

El flujo es el campo por el área que atraviesa. En una superficie plana A inmersa en un campo uniforme E que forma un ángulo θ con su vector normal, solo la componente E cos θ cruza la superficie.
$\Phi=\int\vec E\cdot d\vec A,\qquad\Phi=EA\cos\theta$
El flujo de una carga puntual no depende de la superficie elegida. En una esfera de cualquier radio en torno a q, vale kq/r² multiplicado por 4πr², lo que da q/ε₀ al simplificar r; cualquier otra superficie cerrada intercepta las mismas líneas de campo, y sumar cargas equivale a sumar flujos.
$\oint\frac{kq}{r^{2}}\,dA=\frac{kq}{r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$
Elige una superficie de la que E pueda salir de la integral. Por simetría, E mantiene un módulo constante y perpendicular a la superficie, o paralelo en las zonas donde no la atraviesa; así, el flujo se reduce al producto de E por el área atravesada.
$\oint\vec E\cdot d\vec A=E\oint dA=EA$
Las tres geometrías canónicas. Una esfera para cargas con simetría esférica; un cilindro de longitud L para un hilo o cilindro indefinido (sus bases planas no aportan flujo); una caja cilíndrica para un plano (donde solo contribuyen las dos bases opuestas).
$4\pi r^{2},\qquad 2\pi rL,\qquad 2A$
Iguala E·A a Q_enc/ε₀ y despeja. Se obtienen de inmediato los tres campos clásicos: la carga puntual, la línea infinita y el plano infinito.
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}},\qquad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r},\qquad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Supone: Cargas en reposo electrostático. La ley se cumple para cualquier superficie cerrada y cualquier distribución; lo que exige simetría es poder despejar E con facilidad. El cilindro y el plano se suponen infinitos; una varilla o placa real solo se aproxima a este comportamiento lejos de sus extremos y bordes.

Problemas resueltos al detalle

Flujo a través de una superficie plana 2 pasos
Un campo uniforme de 2,0 × 10⁴ N/C atraviesa un cuadrado de 20 cm de lado formando un ángulo de 60° con su normal. Halla el flujo a través del cuadrado.
1. Solo la componente de E en la dirección normal atraviesa la superficie:
  
  $\Phi=EA\cos\theta$
2. Con A = (0,20 m)² = 0,040 m²:
  
  $\Phi=(2{.}0\times10^{4})(0{.}040)\cos60^{\circ}=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Respuesta

400 N·m²/C. Si inclinas el cuadrado hasta que el campo lo roce de forma rasante (θ = 90°), el flujo se anula.

$\Phi=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Carga en el centro de un cubo 2 pasos
Una carga de 10 nC se encuentra en el centro de un cubo de 20 cm de arista. Halla el flujo a través de una de sus caras.

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1. El flujo que sale de todo el cubo vale q/ε₀, con independencia de su forma:
  
  $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{8{.}854\times10^{-12}}\approx1129\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Por simetría, las seis caras se lo reparten a partes iguales:
  
  $\Phi_{1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Respuesta

188,2 N·m²/C por cara; la dimensión de la arista no interviene.

$\Phi_{1}=\frac{q}{6\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Carga en el vértice de un cubo 2 pasos
Esa misma carga de 10 nC se coloca en un vértice del cubo. Halla el flujo que atraviesa cada cara y el cubo completo.

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1. Ocho cubos idénticos que convergiesen en ese vértice encerrarían la carga entre todos; por simetría, a cada uno le corresponde una fracción igual:
  
  $\Phi=\frac{1}{8}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Las tres caras que coinciden en el vértice contienen las líneas de campo que emanan de la carga y discurren paralelas a ellas, por lo que no registran flujo; las otras tres se reparten por igual el flujo del cubo:
  
  $\Phi_{1}=0,\qquad\Phi_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{q}{8\varepsilon_0}=\frac{q}{24\varepsilon_0}\approx47{.}06\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Respuesta

141,2 N·m²/C a través del cubo: 47,06 por cada una de las tres caras lejanas y cero en las tres próximas.

