Ley de Biot-Savart

Toda corriente genera un campo magnético, y la ley de Biot-Savart determina cuánto aporta cada pequeño elemento de hilo: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², perpendicular tanto al conductor como a la recta que va al punto. Basta sumar esos elementos para hallar el campo de cualquier hilo. Elige una geometría, fija la corriente y compara la expresión analítica con la suma de N elementos rectilíneos.

El campo de un elemento de corriente	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
Fuerza sobre una corriente y entre dos hilos	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

Ejemplo resuelto — Ley de Biot-Savart

B en P	22,48 μT
Campo con 12 elementos	23,32 μT
B en el centro de la espira	31,42 μT
Campo dipolar lejano a este z	251,3 μT

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ley de Biot-Savart

La ley de Biot-Savart determina el campo magnético que produce un elemento de corriente I dl en un punto situado a una distancia r: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², donde μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. El campo total de un conductor es la suma de las contribuciones de todos sus elementos, lo que se traduce en una integral a lo largo del hilo.

Qué significa cada símbolo

I dl: un tramo elemental de hilo, como vector orientado en el sentido de la corriente
r̂: vector unitario dirigido desde el elemento hacia el punto
φ: ángulo entre dl y r̂; el campo del elemento resulta proporcional a sen φ

De dónde viene la fórmula

Un elemento. El campo de I dl es perpendicular a la vez a dl y a r̂ (regla de la mano derecha) y su módulo vale (μ₀/4π) I dl sen φ/r². Un elemento alineado directamente con P no aporta nada.
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
Un segmento rectilíneo. El campo de cada elemento en P apunta en la misma dirección y sentido. Tomando x = d tan θ, resulta r = d/cos θ y sen φ = cos θ, con lo que la integral se reduce a ∫cos θ dθ. Para un hilo infinito, θ se extiende de −90° a 90°.
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
Una espira en su eje. Todos los elementos se hallan a idéntica distancia √(R² + z²) y son perpendiculares a la recta que los une con P. Al recorrer la espira, las componentes perpendiculares al eje se cancelan y cada elemento aporta la fracción R/√(R² + z²) en la dirección axial.
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
Un arco en su centro. Cada elemento dista un radio R y forma un ángulo recto con el radio vector, por lo que la integral equivale al ángulo del arco multiplicado por μ₀I/(4πR).
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
Fuerza sobre un conductor. El campo magnético actúa sobre un elemento de corriente mediante dF = I dl × B, fruto de sumar la fuerza sobre todas sus cargas móviles. Al situar un hilo largo en el campo del otro, se deduce de inmediato la fuerza por metro.
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

Supone: Corrientes estacionarias en conductores filiformes, en el vacío o en el aire. Se asume que las ramas rectas de conexión apuntan al centro del arco, por lo que no aportan nada; si una rama pasa a cierta distancia de P, habrá que añadir el campo de dicho segmento.

Problemas resueltos al detalle

Un segmento rectilíneo frente a su punto medio 3 pasos
Un hilo rectilíneo de 20 cm transporta 5,0 A. Calcula B en un punto situado a 5,0 cm de su punto medio y compáralo con el de un hilo infinito.

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1. Cada extremo dista 10 cm del pie de la perpendicular:
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. Fórmula del segmento:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Un hilo infinito a la misma distancia:
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

17,89 μT, frente a los 20 μT del hilo infinito: el segmento cubre 126,9° de los 180° que abarcaría un conductor infinito.

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
Un hilo que termina frente al punto 1 pasos
Un hilo rectilíneo largo por el que circulan 5,0 A termina en el pie de la perpendicular trazada desde un punto situado a 5,0 cm. Calcula B en dicho punto.

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1. El hilo abarca desde θ₁ = 0 hasta θ₂ = 90°:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

10 μT, la mitad de los 20 μT del hilo infinito.

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
Una espira, en su eje y en su centro 2 pasos
Una espira de radio 10 cm transporta 5,0 A. Calcula B en su centro y a 5,0 cm sobre su eje.

