Particules chargées dans un champ magnétique

Choisissez une particule, la tension qui l'a accélérée et l'intensité du champ qu'elle traverse. La page calcule la trajectoire circulaire, la durée d'un tour en tenant compte de la relativité, ainsi que l'effet de cette même tension et de ce même champ sur cinq autres particules.

La force magnétique : orthogonale à la fois à la vitesse et au champ	$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad F=\|q\|vB\sin\theta$
Dans un champ uniforme : un cercle, et une période indépendante de la vitesse	$\begin{gathered}r=\frac{mv}{\|q\|B}\\ T=\frac{2\pi m}{\|q\|B},\qquad f=\frac{\|q\|B}{2\pi m}\end{gathered}$
Proche de la vitesse de la lumière : la quantité de mouvement vaut γmv	$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{\|q\|B}\\ T=\gamma\,\frac{2\pi m}{\|q\|B}\end{gathered}$

Exemple résolu — Particules chargées dans un champ magnétique

Énergie au repos	938,272 MeV
Énergie cinétique issue de la tension	10,00 keV
Facteur de Lorentz γ	1,000011
Vitesse	1,384×10⁶ m/s
Quantité de mouvement	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Rayon du cercle	9,633 mm
Durée du tour sans relativité	43,73 ns
Durée du tour	43,73 ns

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Particules chargées dans un champ magnétique

Une charge q animée d'une vitesse v dans un champ magnétique B subit la partie magnétique de la force de Lorentz, F = q v × B : orthogonale à la fois à la vitesse et au champ, d'intensité |q|vB lorsque tous deux sont perpendiculaires. Constamment perpendiculaire au mouvement, cette force ne travaille pas ; la vitesse conserve sa valeur et seule son orientation varie, courbant la trajectoire en un cercle. Son rayon s'écrit r = p/(|q|B), soit la quantité de mouvement divisée par le produit de la charge et du champ, et un tour complet s'effectue en T = 2πγm/(|q|B). Bien en deçà de la vitesse de la lumière, γ est égal à 1 à de nombreuses décimales près et la vitesse disparaît complètement de l'expression de la période ; son inverse, |q|B/(2πm), est la fréquence cyclotron.

Ce que signifie chaque symbole

q: la charge de la particule, en coulombs : un nombre entier de charges élémentaires e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Son signe détermine le sens de rotation
B: le champ magnétique, en teslas, identique partout où la particule passe
r: le rayon du cercle. Il est défini par la quantité de mouvement, et non par la vitesse ou l'énergie seules
T_0: la durée du tour sans tenir compte de la relativité, 2πm/(|q|B)
γ: le facteur de Lorentz, 1 + K/(mc²). La véritable durée du tour est γT₀

D’où vient la formule

La force. Orthogonale à la vitesse, elle ne travaille pas : la norme de la vitesse reste constante, seule sa direction change.
$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad\vec F\perp\vec v\ \Rightarrow\ W=0$
Un cercle. Une force d'intensité constante toujours perpendiculaire au mouvement est centripète ; l'égaler à mv²/r donne directement le rayon.
$|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}$
Le tour. La circonférence 2πr divisée par la vitesse v : le facteur v contenu dans r simplifie celui du dénominateur.
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}$
Sous la tension. Partant du repos sous une différence de potentiel ΔV, la charge acquiert l'énergie cinétique |q|ΔV, qui fixe sa vitesse puis son rayon.
$|q|\,\Delta V=\tfrac12mv^{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}$
Aux hautes vitesses. Le rayon est déterminé par la quantité de mouvement, γmv, et la période par γ fois la période classique. Ce sont ces grandeurs que le tableau calcule à toute vitesse.
$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{|q|B}\\ T=\gamma\,T_0\end{gathered}$