$\Phi=\frac{q}{8\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Interior y exterior de una esfera cargada 4 pasos
Una esfera maciza de radio 10 cm contiene 10 nC distribuidos uniformemente en su volumen. Halla E a 5 cm y a 20 cm del centro.

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1. En el interior, una esfera gaussiana de radio r encierra la fracción (r/R)³ de la carga:
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}$
2. Ley de Gauss aplicada a dicha esfera:
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{3}}{\varepsilon_0R^{3}}\ \Rightarrow\ E=\frac{kQr}{R^{3}}$
3. Para r = 0,05 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{3}}\approx4494\ \mathrm{N/C}$
4. En el exterior, la esfera encierra toda la carga Q y el campo equivale al de una carga puntual:
  
  $E=\frac{kQ}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

4.494 N/C a 5 cm y 2.247 N/C a 20 cm. En la superficie el campo vale 8.988 N/C: a mitad de camino hacia el centro se reduce a la mitad, porque en el interior crece proporcional a r, y al doble de distancia fuera se reduce a la cuarta parte.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx4494\ \mathrm{N/C},\qquad E(20\ \mathrm{cm})\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Carga en el interior de una corteza conductora 3 pasos
Una carga de 10 nC se ubica en el centro de una corteza metálica de radio interior 10 cm y radio exterior 15 cm que posee 5 nC de carga neta propia. Halla la carga en cada superficie de la corteza y el valor de E a 5 cm, 12 cm y 20 cm.

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1. En el interior del metal E = 0; por tanto, una esfera gaussiana trazada en el espesor metálico no encierra carga neta. La pared interna debe albergar −q, y el resto de la carga de la corteza pasa a la superficie exterior:
  
  $Q_{a}=-q=-10\ \mathrm{nC},\qquad Q_{b}=q+Q_s=15\ \mathrm{nC}$
2. En el hueco, a 5 cm, solo queda encerrada la carga q:
  
  $E=\frac{kq}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)^{2}}\approx3{.}595\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
3. En el metal, a 12 cm, E = 0. Fuera, a 20 cm, la esfera encierra q + Qs:
  
  $E=\frac{k\,(q+Q_s)}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}5\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx3370\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

−10 nC en la pared interior y 15 nC en la exterior; E = 3,595 × 10⁴ N/C a 5 cm, 0 a 12 cm y 3.370 N/C a 20 cm.

$E=3{.}595\times10^{4},\ 0,\ 3370\ \mathrm{N/C}$
Interior de un cilindro cargado 3 pasos
Un cilindro largo de 10 cm de radio almacena 10 nC por metro distribuidos uniformemente en su volumen. Halla E a 5 cm del eje.

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1. Tomamos un cilindro gaussiano de radio r y longitud L. Solo la superficie lateral curva transmite flujo, y encierra la fracción (r/R)² de la carga de ese tramo:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}$
2. Despejamos E:
  
  $E=\frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0R^{2}}=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}$
3. Para r = 0,05 m:
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

898,8 N/C, la cuarta parte de los 3.595 N/C que produciría a 5 cm un hilo infinitamente delgado con esa misma densidad λ.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Cable coaxial 2 pasos
Un cable coaxial transporta +10 nC por metro en un hilo conductor de radio 2,0 cm y −10 nC por metro en un conductor exterior fino de radio 10 cm. Halla E a 5,0 cm y a 15 cm del eje.

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1. Entre los dos conductores, el cilindro gaussiano encierra únicamente la carga del hilo central:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{2k\lambda}{r}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{0{.}05}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
2. Fuera del cable encierra ambas cargas, que se cancelan exactamente:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{(\lambda-\lambda)L}{\varepsilon_0}=0\ \Rightarrow\ E=0$
Respuesta

3.595 N/C a 5,0 cm y cero a 15 cm. La presencia de cargas iguales y opuestas en ambos conductores confina todo el campo al interior del cable.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx3595\ \mathrm{N/C},\qquad E(15\ \mathrm{cm})=0$
Una lámina y dos placas 2 pasos
Calcula el campo creado por una lámina extensa con 10 nC por metro cuadrado, y el campo entre dos placas extensas separadas 10 cm con densidades de +10 y −10 nC por metro cuadrado.

