Campos de varillas, anillos y discos

Divide un objeto cargado en trozos tan pequeños que actúen como cargas puntuales, suma sus campos vectorialmente y haz tender esos trozos a cero: esa suma es la integral. La simetría se encarga de casi todo. Cada elemento tiene un simétrico cuya componente lateral anula la suya, de modo que en geometrías simétricas basta con integrar una sola componente. Elige una distribución, desplaza P y ajusta cuántas cargas suma la página.

Suma los elementos como vectores	$\vec E=k\int\frac{dq}{r^{2}}\,\hat r,\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$
O súmalos como escalares y deriva después	$V=k\int\frac{dq}{r},\qquad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$

Ejemplo resuelto — Campos de varillas, anillos y discos

Carga por metro	1,592×10⁻⁸ C/m
Campo en P, por integración	3178 N/C
Como 12 cargas puntuales	3178 N/C
Potencial en P	635,5 V
Campo del potencial, −dV/dz	3178 N/C
Toda la carga Q en el centro	8988 N/C

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Campos de varillas, anillos y discos

El campo eléctrico de una distribución continua es la suma vectorial de los campos creados por sus elementos, en el límite en que cada elemento dq es tan pequeño que actúa como una carga puntual: E = k∫dq r̂/r², donde k = 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C². El potencial es esa misma suma prescindiendo de las direcciones, V = k∫dq/r.

Qué significa cada símbolo

dq: la carga de un elemento: λ dx en una línea, σ dA en una superficie
λ, σ: densidad lineal y superficial de carga; Q/L y Q/(πR²) cuando la carga está distribuida de manera uniforme
r, θ: la distancia desde el elemento hasta P, y el ángulo que forma ese segmento con el eje

De dónde viene la fórmula

Divide la carga en elementos diferenciales. Cada elemento contiene dq y actúa en P como una carga puntual: genera un campo k dq/r² a lo largo de la recta que une el elemento con P.
$dq=\lambda\,dx,\qquad dE=\frac{k\,dq}{r^{2}}$
Empareja cada elemento con su simétrico. El elemento simétrico respecto al eje produce un campo del mismo módulo pero con componente lateral opuesta; las partes transversales se anulan y solo resta sumar la componente axial, dE cos θ = dE·z/r.
$dE_z=dE\cos\theta=\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}$
Integra esa componente. En un anillo, cada elemento dista lo mismo de P, √(z² + R²), por lo que el integrando no cambia para ningún dq y la integral se reduce a multiplicar dicho valor por Q.
$E=\int\frac{kz\,dq}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
Construye el disco mediante anillos concéntricos. Un anillo de radio r y anchura dr contiene dq = σ·2πr dr. Suma los campos de estos anillos, calculados en el paso 3, integrando desde r = 0 hasta R.
$E=\int_{0}^{R}\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
O bien integra el potencial y deriva. El potencial V es una suma de magnitudes escalares sin dirección, lo que evita descomponer vectores en componentes; el campo a lo largo del eje equivale a la derivada de V cambiada de signo.
$V=k\int\frac{dq}{r}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$

Supone: Se asume que la carga permanece fija y uniformemente distribuida, salvo que el enunciado defina λ o σ en función de la posición, en cuyo caso dq incorpora esa dependencia a la integral. El medio es el vacío o aire, cuya permitividad apenas difiere un 0,06%.

Problemas resueltos al detalle

Varilla, sobre su propia recta 3 pasos
Una varilla de 10 cm de longitud tiene una carga uniforme de 10 nC. Calcula el campo sobre la recta de la varilla, a 5 cm de uno de sus extremos.

Abre este problema en la herramienta
1. Situemos la varilla sobre el eje x desde x = 0 hasta x = L y el punto P en x = L + d. Un elemento dx en x dista L + d − x de P; como el campo de cada elemento apunta en el mismo sentido, a lo largo de la varilla, nada se anula ni hace falta descomponer:
  
  $dE=\frac{k\lambda\,dx}{(L+d-x)^{2}},\qquad\lambda=\frac{Q}{L}=1{.}0\times10^{-7}\ \mathrm{C/m}$
2. Integramos a lo largo de la varilla:
  
  $E=k\lambda\int_{0}^{L}\frac{dx}{(L+d-x)^{2}}=k\lambda\Bigl(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\Bigr)=\frac{kQ}{d\,(d+L)}$
3. Con d = 0,05 m y L = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)(0{.}15)}=1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

1,198 × 10⁴ N/C, sobre la recta de la varilla y alejándose de ella. Cuando d es mucho mayor que L, la expresión se reduce a kQ/d², el campo de una carga puntual.

$E=\frac{kQ}{d\,(d+L)}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Varilla, en su mediatriz, y la línea infinita 4 pasos
Una varilla de 20 cm contiene 10 nC. Calcula el campo a 10 cm de su punto medio sobre la perpendicular y compáralo con el de una línea infinitamente larga con la misma densidad lineal.