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1. En el centro, z = 0:
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. A z = 5,0 cm:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

31,42 μT en el centro, 22,48 μT a 5,0 cm.

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
Un cuarto de circunferencia 1 pasos
Un hilo doblado en un cuarto de circunferencia de radio 10 cm transporta 5,0 A; sus extremos rectos apuntan hacia el centro. Calcula B en el centro.

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1. Las ramas rectas apuntan hacia P, con lo que sen φ = 0 en todos sus elementos. En el arco, cada elemento dista R y dl es perpendicular a r̂:
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Respuesta

7,854 μT, una cuarta parte de los 31,42 μT de la espira completa.

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
Una horquilla 3 pasos
Un hilo largo por el que circulan 5,0 A entra, recorre un semicírculo de radio 10 cm y regresa en paralelo. Calcula B en el centro del semicírculo.

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1. El semicírculo equivale a media espira:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Cada hilo recto termina a la altura del centro, a una distancia R de este, por lo que aporta la mitad de un hilo infinito y ambos campos apuntan en el mismo sentido que el del semicírculo:
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Sumamos:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

25,71 μT, con los tres tramos apuntando en el mismo sentido: hacia afuera de la página cuando la corriente recorre el semicírculo en sentido antihorario.

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
Una espira cuadrada, en su centro 2 pasos
Una espira cuadrada de 20 cm de lado transporta 5,0 A. Calcula B en su centro.

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1. Cada lado es un segmento con d = 10 cm y extremos en x = ±10 cm, por lo que sen θ = ±1/√2:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. Los cuatro lados producen campos en el mismo sentido:
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

28,28 μT, algo menos que los 31,42 μT del círculo de radio 10 cm al que rodea el cuadrado.

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
Fuerza entre dos hilos paralelos 2 pasos
Dos hilos paralelos largos separados 5,0 cm transportan 10 A cada uno en el mismo sentido. Calcula la fuerza por metro sobre cualquiera de ellos e indica hacia dónde apunta.

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1. Campo del hilo 1 en la posición del hilo 2:
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. La fuerza sobre una longitud L del hilo 2 vale I₂L × B₁, perpendicular al hilo y dirigida hacia el hilo 1:
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
Respuesta

0,40 mN por metro, atractiva. Invierte una corriente y la fuerza será repulsiva con idéntica magnitud.

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
Un par de Helmholtz 2 pasos
Dos espiras coaxiales de radio 10 cm, separadas 10 cm, transportan 5,0 A cada una en el mismo sentido. Calcula B en el punto medio.

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1. Cada espira dista s/2 = R/2 del punto medio:
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. Simplificamos:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Respuesta

44,96 μT, es decir, 1,431 veces el campo de una sola espira en su propio centro.

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
Una espira vista a gran distancia 3 pasos
Halla el momento magnético de la espira del ejercicio 3 y estima B a 50 cm sobre su eje con la fórmula dipolar. ¿Qué tan buena es la aproximación?

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1. El momento:
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. La fórmula dipolar:
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. El campo exacto:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
Respuesta

m = 0,1571 A·m²; la fórmula dipolar da 0,2513 μT frente a los 0,237 μT exactos, un 6 % mayor a cinco radios.

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
Fuerza sobre un hilo en un campo uniforme 1 pasos
Un hilo rectilíneo de 20 cm transporta 5,0 A formando 30° con un campo uniforme de 0,30 T. Calcula la fuerza sobre él.
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1. F = IL × B, de módulo ILB sen θ:
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
Respuesta

0,15 N, perpendicular tanto al hilo como al campo.

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Por un hilo rectilíneo largo circulan 20 A. Calcula B a 4,0 cm de él.

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100 μT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
Una bobina plana de 50 espiras y 5,0 cm de radio transporta 2,0 A. Calcula B en su centro.

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1,257 mT: cincuenta veces el campo de una sola espira.