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1. Una caja cilíndrica que atraviese la lámina tiene dos bases de área A, ambas con E saliente, y encierra una carga σA:
  
  $2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\approx564{.}7\ \mathrm{N/C}$
2. Entre las placas, los campos de ambas láminas apuntan en el mismo sentido, de + a −, y se suman; en el exterior apuntan en sentidos opuestos y se cancelan:
  
  $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

564,7 N/C para la lámina; 1.129 N/C entre las placas y cero fuera. Ninguno de los dos valores depende de la distancia a las placas.

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Esfera con densidad de carga no uniforme 3 pasos
Una esfera de radio R = 10 cm posee una densidad volumétrica de carga ρ = ρ₀r/R, con ρ₀ = 2,0 μC/m³. Halla su carga total y el valor de E a r = 5,0 cm.
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1. Carga encerrada hasta el radio r, integrando cascarones finos de área 4πr′² y espesor dr′:
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=\int_{0}^{r}\rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr'=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{R}$
2. Ley de Gauss sobre una esfera de radio r:
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{\varepsilon_0R}\ \Rightarrow\ E=\frac{\rho_0r^{2}}{4\varepsilon_0R}$
3. Para r = 0,050 m, y la carga total con r = R:
  
  $E=\frac{(2{.}0\times10^{-6})(0{.}050)^{2}}{4\,(8{.}854\times10^{-12})(0{.}10)}\approx1412\ \mathrm{N/C},\qquad Q=\pi\rho_0R^{3}\approx6{.}283\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
Respuesta

Q = 6,283 nC; E = 1.412 N/C a 5,0 cm. En r = R la expresión interior da 5.647 N/C, idéntico a kQ/R², tal como debe ocurrir.

$Q\approx6{.}283\ \mathrm{nC},\qquad E\approx1412\ \mathrm{N/C}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Una carga de 3,0 μC se encuentra dentro de una superficie cerrada cualquiera. Halla el flujo que sale de ella.

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3,388 × 10⁵ N·m²/C.

$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\approx3{.}388\times10^{5}\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Un campo uniforme de 1.000 N/C es paralelo al eje de una semiesfera de radio 10 cm. Halla el flujo a través de su superficie curva.

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31,42 N·m²/C: las mismas líneas de campo atraviesan el círculo plano que la cierra, πR²E.

$\Phi=\pi R^{2}E\approx31{.}42\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Una esfera metálica de radio 5,0 cm almacena 4,0 nC. Halla E a 3,0 cm y a 10 cm de su centro.

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Cero a 3,0 cm (en el interior del metal), 3.595 N/C a 10 cm.

$E(3\ \mathrm{cm})=0,\qquad E(10\ \mathrm{cm})=\frac{kQ}{r^{2}}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
Un cilindro largo de 2,0 cm de radio almacena 5,0 nC por metro distribuidos uniformemente en su volumen. Halla E a 1,0 cm y a 4,0 cm del eje.

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2.247 N/C en ambos puntos: la mitad del radio interior da la mitad del campo superficial, y el doble del radio exterior también lo reduce a la mitad.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}=\frac{2k\lambda}{r'}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Una placa extensa de 4,0 cm de espesor posee una densidad volumétrica uniforme ρ = 1,0 μC/m³. Halla E a 1,0 cm del plano medio y fuera de ella.

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1.129 N/C a 1,0 cm; 2.259 N/C en cualquier punto del exterior.

$E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C},\qquad E=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\approx2259\ \mathrm{N/C}$
Una carga puntual q se sitúa en el centro de una de las caras de un cubo. Halla el flujo a través del cubo.

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q/(2ε₀): un segundo cubo idéntico colocado al otro lado de la cara recibiría la otra mitad.