Suppose: Un champ uniforme et constant, ainsi qu'une particule qui le traverse de manière strictement perpendiculaire. Toute composante de la vitesse alignée avec le champ n'est pas modifiée, transformant ainsi le cercle en hélice. Un vide parfait, de sorte que rien ne ralentisse la particule. On considère que la particule ne rayonne pas, bien qu'une charge en rotation le fasse de manière inhérente. Pour le préréglage de l'électron, l'énergie rayonnée par tour est inférieure au millionième d'électronvolt. Cependant, à un gigaélectronvolt dans un champ intense, cela devient une véritable perte. C'est pourquoi les synchrotrons à électrons doivent constamment réinjecter de l'énergie. Les ions d'uranium sont des atomes à charge unique, leur masse équivaut à la masse atomique moins un électron.
Ne tient plus quand: La relativité étant intégrée, une particule rapide ne perturbe pas les calculs de la page. C'est l'aimant qui crée la limite. Un champ réel s'affaiblit sur ses bords. Dans un cyclotron, il doit être profilé pour maintenir la focalisation du faisceau tout en restant proche de la résonance, ce qui constitue le sujet de l'article de Rose de 1938. Dans un cyclotron en fonctionnement, le champ électrique de l'interstice ajoute de l'énergie à chaque demi-tour. La trajectoire réelle est donc une spirale de demi-cercles au rayon croissant plutôt qu'un cercle unique. De plus, de nombreux ions dans un même faisceau se repoussent et l'élargissent, un problème suffisamment important pour figurer dans le titre du rapport de William Parkins sur le calutron utilisé pendant la guerre.

Problèmes entièrement résolus

De la tension accélératrice au cercle 3 étapes
Un proton est accéléré depuis le repos sous une tension de 5,0 kV, puis pénètre orthogonalement dans un champ de 0,40 T. Déterminez sa vitesse, le rayon de sa trajectoire circulaire et la durée d'une révolution.

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1. L'énergie gagnée en traversant cette tension est entièrement cinétique :
  
  $\tfrac12mv^{2}=|q|\,\Delta V\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2|q|\,\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{3})}{1{.}673\times10^{-27}}}\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. La force magnétique joue le rôle de force centripète :
  
  $|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{(1{.}673\times10^{-27})(9{.}787\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx25{.}54\ \mathrm{mm}$
3. Un tour correspond à la circonférence divisée par la vitesse, et celle-ci se simplifie :
  
  $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\pi\,(1{.}673\times10^{-27})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Réponse

v = 9,787 × 10⁵ m/s, r = 25,54 mm, T = 164,0 ns. À 5,0 kV, le proton se déplace à un tiers de pour cent de la vitesse de la lumière ; la relativité ne modifie ces valeurs que de quelques millionièmes.

$v\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s},\quad r\approx25{.}54\ \mathrm{mm},\quad T\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
La force subie par un électron et son sens de rotation 3 étapes
Un électron accéléré sous 50 V se déplace selon +x et pénètre dans un champ de 0,50 mT selon +z. Déterminez la force qu'il subit à l'entrée, le rayon de sa trajectoire et son sens de parcours vu depuis les +z.

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1. Sa vitesse, calculée à partir des 50 eV acquis :
  
  $v=\sqrt{\frac{2e\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(50)}{9{.}109\times10^{-31}}}\approx4{.}194\times10^{6}\ \mathrm{m/s}$
2. L'orientation résulte du produit vectoriel. Sachant que x̂ × ẑ = −ŷ et que la charge de l'électron est négative, le sens s'inverse :
  
  $\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(-e)\,vB\,(\hat x\times\hat z)=(-e)\,vB\,(-\hat y)=+evB\,\hat y$
3. La norme de la force, puis le rayon de courbure correspondant :
  
  $F=evB=(1{.}602\times10^{-19})(4{.}194\times10^{6})(5{.}0\times10^{-4})\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N},\qquad r=\frac{m_ev}{eB}\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Réponse

F = 3,359 × 10⁻¹⁶ N selon +y ; r = 47,69 mm ; sens antihoraire vu depuis les +z. Dans le même champ, un proton subirait une force selon −y et tournerait en sens horaire. La règle de la main droite donnant toujours la force pour une charge positive, il suffit d'inverser le résultat pour un électron.

$F\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N}\ (+y),\qquad r\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Trois particules sous la même tension 3 étapes
Un proton, un deuton et une particule alpha sont chacun accélérés sous 10 kV puis injectés dans un même champ de 1,5 T. Calculez le rayon de chaque cercle.