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
Calcula B en el centro de una espira cuadrada de lado a por la que circula I.

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2√2 μ₀I/(πa).

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
Dos hilos paralelos largos separados 5,0 cm transportan 10 A en sentidos opuestos. Calcula B a mitad de camino entre ambos.

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160 μT: en ese punto ambos campos apuntan en el mismo sentido.

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
Una espira rectangular de 10 cm por 5,0 cm transporta 3,0 A en un campo uniforme de 0,20 T paralelo a su plano. Calcula el momento de fuerzas que actúa sobre ella.

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3,0 × 10⁻³ N·m, a partir de τ = mB sen 90° con m = IA.

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
Un protón se mueve a 1,0 × 10⁵ m/s en paralelo a un hilo largo por el que circulan 10 A, a 2,0 cm de este y en el sentido de la corriente. Calcula la fuerza sobre él.

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1,602 × 10⁻¹⁸ N, hacia el hilo.

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

Dos corrientes en el mismo sentido se atraen

Pulsa Dos hilos, mismo sentido: con 10 A en cada uno y separados 5 cm, cada metro de hilo es atraído hacia el otro con 0,4 mN. Pulsa ahora Dos hilos, sentido opuesto y verás que se repelen con idéntica fuerza. Con las cargas ocurre justo al revés: las del mismo signo se repelen. La fuerza sobre el hilo 2 equivale a I₂ por el producto vectorial de su vector director con el campo del hilo 1, μ₀I₁/(2πd); cuando las corrientes van en el mismo sentido, ese producto apunta de vuelta hacia el hilo 1. Hasta el 20 de mayo de 2019 esta fuerza definía el amperio: 1 A era la corriente que daba 2 × 10⁻⁷ N por metro entre dos hilos separados 1 m, lo que fijaba μ₀ exactamente en 4π × 10⁻⁷ N/A². Ahora el amperio se define a partir de la carga del electrón y μ₀ ha pasado a ser una cantidad medida: CODATA 2022 indica 1,25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A², que coincide con el valor antiguo dentro de su margen de incertidumbre.

Una espira con corriente es un imán: de lejos se comporta como cualquier otro

Pulsa Espira vista de lejos. A 50 cm sobre el eje de una espira de radio 10 cm el campo vale 0,237 μT, y la fórmula del dipolo μ₀m/(2πz³), con un momento m = IπR², da 0,2513 μT; cuanto más te alejes, más convergen ambos valores. Se trata del campo propio de un dipolo. Un dipolo eléctrico p genera 2kp/z³ sobre su eje, y la espira produce (μ₀/4π)·2m/z³: la misma ley sustituyendo k por μ₀/4π y p por m. De lejos, lo único que subsiste de la espira es su momento magnético, corriente por área; su geometría y los detalles del hilo solo afinan el campo a corta distancia. Por eso una bobina pequeña y la aguja de una brújula pueden sustituirse mutuamente.

Dos espiras separadas un radio crean el campo más uniforme

Pulsa Par de Helmholtz. Con las espiras separadas 10 cm, distancia igual a su radio, el campo en el punto medio vale (8/5√5)μ₀I/R = 44,96 μT, y al desplazarte 1 cm sobre el eje apenas varía un 0,011 %. En una sola espira, ese mismo centímetro altera el campo un 1,5 %. El campo axial de una espira solitaria tiene curvatura hacia abajo cerca de ella y hacia arriba lejos, con un punto de inflexión en z = R/2. Al fijar s = R, el punto medio coincide con ese punto de inflexión en ambas espiras, de modo que la segunda derivada allí vale cero; por simetría, la pendiente y la tercera derivada se anulan mutuamente entre las dos espiras, y el campo solo se aparta de su valor central con términos proporcionales a z⁴. Si ajustas s a 8 cm, la curva del gráfico se abomba en el centro; si la fijas en 12 cm, se hunde.

Ruta de aprendizaje

De dónde vienen los campos

Referencias (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.