Visualiseur de champ électrique

Place des charges et regarde les lignes de champ électrique et les équipotentielles se former en temps réel.

Loi de Coulomb : les charges de même signe se repoussent, celles de signes opposés s'attirent	$\begin{gathered}F=\frac{k\|q_1q_2\|}{r^{2}}\\ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{.}988\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}\end{gathered}$
Le champ : une force par unité de charge, qui s'additionne vectoriellement	$\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^{2}}\,\hat r_i$
Potentiel et énergie : de simples nombres, qui s'additionnent directement	$\begin{gathered}V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad W=q\,\Delta V\\ U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}\end{gathered}$

Exemple résolu — Visualiseur de champ électrique

Champ créé par q1 en P	0,25
Charge totale	1
Champ résultant en P	0,25
Angle par rapport à l'axe +x	0°
Potentiel en P	0,5

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Visualiseur de champ électrique

Le champ électrique en un point est la force qu'y subirait une petite charge d'essai positive, divisée par cette charge : E = F/q₀. Une charge ponctuelle q engendre un champ d'intensité k|q|/r², dirigé vers l'extérieur si q est positive et vers elle si q est négative ; les champs de plusieurs charges s'additionnent vectoriellement.

Ce que signifie chaque symbole

k: Constante de Coulomb, 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C²
r_i: la distance entre la charge i et le point P
ê_i: la direction du champ créé par la charge i en P, sous la forme d'un vecteur de norme 1 : dirigé de la charge vers P si q_i est positive, de P vers la charge si elle est négative

D’où vient la formule

Loi de Coulomb. Deux charges ponctuelles s'attirent ou se repoussent selon la droite qui les relie, avec une force qui décroît comme le carré de leur distance.
$F=\frac{k|q_1q_2|}{r^{2}}$
Divisez par la charge d'essai. Ce qui reste n'appartient qu'à la source : c'est le champ, et il existe en P qu'une charge s'y trouve ou non pour le ressentir.
$E=\frac{F}{q_0}=\frac{k|q|}{r^{2}},\qquad\vec F=q_0\vec E$
Additionnez les champs composante par composante. Chaque charge fournit sa norme E_i multipliée par sa direction ê_i ; la flèche verte en P représente la somme.
$\begin{gathered}E_x=\sum_i E_i\,\hat e_{i,x},\quad E_y=\sum_i E_i\,\hat e_{i,y}\\ |\vec E|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}}\end{gathered}$
Additionnez les potentiels comme de simples nombres. V conserve le signe de chaque charge et n'a pas de direction : rien ne s'annule par géométrie. Le champ pointe dans la direction où V décroît le plus vite, coupant les lignes équipotentielles en pointillés.
$V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad\vec E=-\nabla V$
Énergie. Déplacer une charge q de A vers B demande un travail q(V_B − V_A), quel que soit le chemin suivi. Assembler toute la configuration depuis l'infini demande un terme pour chaque paire.
$W=q\,(V_B-V_A),\qquad U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}$

Suppose: Charges au repos et suffisamment petites pour être considérées comme ponctuelles. L'image présente une coupe plane passant par les charges, mais celles-ci sont d'authentiques charges ponctuelles en trois dimensions : leur champ décroît en 1/r² et leur potentiel en 1/r.

Problèmes entièrement résolus

Le champ d'une charge et la force qu'elle exerce 3 étapes
Une charge de +4,0 μC est placée à l'origine. Déterminez le champ électrique en P = (2,0 m, 0), ainsi que la force exercée sur une charge de −2,0 μC placée en P.

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1. La norme découle de la loi de Coulomb, après division par la charge d'essai :
  
  $E=\frac{k|q|}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
2. Le champ créé par une charge positive fuit celle-ci, le long de la droite qui relie la charge à P :
  
  $\hat e=+\frac{(2{.}0,\,0)}{2{.}0}=(1,\,0)$
3. La force exercée sur une charge en P est le produit de cette charge par le champ. Une charge négative est poussée dans le sens opposé au champ :
  
  $\vec F=q_0\vec E=(-2{.}0\times10^{-6})(8988)\,\hat x\approx-1{.}798\times10^{-2}\,\hat x\ \mathrm{N}$
Réponse

E = 8 988 N/C selon +x ; F = 1,798 × 10⁻² N selon −x. Le champ en P n'appartient qu'à la seule charge de 4,0 μC : si vous placez une charge différente en P, la force changera, mais le champ restera le même.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad F\approx1{.}798\times10^{-2}\ \mathrm{N}\ (-x)$
Deux charges sur un axe 4 étapes
Une charge de +2,0 μC est placée en x = 0 et une charge de −3,0 μC en x = 4,0 m. Déterminez le champ en x = 1,0 m et en x = −2,0 m.