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1. Situemos la varilla sobre el eje x desde −L/2 hasta L/2 y el punto P en (0, y). Los elementos situados en x y −x equidistan de P; sus componentes x se anulan y sus componentes y se suman, de modo que basta integrar la componente y:
  
  $dE_y=\frac{k\lambda\,dx}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
2. Integramos aplicando ∫dx/(x² + y²)^(3/2) = x/(y²√(x² + y²)):
  
  $E=k\lambda y\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}=\frac{k\lambda L}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}=\frac{kQ}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}$
3. Con λ = 5,0 × 10⁻⁸ C/m, y = 0,10 m y L = 0,20 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}10)\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}10^{2}}}\approx6355\ \mathrm{N/C}$
4. Si hacemos crecer L indefinidamente, la raíz tiende a L/2 y queda:
  
  $E\to\frac{2k\lambda}{y}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(5{.}0\times10^{-8})}{0{.}10}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

6.355 N/C, perpendicular a la varilla. La línea infinita genera 8.988 N/C, por lo que la varilla finita aporta el 70,7% de ese valor, equivalente a sen 45°: cada mitad de la varilla se extiende 45° respecto a la perpendicular.

$E\approx6355\ \mathrm{N/C}=0{.}707\cdot\frac{2k\lambda}{y}$
Anillo sobre su eje y posición de su campo máximo 4 pasos
Un anillo de 10 cm de radio almacena 10 nC. Halla el campo sobre su eje a 10 cm del centro y la distancia a la que dicho campo axial es máximo.

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1. Cada elemento se encuentra a la misma distancia √(z² + R²) de P. Las componentes perpendiculares al eje se cancelan alrededor del anillo, y cada elemento suma dE·z/r a lo largo del eje:
  
  $E=\int\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}=\frac{kz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\int dq=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
2. En z = R = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}10)}{(0{.}02)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
3. Para hallar el máximo, resolvemos dE/dz = 0:
  
  $\frac{dE}{dz}=kQ\,\frac{\left(z^{2}+R^{2}\right)-3z^{2}}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}=0\ \Rightarrow\ z=\frac{R}{\sqrt{2}}\approx7{.}07\ \mathrm{cm}$
4. En esa posición:
  
  $E_{\max}=\frac{kQ\,(R/\sqrt{2})}{\left(\tfrac{3}{2}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2kQ}{3\sqrt{3}\,R^{2}}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

3.178 N/C a 10 cm; el valor máximo es de 3.459 N/C, en z = 7,07 cm. En el centro, el campo es nulo.

$E(0{.}10\ \mathrm{m})\approx3178\ \mathrm{N/C},\qquad E\Bigl(\frac{R}{\sqrt{2}}\Bigr)=E_{\max}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Disco sobre su eje, a partir de anillos 3 pasos
Un disco de 10 cm de radio tiene 10 nC distribuidos uniformemente sobre su cara. Halla el campo sobre su eje a 1 cm del centro y compáralo con el de un plano infinito con idéntica densidad superficial.

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1. σ = Q/(πR²) = 3,183 × 10⁻⁷ C/m². Dividimos el disco en anillos concéntricos de radio r y espesor dr; cada uno tiene una carga dq = σ·2πr dr y aporta sobre el eje el campo axial de un anillo:
  
  $dE=\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$
2. Integramos desde r = 0 hasta R, haciendo el cambio u = z² + r², du = 2r dr:
  
  $E=\pi k\sigma z\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du=2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
3. Para z = 0,01 m:
  
  $E=\frac{3{.}183\times10^{-7}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\Bigl(1-\frac{0{.}01}{\sqrt{0{.}01^{2}+0{.}10^{2}}}\Bigr)=(1{.}798\times10^{4})(0{.}9005)\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

1,619 × 10⁴ N/C, lo que supone un 90,0% del campo del plano infinito σ/2ε₀ = 1,798 × 10⁴ N/C.

$E\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\approx0{.}900\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Semicircunferencia, en su centro 3 pasos
Una varilla delgada curvada en semicircunferencia de 10 cm de radio almacena 10 nC. Halla el campo en el centro del círculo.

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1. λ = Q/(πR) = 3,183 × 10⁻⁸ C/m. Tomamos el ángulo φ desde el diámetro. El elemento situado en φ contiene λR dφ a una distancia R, y su simétrico en π − φ anula la componente paralela al diámetro, de modo que solo sobrevive la componente transversal:
  
  $dE_\perp=\frac{k\lambda R\,d\varphi}{R^{2}}\sin\varphi$
2. Integramos a lo largo de la semicircunferencia:
  
  $E=\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{2k\lambda}{R}=\frac{2kQ}{\pi R^{2}}$
3. Numéricamente:
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{\pi\,(0{.}10)^{2}}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

5.722 N/C, a lo largo del eje de simetría y alejándose del centro del arco. Una línea infinita con la misma λ a distancia R produce 2kλ/R, el mismo valor.

