Ampère'i seadus

Kui liikuda mööda suletud kontuuri ring peale ja summeerida välja B kontuurisuunalised komponendid, saame tulemuseks kontuuri läbiva voolu, korrutatuna teguriga μ₀. Püsivoolude korral kehtib see eranditult, ent sarnaselt Gaussi seadusele on sellest reaalset kasu vaid siis, kui sümmeetria appi tuleb. Kus B on piki kontuuri ühesuguse väärtusega ja sellega paralleelne, taandub summa korrutisele B korda kontuuri pikkus ning magnetvälja saab kätte üheainsa tehtega. Vali vool, muuda kontuuri mõõtmeid ja jälgi haaratud voolu ning välja.

Ampère'i seadus koos Maxwelli nihkevooluga	$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\Bigl(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)$
Pikk solenoid ja toroid	$B=\mu_0nI,\qquad B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$

Näidisarvutus — Ampère'i seadus

Kontuuri läbiv vool	1,25 A
Kontuuri pikkus	0,06283 m
μ₀ korda vool	1,571×10⁻⁶ T·m
Väli B kontuuril	25 μT

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ampère'i seadus

Ampère'i seadus: piki mis tahes suletud kontuuri liikudes võrdub välja B kontuurisuunaliste komponentide summa teguriga μ₀ korrutatud kontuuri läbiva vooluga: ∮B·dl = μ₀I_enc. Maxwelli parandusega hõlmab see vool ka nihkevoolu ε₀ dΦ_E/dt.

Mida iga sümbol tähendab

I_enc: kontuuri poolt piiratud mis tahes pinda läbiv koguvool parema käe reegli järgi
n: solenoidi keerdude arv meetri kohta
K: voolukihi vool laiuse meetri kohta

Kust valem tuleb

Vali kontuur, kus sümmeetria määrab välja B. Sirge juhtme ümber on B igal pool mööda ringjoont ühesuguse väärtusega ja suunatud piki seda, mistõttu summa on B·2πr.
$\oint\vec B\cdot d\vec l=B\cdot2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{enc}}$
Arvuta kontuuri läbiv vool. Ühtlase voolujaotusega juhtme sees haarab kontuur murdosa r²/R². Juhtmest väljaspool aga kogu voolu.
$I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}},\qquad r\ge R:\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
Pikk solenoid. Vali ristkülik, mille üks külg on sees ja teine väljas. Väljaspool on B tühine ning lühikesed küljed ristuvad väljaga, mistõttu loeb vaid sisekülg, mis haarab nℓ keerdu.
$B\ell=\mu_0n\ell I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
Toroid. Südamiku sees olev ringjoon haarab kõiki N keerdu täpselt ühe korra, seega B·2πr = μ₀NI ja väli B kahaneb seaduspärasusega 1/r.
$B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
Kui vool ei ole püsiv. Laaduva kondensaatori plaatide vahel voolu ei teki, kuid elektrivoog muutub ning selle asemele astub nihkevool ε₀ dΦ_E/dt.
$I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\qquad\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+I_{d}\right)$

Eeldab: Püsivoolud punktides 1 kuni 4 ning pikad sümmeetrilised paigutused: tegeliku solenoidi väli on μ₀nI üksnes sügaval sees, eemal otstest, ning väljaspool on see nulli asemel lihtsalt väike. Õhk või vaakum; rauasüdamik mähise sees võimendab välja B kordades.

Ülesanded täielikult lahendatud

Jämeda juhtme sees ja väljas 3 sammu
Juhe raadiusega 2,0 cm juhib ristlõikes ühtlaselt jaotunud voolu 5,0 A. Leia B kaugustel 1,0 cm ja 4,0 cm juhtme teljest.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Juhtme sees haarab kontuur voolust murdosa r²/R²:
  
  $I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=(5{.}0)\,\frac{(0{.}01)^{2}}{(0{.}02)^{2}}=1{.}25\ \mathrm{A}$
2. Ampère'i seadus piki ringjoont:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1{.}25)}{2\pi\,(0{.}01)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Väljaspool on haaratud kogu vool I:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}04)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

25 μT mõlemal raadiusel. Juhtme sees kasvab B võrdeliselt raadiusega r kuni väärtuseni 50 μT pinnal, väljaspool kahaneb see suhtena 1/r.