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1. La norme du champ créé par chaque charge en x = 1,0 m, où les distances valent 1,0 m et 3,0 m :
  
  $E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(1{.}0)^{2}}\approx1{.}798\times10^{4},\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx2996\ \mathrm{N/C}$
2. Entre les charges, les deux champs pointent dans le même sens : ils fuient la charge positive et se dirigent vers la charge négative, donc tous deux selon +x. Ils s'additionnent :
  
  $x=1{.}0:\quad E=E_1+E_2\approx1{.}798\times10^{4}+2996\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x)$
3. En x = −2,0 m, à gauche des deux charges, le champ de la charge positive s'éloigne de celle-ci (selon −x) et celui de la charge négative pointe vers elle (selon +x) :
  
  $x=-2{.}0:\quad E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx4494\ (-x),\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx749{.}0\ (+x)$
4. Ces directions opposées se soustraient, et la plus grande norme l'emporte :
  
  $E\approx4494-749{.}0\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Réponse

2,097 × 10⁴ N/C selon +x en x = 1,0 m ; 3 745 N/C selon −x en x = −2,0 m. Entre deux charges de signes contraires, les champs s'additionnent toujours. Ils ne s'opposent qu'à l'extérieur : c'est donc le seul endroit où le champ peut s'annuler (problème 4).

$E(1{.}0)\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad E(-2{.}0)\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Un point hors de l'axe : addition par composantes 4 étapes
Une charge de +3,0 μC se trouve à l'origine et une charge de −2,0 μC en (0, 3,0 m). Déterminez la norme et la direction du champ en P = (4,0 m, 0).

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1. La charge positive est située à 4,0 m sur l'axe x, et son champ en P s'éloigne d'elle, orienté selon +x :
  
  $r_1=4{.}0,\quad E_1=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(4{.}0)^{2}}\approx1685\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_1=(1,\,0)$
2. La charge négative est située à 5,0 m, sur l'hypoténuse d'un triangle 3–4–5. Son champ pointe depuis P vers la charge : le vecteur unitaire menant de la charge à P est (4, −3)/5, si bien que la direction du champ en est l'opposé :
  
  $r_2=\sqrt{4{.}0^{2}+3{.}0^{2}}=5{.}0,\quad E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_2=-\frac{(4,\,-3)}{5}=(-0{.}8,\,0{.}6)$
3. Additionnez les composantes, jamais les normes :
  
  $E_x=1685-0{.}8\,(719{.}0)\approx1110,\qquad E_y=0{.}6\,(719{.}0)\approx431{.}4\ \mathrm{N/C}$
4. Reconstituez ensuite la norme et l'angle. E_x étant positif, l'arc tangente donne directement l'angle :
  
  $|\vec E|=\sqrt{1110^{2}+431{.}4^{2}}\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{431{.}4}{1110}\approx21{.}24^{\circ}$
Réponse

1 191 N/C à 21,24° au-dessus de l'axe +x. L'addition des deux normes donnerait 2 404 N/C, soit le double de la bonne valeur, car les deux champs forment un angle de 143° entre eux.

$|\vec E|\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta\approx21{.}24^{\circ}$
Où le champ s'annule 4 étapes
Une charge de +4,0 μC est placée en x = 0 et une charge de −1,0 μC en x = 3,0 m. En quel point de l'axe x, hormis à l'infini, le champ est-il nul ?