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1. Sous une même tension, chacune gagne |q|ΔV ; la quantité de mouvement vaut donc √(2m|q|ΔV) et le rayon évolue comme la racine carrée de m/q :
  
  $r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{|q|}}$
2. Le proton et le deuton portent chacun une charge élémentaire e, mais le deuton possède une masse double :
  
  $r_p=\frac{1}{1{.}5}\sqrt{\frac{2\,(1{.}673\times10^{-27})(1{.}0\times10^{4})}{1{.}602\times10^{-19}}}\approx9{.}633\ \mathrm{mm},\qquad r_d=\sqrt{\frac{m_d}{m_p}}\;r_p\approx13{.}62\ \mathrm{mm}$
3. La particule alpha possède quatre fois la masse du proton et deux fois sa charge, soit presque le même rapport m/q que le deuton :
  
  $r_\alpha=\sqrt{\frac{m_\alpha/2e}{m_d/e}}\;r_d=\sqrt{\frac{6{.}645\times10^{-27}}{2\,(3{.}344\times10^{-27})}}\;r_d\approx0{.}9968\,r_d\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Réponse

9,633 mm, 13,62 mm et 13,58 mm. Le cercle de la particule alpha est plus réduit de 0,32 % que celui du deuton. Son rapport m/q est inférieur de 0,64 % à celui du deuton, car un noyau d'hélium est plus fortement lié de 23,8 MeV que deux deutons pris séparément : cette énergie de liaison se retranche de sa masse.

$r_p\approx9{.}633,\quad r_d\approx13{.}62,\quad r_\alpha\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Sélecteur de vitesse et spectromètre de masse 3 étapes
Des ions carbone simplement chargés franchissent sans déviation des champs croisés, E = 1,0 × 10⁵ V/m et B = 0,20 T, avant de courber leur trajectoire sur un demi-cercle dans un champ de 0,40 T. À quelle distance l'un de l'autre le carbone 12 et le carbone 13 arrivent-ils ?
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1. Un ion poursuit sa trajectoire en ligne droite uniquement si les forces électrique et magnétique se compensent, ce qui fixe sa vitesse quelle que soit sa masse :
  
  $qE=qvB_1\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{B_1}=\frac{1{.}0\times10^{5}}{0{.}20}=5{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. Dans le second champ, chaque isotope s'engage sur son propre cercle :
  
  $r=\frac{mv}{eB_2}:\qquad r_{12}=\frac{(12{.}000\,\mathrm u)(5{.}0\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx155{.}5\ \mathrm{mm},\qquad r_{13}\approx168{.}5\ \mathrm{mm}$
3. Au terme d'un demi-cercle, chacun atteint la cible à une distance égale à un diamètre du point d'entrée :
  
  $\Delta x=2\,(r_{13}-r_{12})\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Réponse

26,0 mm d'écart. La vitesse étant ici imposée dès le départ, le rayon devient directement proportionnel à la masse et non à sa racine carrée (contrairement au problème 3) : la différence de masse de 8,4 % entraîne ainsi un écart de rayon de 8,4 %.

$\Delta x\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Vitesse inclinée par rapport au champ : l'hélice 4 étapes
Un proton se déplace à 5,0 × 10⁵ m/s en faisant un angle de 60° avec un champ de 0,10 T. Déterminez la force exercée sur lui, le rayon de sa trajectoire et la distance parcourue le long du champ en un tour.
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1. Seule la composante de la vitesse perpendiculaire au champ engendre une force :
  
  $F=|q|vB\sin\theta=(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{5})(0{.}10)\sin60^{\circ}\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N}$
2. Décomposez la vitesse en une composante perpendiculaire au champ et une composante parallèle :
  
  $v_\perp=v\sin60^{\circ}\approx4{.}330\times10^{5},\qquad v_\parallel=v\cos60^{\circ}=2{.}5\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
3. La composante perpendiculaire s'enroule en cercle, au rythme de la période classique :
  
  $r=\frac{mv_\perp}{|q|B}\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}\approx655{.}9\ \mathrm{ns}$
4. La composante parallèle demeure inchangée et fait avancer le proton d'un pas d'hélice à chaque révolution :
  
  $p=v_\parallel T=(2{.}5\times10^{5})(6{.}559\times10^{-7})\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Réponse

F = 6,938 × 10⁻¹⁵ N, r = 45,21 mm, pas de 164,0 mm. Le proton s'enroule autour des lignes de champ le long d'une hélice, décrivant un tour toutes les 655,9 ns quel que soit l'angle.