$B(1\ \mathrm{cm})=B(4\ \mathrm{cm})=25\ \mu\mathrm{T}$
Koaksiaalkaabel 2 sammu
Koaksiaalkaablis kulgeb vool 5,0 A mööda 0,50 cm raadiusega sisejuhet ja tagasi mööda 3,0 cm raadiusega õhukest välisjuhti. Leia B kaugustel 2,0 cm ja 4,0 cm teljest.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Juhtide vahel haarab kontuur sisejuhtme voolu:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0I\ \Rightarrow\ B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)}=5{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Väljaspool kaablit haarab see mõlemad voolud, mis teineteist taandavad:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0\,(I-I)=0$
Vastus

50 μT kaugusel 2,0 cm ja null kaugusel 4,0 cm.

$B(2\ \mathrm{cm})=50\ \mu\mathrm{T},\qquad B(4\ \mathrm{cm})=0$
Pikk solenoid 2 sammu
Pikal solenoidil on 2 000 keerdu meetri kohta ja seda läbib vool 3,0 A. Leia B selle sees.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ristkülik, mille sisekülje pikkus on ℓ, haarab nℓ keerdu vooluga I; panuse annab üksnes sisekülg:
  
  $B\ell=\mu_0\,(n\ell)\,I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
2. Arvuliselt:
  
  $B=(4\pi\times10^{-7})(2000)(3{.}0)\approx7{.}540\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Vastus

7,54 mT, sõltumata solenoidi raadiusest ja asukohast selle sees, eemal otstest.

$B=\mu_0nI\approx7{.}54\ \mathrm{mT}$
Lõpliku pikkusega solenoidi ots 3 sammu
Ülesandes 3 vaadeldud solenoid on 50 cm pikk ja raadiusega 2,0 cm. Leia B selle teljel: keskkohas ja lahtises otsas.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Keerdude väljade liitmine (Biot'–Savart'i seadus) annab teljel avaldise
  
  $B=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2\right)$
2. Keskpunktis on cos α₁ = −cos α₂ = (L/2)/√(L²/4 + R²):
  
  $B(0)=\mu_0nI\,\frac{L/2}{\sqrt{L^{2}/4+R^{2}}}=(7{.}540\times10^{-3})\,\frac{0{.}25}{\sqrt{0{.}0625+0{.}0004}}\approx7{.}516\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
3. Otsas on cos α₁ = L/√(L² + R²) ja cos α₂ = 0:
  
  $B(\tfrac{L}{2})=\frac{\mu_0nI}{2}\,\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}=(3{.}770\times10^{-3})\,\frac{0{.}50}{\sqrt{0{.}25+0{.}0004}}\approx3{.}767\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Vastus

7,516 mT keskel, 3,767 mT otsas: väärtusest μ₀nI täpselt pool kuni 0,1% veaga.

$B(0)\approx7{.}516\ \mathrm{mT},\qquad B(\tfrac{L}{2})\approx3{.}767\ \mathrm{mT}$
Toroid 2 sammu
Toroidil on 500 keerdu, vool 2,0 A ja südamik vahemikus 5,0 cm kuni 10 cm. Leia B südamiku sise- ja välisseinal ning väljaspool seda.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ringjoon raadiusega r südamiku sees haarab kõik N keerdu:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
2. Mõlemal seinal:
  
  $B(0{.}05)=\frac{(2\times10^{-7})(500)(2{.}0)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T},\qquad B(0{.}10)=2{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Vastus

4,0 mT kohal 5,0 cm, 2,0 mT kohal 10 cm ja null väljaspool südamikku.

$B_{a}=4\ \mathrm{mT},\qquad B_{b}=2\ \mathrm{mT}$
Voolukiht 1 sammu
Suures tasapinnalises lehes voolab 100 A laiuse iga meetri kohta. Leia B selle lähedal.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lehte ristuv ristkülik, mille lehega paralleelsete külgede pikkus on ℓ, haarab voolu Kℓ; B kulgeb piki mõlemat külge vastassuundades ning ristuvad küljed panust ei anna:
  
  $2B\ell=\mu_0K\ell\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0K}{2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2}\approx6{.}283\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

62,83 μT lehe mõlemal poolel, paralleelselt lehega ning ühesugune igal kaugusel, kust vaadatuna leht näib lõpmatu.