$E=\frac{2k\lambda}{R}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Cuarto de circunferencia, por componentes 3 pasos
Un cuarto de circunferencia de 10 cm de radio contiene 10 nC. Halla el campo en su centro integrando ambas componentes.

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1. Situamos el arco desde φ = 0 hasta φ = π/2 con su centro en el origen; λ = Q/(πR/2) = 6,366 × 10⁻⁸ C/m. Un elemento en φ repele a P alejándolo de sí a lo largo de −(cos φ, sen φ), y aquí no hay ningún simétrico que anule componentes:
  
  $dE_x=-\frac{k\lambda}{R}\cos\varphi\,d\varphi,\qquad dE_y=-\frac{k\lambda}{R}\sin\varphi\,d\varphi$
2. Integramos de 0 a π/2:
  
  $E_x=E_y=-\frac{k\lambda}{R}=-\frac{(8{.}988\times10^{9})(6{.}366\times10^{-8})}{0{.}10}\approx-5722\ \mathrm{N/C}$
3. Combinamos ambas componentes:
  
  $|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

8.092 N/C, alejándose del arco a lo largo de su bisectriz a 45°. El razonamiento por simetría da lo mismo: E = (2kλ/R) sen(θ₀/2) con θ₀ = 90°.

$|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}=\frac{2k\lambda}{R}\sin45^{\circ}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Potencial de un anillo y obtención del campo 2 pasos
Calcula el potencial sobre el eje del anillo del problema 3 en z = 10 cm y determina el campo a partir de dicho potencial.

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1. Los potenciales se suman como escalares y cada elemento se encuentra a la misma distancia:
  
  $V=\int\frac{k\,dq}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{89{.}88}{\sqrt{0{.}02}}\approx635{.}5\ \mathrm{V}$
2. Derivamos respecto a la posición sobre el eje:
  
  $E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

V = 635,5 V, y −dV/dz devuelve los 3.178 N/C del problema 3 sin necesidad de descomponer vectores.

$V\approx635{.}5\ \mathrm{V},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Varilla con carga no homogénea 4 pasos
Una varilla reposa sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 0,50 m con una densidad λ = αx, donde α = 4,0 × 10⁻⁸ C/m². Determina su carga total y el campo en x = −0,10 m.
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1. Como λ varía a lo largo de la varilla, la carga total es también una integral:
  
  $Q=\int_{0}^{L}\alpha x\,dx=\frac{\alpha L^{2}}{2}=\frac{(4{.}0\times10^{-8})(0{.}50)^{2}}{2}=5{.}0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
2. El elemento en x dista x + d de P, con d = 0,10 m, y todos los elementos empujan a P en el mismo sentido, hacia −x:
  
  $E=k\alpha\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}$
3. Escribimos x como (x + d) − d e integramos cada término:
  
  $\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}=\ln\frac{L+d}{d}-\frac{L}{L+d}=\ln6-\frac{5}{6}\approx0{.}9584$
4. En números:
  
  $E=(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-8})(0{.}9584)\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$
Respuesta

Q = 5,0 nC y E = 344,6 N/C en el sentido −x. Esos mismos 5,0 nC repartidos de forma homogénea darían kQ/(d(d + L)) = 749 N/C; esta varilla concentra la mayor parte de su carga en el extremo lejano.

$Q=5{.}0\ \mathrm{nC},\qquad E\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Una varilla de 30 cm de longitud tiene una carga uniforme de −6,0 nC. Calcula el campo sobre su recta, a 10 cm de uno de sus extremos.

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1.348 N/C, apuntando hacia la varilla.

$E=\frac{k|Q|}{d\,(d+L)}\approx1348\ \mathrm{N/C}$
Un hilo recto muy largo tiene una densidad de 2,0 μC por metro. Halla el campo a 4,0 cm de él.

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8,988 × 10⁵ N/C, alejándose del hilo.

$E=\frac{2k\lambda}{r}\approx8{.}988\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$
Demuestra que el campo axial de un anillo tiende a kQ/z² cuando z es mucho mayor que R, y halla a qué distancia coincide con ese valor con un margen del 1%.

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El cociente vale (1 + R²/z²)^(−3/2), que tiende a 1; alcanza 0,99 en z = 12,2R.

$\frac{E}{kQ/z^{2}}=\Bigl(1+\frac{R^{2}}{z^{2}}\Bigr)^{-3/2}\ge0{.}99\ \Leftrightarrow\ z\ge12{.}2R$
Un disco de 5,0 cm de radio tiene σ = 2,0 μC/m². Halla el potencial en su centro y a 5,0 cm sobre el eje.