$F\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N},\quad r\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\quad p\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Quand la relativité s'impose 3 étapes
Un électron d'une énergie cinétique de 1,0 MeV se déplace perpendiculairement à un champ de 0,010 T. Calculez le rayon de sa trajectoire circulaire et la durée d'un tour. Cliquez sur Électron, 1 MV.

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1. L'énergie cinétique vaut presque deux fois l'énergie de masse au repos, si bien que γ s'écarte nettement de 1 :
  
  $\gamma=1+\frac{K}{mc^{2}}=1+\frac{1{.}000}{0{.}5110}\approx2{.}957$
2. La quantité de mouvement se déduit de l'énergie, puis le rayon :
  
  $pc=\sqrt{K^{2}+2Kmc^{2}}=\sqrt{1{.}000^{2}+2\,(1{.}000)(0{.}5110)}\approx1{.}422\ \mathrm{MeV},\qquad r=\frac{p}{eB}\approx474{.}3\ \mathrm{mm}$
3. La durée d'un tour vaut γ fois la période classique :
  
  $T=\gamma\,\frac{2\pi m_e}{eB}\approx2{.}957\times3{.}572\ \mathrm{ns}\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Réponse

r = 474,3 mm, T = 10,56 ns. L'expression classique ½mv² = 1,0 MeV conduirait à une vitesse de 5,931 × 10⁸ m/s, soit près de deux fois la vitesse de la lumière, et à un rayon de 337,2 mm.

$r\approx474{.}3\ \mathrm{mm},\qquad T\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Jusqu'où un cyclotron à fréquence fixe peut-il pousser un proton ? 6 étapes
Un cyclotron possède un aimant de 1,5 T, des électrodes creuses de 0,5 m de rayon, et fournit 100 keV à un proton à chaque tour. Calculez la fréquence radio nécessaire, l'énergie d'un proton atteignant le bord extérieur, et déterminez si une fréquence fixe permet d'y parvenir. Cliquez sur Proton, 10 kV pour vérifier la première étape.

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1. La fréquence correspond à la fréquence cyclotron d'un proton lent, que la page affiche à 10 kV :
  
  $f_0=\dfrac{qB}{2\pi m}=\dfrac{1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5}{2\pi\times1{.}672622\times10^{-27}}=22{.}87\ \mathrm{MHz}\qquad T_0=43{.}73\ \mathrm{ns}$
2. Au bord extérieur, le rayon est de 0,5 m. La quantité de mouvement vaut donc qBR. Exprimée sous la forme pc, c'est une énergie :
  
  $pc=qBRc=1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5\times0{.}5\times2{.}997925\times10^{8}\ \mathrm{J}=224{.}84\ \mathrm{MeV}$
3. L'énergie cinétique est l'énergie totale moins l'énergie au repos. Ignorer la relativité donnerait 26,94 MeV, soit 1,4 % de trop :
  
  $K=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}-mc^2=\sqrt{224{.}84^2+938{.}27^2}-938{.}27=26{.}56\ \mathrm{MeV}\qquad\dfrac{(pc)^2}{2mc^2}=26{.}94\ \mathrm{MeV}$
4. À cette énergie, γ vaut 1,028312. Un tour sur le bord extérieur dure donc 2,83 % de plus qu'un tour au centre :
  
  $\gamma=1+\dfrac{26{.}56}{938{.}27}=1{.}028312\quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{rim}}=1{.}028312\,T_0$
5. À raison de 100 keV par tour, le proton a besoin de 266 tours pour y parvenir. Au tour k, son retard exprimé en fraction de tour vaut γ − 1 = kΔE/mc². Ce retard s'accumule pour atteindre 3,78 cycles complets de la fréquence radio au moment où il atteindrait le bord :
  