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1. Deux champs ne s'annulent que s'ils sont de sens opposés. Entre deux charges de signes contraires, ils pointent dans le même sens (problème 2) : le point recherché se trouve donc à l'extérieur, du côté de la plus petite charge, où la proximité compense la plus faible valeur. En cet endroit, leurs normes doivent être égales :
  
  $\frac{k\,(4{.}0)}{x^{2}}=\frac{k\,(1{.}0)}{(x-3{.}0)^{2}}$
2. Simplifiez par k et prenez la racine carrée des deux membres :
  
  $\frac{x^{2}}{(x-3{.}0)^{2}}=4\ \Rightarrow\ \frac{x}{x-3{.}0}=\pm2$
3. Chaque signe fournit une solution candidate. En x = 2,0 m, entre les charges, les normes coïncident mais les deux champs sont dirigés selon +x et s'additionnent : cette racine est à rejeter :
  
  $x=-2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=2{.}0,\qquad x=2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=6{.}0$
4. En x = 6,0 m, les deux champs ont la même norme et des sens opposés :
  
  $x=6{.}0:\quad\frac{k\,(4{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (+x),\qquad\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (-x)$
Réponse

x = 6,0 m, soit 3,0 m au-delà de la charge de −1,0 μC. Égaler les seules normes fait aussi apparaître le point où les grandeurs correspondent sans que les sens ne s'opposent, et seule l'analyse des orientations permet d'éliminer cette fausse racine.

$x=6{.}0\ \mathrm{m}$
La force exercée sur l'une des trois charges 3 étapes
Des charges de +2,0 μC sont placées en (−3,0 m, 0) et (3,0 m, 0), et une troisième charge de +1,0 μC se trouve en (0, 4,0 m). Déterminez la force résultante exercée sur cette troisième charge.

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1. Déterminez le champ créé par les deux autres charges à l'emplacement de la troisième. Toutes deux sont distantes de 5,0 m :
  
  $r=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0,\qquad E_1=E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C}$
2. Par symétrie, les composantes en x s'annulent et celles en y s'additionnent :
  
  $\hat e_1=\frac{(3,\,4)}{5},\quad\hat e_2=\frac{(-3,\,4)}{5}\ \Rightarrow\ E_x=0,\quad E_y=2\,(0{.}8)(719{.}0)\approx1150\ \mathrm{N/C}$
3. La force exercée sur la troisième charge est le produit de sa valeur par ce champ, orienté selon +y et fuyant les deux charges :
  
  $F=q_3E=(1{.}0\times10^{-6})(1150)\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}$
Réponse

1,15 × 10⁻³ N selon +y. La troisième charge n'intervient pas dans le calcul du champ à son propre emplacement : le champ créé par une charge agit sur toutes les autres, jamais sur elle-même.

$\vec F\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}\ (+y)$
Potentiel et travail pour déplacer une charge 3 étapes
Les deux charges de +2,0 μC du problème 5 restent immobiles, et l'on déplace la charge de +1,0 μC de A = (0, 4,0 m) jusqu'à l'origine B. Quel travail l'opérateur doit-il fournir ?

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1. Le potentiel est une simple somme scalaire sans notion de direction. En A, les deux charges sont distantes de 5,0 m :
  
  $V_A=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}\approx7190\ \mathrm{V}$
2. En B, toutes deux sont à 3,0 m :
  
  $V_B=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{V}$
3. Le travail effectué contre le champ est le produit de la charge par l'élévation de potentiel, quel que soit le chemin suivi :
  
  $W=q\,(V_B-V_A)\approx(1{.}0\times10^{-6})(11983-7190)\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
Réponse

4,793 × 10⁻³ J. En B, le champ est nul car les deux forces s'y compensent, mais le travail pour y parvenir ne l'est pas : le travail dépend du potentiel, qui augmente d'un bout à l'autre entre A et B, et non du champ au point d'arrivée.

$W\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
L'énergie d'une configuration 3 étapes
Des charges de +3,0 μC à l'origine, −2,0 μC en (0, 3,0 m) et +1,0 μC en (4,0 m, 0) sont réunies depuis l'infini. Quel travail a-t-il fallu fournir ?