$B=\frac{\mu_0K}{2}\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Laaduva kondensaatori plaatide vahel 2 sammu
Ümaraid plaate raadiusega 10 cm laetakse vooluga 2,0 A. Leia B plaatide vahel kaugusel 5,0 cm teljest.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Plaatide vahel kasvab E = σ/ε₀ koos laenguga; ketast raadiusega r läbiv voog on (Q/ε₀)(r²/R²), seega on nihkevool
  
  $I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Q}{\varepsilon_0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=0{.}5\ \mathrm{A}$
2. Ampère'i seadus koos Maxwelli liikmega:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(0{.}5)}{2\pi\,(0{.}05)}=2{.}0\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Vastus

2,0 μT. Plaatidest väljaspool, kui r ≥ R, on väli μ₀I/(2πr), täpselt sama mis juhtme ümber.

$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}}=2\ \mu\mathrm{T}$
Ebaühtlase voolujaotusega juhe 3 sammu
Juhe raadiusega 2,0 cm juhib voolu 5,0 A voolutihedusega J = J₀r/R. Leia J₀ ja B teljest 1,0 cm kaugusel.
Näita lahendust
1. Vool raadiuse r sees, liites pindalaga 2πr′ dr′ rõngaid:
  
  $I(r)=\int_{0}^{r}J_0\frac{r'}{R}\,2\pi r'\,dr'=\frac{2\pi J_0r^{3}}{3R}$
2. Tingimus r = R määrab kordaja J₀ ning Ampère'i seadus annab B:
  
  $J_0=\frac{3I}{2\pi R^{2}}=\frac{3\,(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)^{2}}\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=\frac{\mu_0I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0I\,r^{2}}{2\pi R^{3}}$
3. Kohal r = 1,0 cm:
  
  $B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)^{2}}{2\pi\,(0{.}02)^{3}}=1{.}25\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

J₀ = 5 968 A/m²; B = 12,5 μT — poole väiksem kui 25 μT ühtlase jaotuse korral, sest suurem osa voolust koondub pinna lähedale.

$J_0\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=12{.}5\ \mu\mathrm{T}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Pikk sirge juhe raadiusega 1,0 mm juhib ühtlaselt jaotunud voolu 10 A. Leia B juhtme pinnal.

Näita vastust

2,0 mT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}=2{.}0\ \mathrm{mT}$
30 cm pikkusel solenoidil on 600 keerdu ja seda läbib vool 2,0 A. Leia B selle sees, eemal otstest.

Näita vastust

5,027 mT.

$B=\mu_0\,\frac{N}{L}\,I\approx5{.}027\ \mathrm{mT}$
Toroidil on 1 000 keerdu ja vool 1,5 A. Leia B südamiku keskjoonel, raadiusel 8,0 cm.

Näita vastust

3,75 mT.

$B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}=3{.}75\ \mathrm{mT}$
Kaks paralleelset voolukihti juhivad vastassuundades voolu 50 A laiuse meetri kohta. Leia B nende vahel ja neist väljaspool.

Näita vastust

Nende vahel 62,83 μT, väljaspool null.

$B=2\cdot\frac{\mu_0K}{2}=\mu_0K\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Koaksiaalkaablis kulgeb vool 4,0 A mööda õõnsat sisejuhti raadiusega 1,0 mm ja tagasi mööda välisjuhti raadiusega 5,0 mm. Leia B kaugustel 0,5 mm, 3,0 mm ja 6,0 mm teljest.

Näita vastust

0, 266,7 μT ja 0.

$0,\quad\frac{\mu_0I}{2\pi r}\approx266{.}7\ \mu\mathrm{T},\quad0$
Ümarate plaatidega kondensaatorit raadiusega 5,0 cm laetakse nii, et plaatide vahel on dE/dt = 1,0 × 10¹² V/(m·s). Leia nihkevool ja B plaatide serval.