  $n=\dfrac{26{.}56}{0{.}1}\approx266\qquad\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k\,\Delta E}{mc^2}=\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{0{.}1}{938{.}27}\times\dfrac{266\times267}{2}=3{.}78$
6. Il n'est propulsé vers l'avant que lorsque le champ dans l'espace interélectrode pointe dans le bon sens, soit la moitié de chaque cycle. Il cesse donc d'accélérer dès que le retard accumulé atteint un demi-cycle, c'est-à-dire une phase de π :
  
  $\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac12\ \Rightarrow\ n(n+1)=\dfrac{938{.}27}{0{.}1}=9383\ \Rightarrow\ n=97,\ K=9{.}7\ \mathrm{MeV}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}=9{.}69\ \mathrm{MeV}$
Réponse

L'aimant peut confiner un proton de 26,56 MeV à sa périphérie ; à fréquence fixe, l'accélération peut le porter jusqu'à environ 9,7 MeV à raison de 100 keV par tour, stade où le proton perd la synchronisation. Quadruplez l'énergie reçue par tour pour passer à 400 keV, et le plafond ne fait que doubler pour atteindre 19,2 MeV, car il dépend de √(mc²·ΔE). Cette approximation suppose généreusement que chaque tour apporte l'intégralité des 100 keV. En 1938, le calcul plus rigoureux de Rose, intégrant un champ profilé, aboutissait à 13,9 MeV pour 50 kV sur les électrodes et retrouvait cette même dépendance en racine carrée. Les accélérateurs conçus pour aller au-delà ont compensé ce facteur γ ignoré par la fréquence fixe selon deux approches : le synchrocyclotron diminue la fréquence au fil de l'accélération du proton, tandis que le cyclotron isochrone augmente l'intensité du champ avec le rayon pour préserver la synchronisation, une méthode dont L. H. Thomas démontra en 1938 qu'elle assurait aussi la focalisation du faisceau.

$K_{\max}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}:\qquad\Delta E=100\ \mathrm{keV}\Rightarrow9{.}7\ \mathrm{MeV},\qquad\Delta E=400\ \mathrm{keV}\Rightarrow19{.}2\ \mathrm{MeV}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Combien de temps met un électron pour boucler un tour dans le champ terrestre de 50 μT, à une vitesse bien inférieure à celle de la lumière ?

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714,5 ns, à n'importe quelle vitesse de cet ordre.

$T=\frac{2\pi m_e}{eB}\approx714{.}5\ \mathrm{ns}$
Un proton et un deuton traversent le même champ à la même vitesse. Quel est le rapport de leurs rayons ?

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1,999 : à vitesse égale, le rayon varie comme m/q, et non comme sa racine carrée.

$\frac{r_d}{r_p}=\frac{m_d}{m_p}\approx1{.}999$
Un proton se déplace à 3,0 × 10⁶ m/s à 30° d'un champ de 0,20 T. Calculez la force exercée sur lui.

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4,807 × 10⁻¹⁴ N.

$F=|q|vB\sin30^{\circ}\approx4{.}807\times10^{-14}\ \mathrm{N}$
Un sélecteur de vitesse fonctionne avec E = 2,4 × 10⁴ V/m et B = 0,060 T. Quelle vitesse permet de le traverser en ligne droite ?

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4,0 × 10⁵ m/s, indépendamment de la charge et de la masse.

$v=\frac{E}{B}=4{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
Un cyclotron muni d'un champ de 1,5 T et d'un rayon de 0,50 m accélère des deutons. À quelle fréquence doit-il fonctionner et avec quelle énergie les particules émergent-elles, sans tenir compte de la relativité ?

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11,44 MHz ; 13,48 MeV.

$f=\frac{eB}{2\pi m_d}\approx11{.}44\ \mathrm{MHz},\qquad K=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_d}\approx13{.}48\ \mathrm{MeV}$
Quel champ magnétique courbe la trajectoire d'électrons de 10 keV en un cercle de 5,0 cm de rayon ?