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1. Faites venir les charges une par une. La première ne coûte rien ; chacune des suivantes demande un travail égal à sa propre charge multipliée par le potentiel créé par les précédentes à son point d'arrivée. Au total, chaque paire n'intervient qu'une seule fois :
  
  $U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}=k\Bigl(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\Bigr)$
2. Les trois distances :
  
  $r_{12}=3{.}0,\qquad r_{13}=4{.}0,\qquad r_{23}=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0$
3. Chaque paire conserve ses signes :
  
  $U=(8{.}988\times10^{9})\Bigl(\frac{(3)(-2)}{3}+\frac{(3)(1)}{4}+\frac{(-2)(1)}{5}\Bigr)\times10^{-12}=(8{.}988\times10^{-3})(-1{.}65)\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
Réponse

−1,483 × 10⁻² J. Le résultat est négatif : les deux paires attractives l'emportent sur la paire répulsive. C'est donc le champ qui a fourni le travail, et il faudrait dépenser 1,483 × 10⁻² J pour séparer à nouveau les trois charges.

$U\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
La configuration dipolaire avec deux charges distantes de 4 unités 6 étapes
Deux charges de même valeur et de signes opposés sont distantes de 4 unités. Déterminez le champ et le potentiel au point milieu entre elles, puis étudiez le comportement du champ à grande distance. Il s'agit de la configuration Dipôle : q₁ = +1 en (-2, 0), q₂ = -1 en (+2, 0), la sonde se trouvant à l'origine.

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1. Le principe de superposition constitue l'ensemble de l'électrostatique : chaque charge crée son champ comme si l'autre n'existait pas, et l'on additionne les vecteurs. Le vecteur pertinent pointe de la charge vers la sonde, ce qui permet au signe de q de déterminer si le champ s'éloigne de la charge ou se dirige vers elle.
  
  $\vec E(\vec p)=\sum_i q_i\,\frac{\vec p-\vec x_i}{|\vec p-\vec x_i|^{3}}, \qquad \vec p=(0,0)$
2. La charge positive se trouve 2 unités vers la gauche, ainsi son vecteur vers la sonde pointe de 2 unités vers la droite, et le cube de 2 au dénominateur donne 0,250. Charge positive, champ sortant : cette contribution pointe vers la droite.
  
  $q_1=+1,\ \vec x_1=(-2,0):\quad \vec r_1=(2,\,0),\ r_1=2, \quad \vec E_1=\frac{+1\cdot(2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
3. La charge négative se trouve 2 unités vers la droite, son vecteur pointe donc vers la gauche — et q étant négatif, cela l'inverse à nouveau. Deux inversions, et la contribution pointe également vers la droite. Arrêtons-nous ici : les charges sont de part et d'autre de la sonde et portent des signes opposés, et ces deux oppositions s'annulent au lieu de se cumuler.
  
  $q_2=-1,\ \vec x_2=(2,0):\quad \vec r_2=(-2,\,0),\ r_2=2, \quad \vec E_2=\frac{-1\cdot(-2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
4. Ainsi, les deux contributions s'ajoutent bout à bout plutôt que de s'opposer, et la paire fournit 0,500 là où chaque charge seule fournirait 0,250.
  
  $\vec E=\vec E_1+\vec E_2=(0{.}5,\,0),\qquad |\vec E|=0{.}5$
5. Le potentiel produit l'effet inverse avec ces deux mêmes charges. V est un scalaire, il porte donc le signe de q et rien d'autre, et les deux distances sont égales — les termes sont +0,500 et -0,500 et le point milieu se trouve à V = 0. Champ et potentiel ne sont pas deux mesures d'une même grandeur : ici, l'un double et l'autre s'annule en ce même point.
  
  $V=\sum_i\frac{q_i}{r_i}=\frac{+1}{2}+\frac{-1}{2} =0{.}5-0{.}5=0$
6. Quittons maintenant le point milieu. Plaçons la sonde à la hauteur y sur la médiatrice, où les deux charges sont à la même distance. Les composantes verticales s'annulent par symétrie et les composantes horizontales subsistent, donnant une unique formule pour toute la droite. Posez y = 0 dans cette formule, et elle doit reproduire la valeur déjà obtenue — c'est le cas, ce qui montre que cette formule traduit la même physique et non une nouvelle.
  