Näita vastust

0,06954 A ja 0,2782 μT.

$I_{d}=\varepsilon_0\pi R^{2}\frac{dE}{dt}\approx0{.}06954\ \mathrm{A},\qquad B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi R}\approx0{.}2782\ \mu\mathrm{T}$

Pika solenoidi suudmes on väli poole nõrgem kui sees

Vajuta nupule Solenoidi suue. Pikkus 50 cm, 2 000 keerdu meetri kohta, vool 3 A: keskel on väli 7,516 mT ehk peaaegu täpselt μ₀nI = 7,54 mT, lahtises otsas aga 3,767 mT. Pool tuleneb sümmeetriast. Asetame lahtise otsa vastu teise, identse solenoidi: liitekoht jääb nüüd kaks korda pikema mähise sügavusse, kus väli on praktiliselt μ₀nI, ning mõlemad pooled annavad sellesse võrdse panuse. Eemaldades ühe poole, jääb alles pool — antud pooli puhul 49,96% väärtusest μ₀nI ja lõpmatu pikkuse piirjuhul täpselt pool. Väli ei kahane keskelt otsa poole sugugi ühtlaselt. Nihuta punkti P piki telge: väli püsib 1% piires väärtusest μ₀nI seni, kuni otsani jääb umbes viis raadiust ehk 10 cm, ning kaotab oma teise poole alles sellel viimasel lõigul.

Toroidi väli ei ole südamikus igal pool ühesugune

Vajuta nupule Toroid. Südamiku sees asuv ringjoon raadiusega r haarab kõik N keerdu, seega B = μ₀NI/(2πr). Kuna r südamiku paksuses muutub, on väli 5 cm siseserval 4 mT ja 10 cm välisserval 2 mT. Solenoidi rõngaks painutamine surub keerud siseküljel tihedamalt kokku. Väljaspool südamikku ei haara kontuur kas ühtegi keerdu või haarab iga keerdu kaks korda, kord edasi- ja kord tagasisuunas, mistõttu väli on null. Toroid hoiab kogu magnetvälja enda sees ja just seepärast mähitakse paljud trafod ning drosselid rõngassüdamikele.

Laaduv kondensaator paljastab Ampère'i algse seaduse puudujäägi

Vajuta nupule Laaduv kondensaator. Plaatide vahelt ei liigu läbi ükski laeng, ometi on 5 cm raadiusega kontuuril väli 2 μT. Pingutame kontuurile tasapinnalise ketta — seda ei läbi mingit voolu. Pingutame sama kontuuri servadele aga kotikujulise pinna, mis ümbritseb ühte plaatidest, ja sellest läheb läbi juhtme vool 2 A. Ampère'i seadus ei saa ometi anda ühe ja sama kontuuri kohta kahte eri vastust. Maxwelli parandus lisab nihkevooluna elektrivoo muutumise kiiruse ε₀ dΦ_E/dt. Läbi tasapinnalise ketta moodustab see (r/R)² voolust 2 A ehk 0,5 A, andeski tulemuseks 2 μT. See liige võimaldab muutuval elektriväljal tekitada magnetvälja. Tänu sellele ennustasid Maxwelli võrrandid valguse kiirusel levivaid laineid, mida Hertz asus katseliselt kinnitama 1887. aastal.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (4)

Ampère's law over an arbitrary closed path, and the thick wire inside (μ₀I₀r/(2πa²)) and outside (Example 12.7): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.5, “Ampère's Law”.
The long solenoid μ₀nI (zero outside), the toroid μ₀NI/(2πr) (zero outside), and the finite solenoid on its axis in the form (μ₀NI/2L)(sin θ₂ − sin θ₁): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.6, “Solenoids and Toroids”.
Insight block 3: the charging capacitor with two surfaces on one loop, the displacement current I_d = ε₀ dΦ_E/dt, and Maxwell's prediction of electromagnetic waves travelling at the speed of light, confirmed by Hertz from 1887: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 16.1, “Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves”.
Insight block 3: the paper in which Maxwell's equations, with the displacement current, give electromagnetic waves: J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), pp. 459-512. DOI 10.1098/rstl.1865.0008

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.