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6,777 mT ; 6,744 mT si l'on ne tient pas compte de la relativité.

$B=\frac{p}{eR}\approx6{.}777\ \mathrm{mT}$

Deux fois plus vite, un cercle deux fois plus grand, les mêmes 43,73 ns

Appuyez sur Proton, 10 kV, puis sur Proton, 40 kV. Multiplier l’énergie par quatre double la vitesse, ainsi que le rayon du cercle, qui passe de 9,633 à 19,27 mm. Le tour dure 43,73 ns dans les deux cas. La vitesse s’élimine : le rayon vaut mv/(qB), la durée d’un tour 2πr/v, d’où 2πm/(qB), sans aucun v. L’article de 1932 d’Ernest Lawrence et Stanley Livingston sur le cyclotron repose sur cette simplification. Comme un proton plus rapide ne met pas moins de temps à parcourir son demi-cercle, une fréquence radio fixe appliquée dans l’entrefer entre deux électrodes creuses continue de l’accélérer au bon moment tandis que sa trajectoire s’enroule vers l’extérieur. Ils ont ainsi obtenu des protons de 1,22 MeV avec un tube auquel une tension supérieure à 4 000 V n’a jamais été appliquée. Dans le panneau montrant les trois orbites, les points jalonnent chaque trajectoire à chaque quart de la période classique ; à ces énergies, ceux des trois cercles se trouvent sur les quatre mêmes rayons.

Un proton de 20 MeV accuse un retard de 2,132 %, et une fréquence fixe ne peut pas suivre

La durée exacte d'un tour s'écrit 2πγm/(|q|B), et le facteur γ croît avec l'énergie. Pour Proton, 20 MV, γ vaut 1,021316 : chaque révolution dure 44,66 ns au lieu de 43,73, tandis que l'onde radiofréquence accélératrice reste accordée sur le proton lent. À chaque passage, la particule franchit l'intervalle entre les dées avec un léger retard ; ce décalage s'accumule jusqu'à ce qu'elle arrive face à un champ dirigé en sens inverse. Chez l'électron, la plage exploitable est minuscule. Réglez-le sur 20 kV et son tour s'allonge déjà de 3,914 % ; avec Électron, 1 MV, γ atteint 2,956951, soit une période près de trois fois supérieure à sa valeur classique. Le second panneau trace T ÷ T₀ pour quatre particules : chaque courbe s'infléchit vers le haut dès que l'énergie cinétique représente quelques pour cent de l'énergie de masse, c'est-à-dire quelques dizaines de keV pour l'électron et quelques dizaines de MeV pour le proton. M. E. Rose a montré en 1938 qu'avec 50 kV sur les électrodes et un champ soigneusement façonné, un cyclotron à fréquence fixe pouvait accélérer des protons jusqu'à 13,9 MeV, voire 14,9 avec un profil plus complexe. Le dernier exercice résolu ci-dessous propose une estimation plus approchée de ce plafond et met en lumière pourquoi il ne progresse qu'en fonction de la racine carrée de la tension.

L'uranium 238 est 1,28 % plus lourd et son cercle à peine 0,638 % plus large

Chaque particule soumise à la même tension acquiert la même énergie par unité de charge. La quantité de mouvement d'une particule lente étant √(2mK), pour une charge identique, le rayon évolue proportionnellement à la racine carrée de la masse. L'Uranium 235, 35 kV orbite à 1,2145 m. Dans le tableau adjacent, l'uranium 238, pesant 238,0502 u contre 235,0434, orbite à 1,2223 m. Pour 1,28 % de masse supplémentaire, le rayon est multiplié par 1,00638. Dans un instrument qui dévie le faisceau sur un demi-cercle jusqu'à un collecteur, les deux isotopes atterrissent avec un écart de 15,5 mm, soit deux fois la différence des rayons. C'est l'intégralité de la séparation qu'un aimant peut leur fournir avec ces réglages. C'est d'ailleurs cette méthode que les calutrons utilisaient pendant la guerre pour isoler l'uranium 235.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

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