  $\vec p=(0,y):\quad E_y=0,\qquad E_x=\frac{2qa}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}},\ a=2;\qquad y=0:\ \frac{4}{8}=0{.}5$
Réponse

L'outil affiche |E| = 0,5 à l'origine, assemblé à partir de deux contributions de 0,25 qui pointent dans le même sens, et V = 0 en ce même point. L'étape 6 est celle à retenir. À grande distance, les deux champs en 1/r² s'annulent presque exactement, et ce qui subsiste est déterminé par la séparation et décroît en 1/y³ — soit une puissance entière de la distance plus vite qu'une charge isolée. Le rapport est 2a/y = 4/y, donc pour y = 20, cette paire rassemble un peu moins d'un cinquième de ce qu'une charge isolée de même grandeur y produirait. La raison est affichée une ligne au-dessus du champ : Q_total = 0. Le terme en 1/r² appartient à la charge totale, et lorsque celle-ci est nulle, la séparation est la seule chose que l'on ressent encore. Une paire neutre n'est pas invisible — elle est à courte portée, et ce sont deux choses différentes.

$y\gg a:\ \ E_x\to\frac{2qa}{y^{3}}=\frac{4}{y^{3}}, \qquad \frac{E_x}{q/y^{2}}=\frac{2a}{y}=\frac{4}{y};\qquad y=20:\ 0.2$
Deux charges positives identiques distantes de 3 unités 5 étapes
Deux charges positives identiques, distantes de 3 unités. Déterminez le champ et le potentiel au point milieu, puis déterminez si une charge test positive libérée en ce point y resterait. Il s'agit de la configuration Deux + : q₁ = +1 en (-1,5, 0), q₂ = +1 en (+1,5, 0), la sonde se trouvant à l'origine.

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1. Même sonde, même superposition, résultat opposé. Les deux charges se trouvent à 1,500 de l'origine et sont toutes deux positives, donc les deux contributions ont la même grandeur et pointent dans des directions exactement opposées. Elles s'annulent, et le champ au point milieu est 0.
  
  $\vec E_1=\frac{(1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(0{.}444,\,0),\quad \vec E_2=\frac{(-1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(-0{.}444,\,0) \ \Longrightarrow\ |\vec E|=0$
2. Le potentiel ne peut pas s'annuler, car un scalaire n'a pas de direction dans laquelle s'annuler. Les deux termes valent +0,667 et V vaut 1,333. Un point où E = 0 mais V ≠ 0 n'est pas un paradoxe : E est la pente de V, et une pente nulle ne vous dit rien sur la hauteur.
  
  $V=\frac{1}{1{.}5}+\frac{1}{1{.}5}=0{.}667+0{.}667=1{.}333$
3. Une pente nulle correspond au sommet d'une colline, à une vallée ou à un col de montagne, et un seul des trois retient une bille. Déplacez légèrement la charge test d'une distance x le long de la droite reliant les charges. La charge la plus proche pousse alors plus fort que la plus éloignée, la différence pointe à nouveau vers l'origine, et la raideur de rappel vaut 4q/a³ = 1,1852.
  
  $E_x(x,0)=\frac{q}{(a+x)^{2}}-\frac{q}{(a-x)^{2}} =\frac{-4qax}{(a^{2}-x^{2})^{2}}\ \approx\ -\frac{4q}{a^{3}}\,x=-1.1852\,x$
4. Déplacez-la plutôt perpendiculairement. Désormais, les deux charges sont derrière elle, toutes deux poussent dans le même sens, et elle continue d'avancer. Mêmes deux charges, même sonde, verdict opposé — et la raideur d'expulsion vaut 2q/a³ = 0,5926, exactement la moitié de la raideur de rappel.
  
  $E_y(0,y)=\frac{2qy}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} \ \approx\ +\frac{2q}{a^{3}}\,y=+0.5926\,y,\qquad E_z\approx+0.5926\,z$
5. Hors du plan, on retrouve le cas perpendiculaire, car deux points n'ont rien qui permette de distinguer une direction d'une autre autour de leur axe. Il y a donc trois raideurs, une négative et deux positives, et leur somme vaut zéro. Pas presque zéro.
Réponse