$\Phi=\frac{q}{2\varepsilon_0}$

Desde fuera, una esfera cargada y una carga puntual son indistinguibles

Pulsa Esfera cargada y arrastra la esfera gaussiana más allá de R = 10 cm. Fuera de la superficie, el campo coincide exactamente con kQ/r², el campo que producirían los 10 nC concentrados en el centro: una esfera exterior de radio r encierra toda la carga Q con independencia de cómo se reparta en su seno, y la simetría distribuye el flujo de modo uniforme sobre 4πr². Pasa a la corteza y verás que en el exterior la curva se repite al milímetro. Toda la diferencia radica en el interior. En la corteza el campo es nulo en cualquier punto interior; en la esfera maciza, en cambio, crece de forma rectilínea, E = kQr/R³, desde cero en el centro hasta su valor máximo, 8.988 N/C, en la superficie. Una esfera gaussiana interior apenas encierra la fracción (r/R)³ de la carga y reparte ese flujo sobre un área que aumenta como r², lo que deja una sola potencia de r.

Si trasladas la carga a un vértice, solo un octavo del flujo cruza el cubo

Pulsa Carga al centro del cubo: a cada cara le corresponden 188,2 N·m²/C, un sexto de q/ε₀ = 1.129 N·m²/C. Desplaza t hacia el vértice. Las tres caras próximas ganan flujo y las tres lejanas lo pierden, mientras el total permanece en 1.129 hasta el último instante: con t = 0,99 las caras próximas registran 328,8 cada una y las lejanas 47,7. Justo en el vértice las caras próximas no reciben nada, pues las líneas de campo son rasantes a ellas, y cada cara lejana se queda con 47,06, una veinticuatroava parte de q/ε₀. Ocho cubos idénticos convergen en ese vértice y se repartirían el flujo a partes iguales. Una vez fuera del cubo el flujo neto es cero: entra por tres caras y sale por las otras tres.

El interior vacío de una corteza cargada es la prueba más rigurosa de la ley de Coulomb

Pulsa Corteza cargada: en el interior el campo se anula a cualquier radio. La ley de Gauss llega a ese resultado en una sola línea, pero lo logra únicamente porque la fuerza de Coulomb decrece con 1/r² de forma exacta. Si el exponente fuese 1/r^(2 + q) con cualquier q distinta de cero, la parte más próxima de la corteza dejaría de compensar con exactitud a la parte lejana y surgiría un campo interno. Medir cero en el interior equivale, por tanto, a acotar q. En 1936, Plimpton y Lawton aplicaron un potencial alterno de más de 3.000 V a una esfera metálica exterior y buscaron, mediante un detector capaz de apreciar unos 10⁻⁶ V, alguna diferencia de potencial con otra esfera interna; no hallaron nada y situaron q por debajo de 2 × 10⁻⁹. El experimento de alta frecuencia de Williams, Faller y Hill en 1971 arrojó q = (2,7 ± 3,1) × 10⁻¹⁶.

Ruta de aprendizaje

De dónde vienen los campos

Referencias (4)

Gauss's law and flux: the flux through a closed surface is the same “regardless of the shape or size of the surface, as long as the surface encloses the same amount of charge”, and a charge outside contributes zero: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.2, “Explaining Gauss's Law”.
The symmetric cases worked as here: a uniformly charged sphere inside and out (Example 6.6, E growing linearly inside), a non-uniformly charged sphere (6.7), a cylindrical shell (6.8), and the infinite plane σ/(2ε₀): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.3, “Applying Gauss's Law”.
Insight block 3: concentric metal globes, an alternating potential above 3,000 V on the outer one, a detector inside sensitive to about 10⁻⁶ V, and the exponent 2 confirmed to within 2 × 10⁻⁹: S. J. Plimpton and W. E. Lawton, “A Very Accurate Test of Coulomb's Law of Force Between Charges”, Physical Review 50(11), 1936, pp. 1066-1071. DOI 10.1103/PhysRev.50.1066
Insight block 3: the 1971 high-frequency test, q = (2.7 ± 3.1) × 10⁻¹⁶ for a force of the form 1/r^(2+q): E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, “New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”, Physical Review Letters 26(12), 1971, pp. 721-724. DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.