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5.647 V en el centro y 2.339 V en z = 5,0 cm.

$V(0)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\approx5647\ \mathrm{V},\qquad V(R)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\approx2339\ \mathrm{V}$
Un anillo de radio R contiene +Q distribuida uniformemente en una mitad y −Q en la otra. Determina el campo en su centro.

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4kQ/(πR²), desde la mitad positiva hacia la negativa: cada mitad aporta 2kQ/(πR²) y ambos vectores apuntan en el mismo sentido.

$E=2\cdot\frac{2kQ}{\pi R^{2}}=\frac{4kQ}{\pi R^{2}}$
Una varilla de longitud L contiene una carga Q uniforme. Halla el potencial sobre su mediatriz a una distancia y.

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V = (2kQ/L) ln[(L/2 + √(y² + L²/4))/y].

$V=\frac{2kQ}{L}\ln\frac{L/2+\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}{y}$

Un anillo ejerce su campo máximo en z = R/√2, y se anula en su centro

Pulsa Máximo de un anillo. En el centro, cada elemento del anillo tiene otro diametralmente opuesto que lo anula: el campo allí es exactamente cero. Lejos del anillo sobre el eje, este se comporta como una carga puntual y el campo decae según 1/z². Entremedias no le queda más remedio que crecer y volver a caer. Al anular la derivada dE/dz = 0 de kQz/(z² + R²)^(3/2), se obtiene z² + R² = 3z², de modo que el máximo se alcanza en z = R/√2 ≈ 0,707R, donde E = 2kQ/(3√3 R²). Para una carga de 10 nC en un anillo de 10 cm, esto da 3.459 N/C, apenas un 38,5% de lo que produciría esa misma carga concentrada en un punto a 10 cm. Cerca del anillo, la mayor parte del empuje de cada elemento es lateral, y los empujes laterales se cancelan entre sí.

Cerca de un disco grande cargado, el campo apenas varía con la distancia

Pulsa Un disco de cerca. A 1 cm de un disco de 10 cm de radio, el campo alcanza el 90,0% de σ/2ε₀, el campo de un plano infinito, y a 1 mm roza ya el 99,0%. La fórmula oculta la verdadera razón geométrica. Si escribes 1 − z/√(z² + R²) como 1 − cos α, siendo α el ángulo desde el eje hasta el borde, el campo pasa a ser E = kσΩ, donde Ω = 2π(1 − cos α) es el ángulo sólido que abarca el disco visto desde P. En cualquier superficie plana con carga homogénea, el campo perpendicular depende únicamente de cuánto cielo cubra la carga. Un plano infinito cubre siempre la mitad del firmamento, Ω = 2π; por eso su campo no varía si estás a 1 mm o a 1 km: cada porción queda más lejos y ejerce menos fuerza, pero la superficie que entra en tu campo de visión con un ángulo útil crece con la distancia en la proporción exacta para compensarlo.

Una semicircunferencia y una línea infinita producen el mismo campo

Pulsa Semicírculo en su centro. Una carga de 10 nC en una semicircunferencia de 10 cm de radio genera 5.722 N/C en el centro, y la tabla repite esos mismos 5.722 N/C para una recta infinita con idéntica densidad por metro situada a 10 cm. Ambas coinciden elemento a elemento. Visto desde P, un tramo dx de la recta bajo un ángulo θ respecto a la perpendicular se encuentra a una distancia R/cos θ y abarca un ángulo dθ = cos²θ dx/R; su campo, kλ dx cos²θ/R², se reduce a kλ dθ/R y depende exclusivamente del ángulo. A su vez, el arco que subtiende ese mismo dθ mide R dθ, se halla a distancia R y aporta idéntico kλ dθ/R en la misma dirección. Por consiguiente, una varilla recta y el arco de radio R que abarcan el mismo rango angular producen campos idénticos: si ajustas θ₀ por debajo de 180°, la última fila de la tabla describe esa varilla.

Ruta de aprendizaje

De dónde vienen los campos

Referencias (3)

The method and four of the page's closed forms, each derived there: the line segment above its midpoint and the infinite line as its limit (Examples 5.5, 5.6), the ring on its axis (5.7), the disk on its axis and the infinite plane σ/(2ε₀) (5.8, Eq. 5.15): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 5.5, “Calculating Electric Fields of Charge Distributions”.
The potentials on the axis of a ring and a disk and on the bisector of a finite line (Examples 7.13–7.15), and the ring's field recovered as E_z = −∂V/∂z (Example 7.18): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), sections 7.3, “Calculations of Electric Potential”, and 7.4, “Determining Field from Potential”.
The standard graduate-entry text in which the field of a continuous distribution is written as the integral of k dq r̂/r²: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press (2017). DOI 10.1017/9781108333511

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.