L'outil affiche |E| = 0 à partir de deux contributions de 0,444 qui se compensent, et V = 1,333 à partir de deux termes de 0,667 qui ne s'annulent pas. Ce point d'annulation est un col, non une cuvette : stable le long de la droite reliant les charges, mais instable perpendiculairement à celle-ci. Cela ne tient en rien au placement choisi pour les charges. Les trois raideurs sont l'opposé des trois dérivées secondes de V, et leur somme donne la divergence de E, qui est nulle partout où il n'y a pas de charge. Dès lors, toute direction qui tend à ramener une charge d'essai se paie inévitablement de directions qui l'écartent. Aucune configuration fixe de charges ne peut maintenir une autre charge en équilibre stable, aussi astucieuse soit la disposition. C'est le théorème d'Earnshaw, et vous venez de l'obtenir à partir de trois nombres dont l'outil a affiché le point de départ. Pour piéger une particule chargée au repos, un champ électrique statique ne suffit donc pas : le piège de Penning y adjoint un champ magnétique, le piège de Paul fait osciller le champ électrique.

$\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{4q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}} =-1.1852+0.5926+0.5926=0$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Déterminez la norme et la direction du champ à 30 cm d'une charge de −4,0 nC.

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399,4 N/C, dirigé vers la charge.

$E=\frac{k|q|}{r^{2}}\approx399{.}4\ \mathrm{N/C}$
Des charges de +4,0 μC en x = 0 et de +1,0 μC en x = 3,0 m. En quel point situé entre elles le champ s'annule-t-il ?

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x = 2,0 m.

$x=2{.}0\ \mathrm{m}$
Deux charges de +1,0 μC sont placées en (−1,0 m, 0) et (1,0 m, 0). Déterminez le champ en (0, 1,0 m).

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6 355 N/C selon +y.

$E=2\cdot\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx6355\ \mathrm{N/C}\ (+y)$
Un carré de 2,0 m de côté porte une charge de +1,0 μC à trois de ses sommets et de −1,0 μC au quatrième. Déterminez le champ et le potentiel en son centre.

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8 988 N/C, dirigé vers le sommet négatif ; 1,271 × 10⁴ V.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C},\qquad V=\frac{2kq}{\sqrt2}\approx1{.}271\times10^{4}\ \mathrm{V}$
Une bille de 2,0 g portant une charge de +3,0 μC est lâchée sans vitesse initiale à 0,20 m d'une charge fixe de +5,0 μC. Quelle est sa vitesse lorsqu'elle se trouve très loin ?

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25,96 m/s : la totalité des 0,6741 J d'énergie est convertie en énergie cinétique.

$\tfrac12mv^{2}=\frac{kq_1q_2}{r}\approx0{.}6741\ \mathrm{J},\qquad v\approx25{.}96\ \mathrm{m/s}$
Quatre charges de +1,0 μC sont placées aux sommets d'un carré de 1,0 m de côté. Quel travail a-t-il fallu fournir pour les disposer ainsi ?

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4,866 × 10⁻² J : quatre côtés et deux diagonales, (4 + √2)kq²/a.

$U=\bigl(4+\sqrt2\bigr)\frac{kq^{2}}{a}\approx4{.}866\times10^{-2}\ \mathrm{J}$

Certains chemins dans ce champ sont entièrement gratuits

Activez les équipotentielles et l'image gagne une seconde famille de courbes. Faire glisser une charge le long de l'un de ces anneaux coûte exactement zéro travail — pas un peu, zéro — quelle que soit la distance parcourue, car tous les points de l'anneau sont au même potentiel. C'est ce qui rend le champ conservatif, et la conséquence est plus tranchante encore : promenez une charge sur n'importe quelle boucle fermée, aussi tortueuse soit-elle, et le travail total revient à zéro. Remarquez aussi que les lignes de champ et les équipotentielles se coupent toujours à angle droit, partout, sur chaque préréglage. Ce n'est pas décoratif. Le champ indique la direction où le potentiel chute le plus vite, et la direction de plus forte pente est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau où l'on se trouve.

Pourquoi on ne peut pas piéger une charge en l'air

Placez deux charges de même signe et un point neutre apparaît entre elles, où le champ est exactement nul. Il ressemble à un point de repos, mais c'est un point col, pas une cuvette : une petite poussée et la charge d'essai s'échappe. Le théorème d'Earnshaw (1842) prouve qu'aucune configuration fixe de charges ne peut maintenir une autre charge en équilibre statique stable. Les mêmes mathématiques interdisent de faire léviter un aimant avec de seuls aimants — il faut toujours rotation, diamagnétisme ou contrôle actif.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.