La loi de Biot–Savart

Un courant crée un champ magnétique. La loi de Biot–Savart donne la contribution de chaque petit élément de fil : dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r². Ce champ est perpendiculaire au fil et à la droite qui relie l’élément au point d’observation. En additionnant ces contributions, vous obtenez le champ du fil entier, quelle que soit sa forme. Choisissez une configuration, réglez l’intensité du courant et comparez l’expression analytique à la somme des contributions de N éléments rectilignes.

Le champ d’un élément de courant	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
La force sur un courant et entre deux fils	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

Exemple résolu — La loi de Biot–Savart

B en P	22,48 μT
Même champ, avec 12 éléments de courant	23,32 μT
B au centre de la spire	31,42 μT
Champ dipolaire à cette distance z	251,3 μT

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La loi de Biot–Savart

La loi de Biot–Savart donne le champ magnétique créé par un élément de courant I dl en un point situé à une distance r : dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², avec μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Le champ du fil entier est la somme des contributions de ses éléments, calculée par une intégrale le long du fil.

Ce que signifie chaque symbole

I dl: l’élément de courant : l’intensité I multipliée par le vecteur dl, tangent au fil et orienté dans le sens du courant
r̂: le vecteur unitaire dirigé de l’élément vers le point d’observation
φ: l’angle entre dl et r̂ ; le champ de l’élément est proportionnel à sin φ

D’où vient la formule

Un élément de courant. Le champ de I dl est perpendiculaire à dl et à r̂ ; son sens est donné par la règle de la main droite. Sa norme vaut (μ₀/4π) I dl sin φ/r². Un élément dirigé vers P ne contribue pas au champ en ce point.
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
Un segment rectiligne. En P, les champs de tous les éléments sont de même direction et de même sens. Posez x = d tan θ : vous obtenez r = d/cos θ et sin φ = cos θ. L’intégrale se ramène alors à ∫cos θ dθ. Pour un fil infini, θ varie de −90° à 90°.
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
Une spire, sur son axe. Chaque élément se trouve à la même distance √(R² + z²) de P et est perpendiculaire à la droite qui le relie à P. Les composantes perpendiculaires à l’axe se compensent sur le tour de la spire. La composante axiale de chaque contribution représente la fraction R/√(R² + z²) de sa norme.
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
Un arc, en son centre. Chaque élément est à une distance R du centre et perpendiculaire au rayon. L’intégrale donne donc l’angle de l’arc multiplié par μ₀I/(4πR).
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
La force sur un fil. Un champ magnétique exerce sur un élément de courant la force dF = I dl × B, somme des forces sur ses charges en mouvement. Placez un long fil dans le champ de l’autre : vous en déduisez la force par mètre.
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

Suppose: Les courants sont stationnaires et les fils minces, dans le vide ou dans l’air. Les fils rectilignes qui raccordent un arc sont supposés dirigés vers le centre : leurs éléments n’y créent aucun champ. Si un fil de raccordement passe à distance de P, vous devez ajouter le champ de ce segment.

Problèmes entièrement résolus

Un segment rectiligne, face à son milieu 3 étapes
Un fil rectiligne de 20 cm est parcouru par un courant de 5,0 A. Calculez B en un point situé à 5,0 cm de son milieu, sur la médiatrice. Comparez le résultat au champ d’un fil infini.

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1. Chaque extrémité se trouve à 10 cm du pied de la perpendiculaire :
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. Appliquez la formule du segment :
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Pour un fil infini à la même distance :
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

17,89 μT, contre 20 μT pour un fil infini. Depuis le point d’observation, le segment est vu sous un angle de 126,9°, contre 180° pour un fil infini.

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
Un fil qui s’arrête au pied de la perpendiculaire 1 étapes
Un long fil rectiligne parcouru par un courant de 5,0 A s’arrête au pied de la perpendiculaire issue d’un point situé à 5,0 cm du fil. Calculez B en ce point.

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1. Le fil s’étend de θ₁ = 0 à θ₂ = 90° :
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

10 μT, soit la moitié des 20 μT du fil infini.

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
Une spire, sur son axe et en son centre 2 étapes
Une spire de rayon 10 cm est parcourue par un courant de 5,0 A. Calculez B en son centre, puis à 5,0 cm du centre sur son axe.

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1. Au centre, z = 0 :
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. À z = 5,0 cm :
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

31,42 μT au centre, 22,48 μT à 5,0 cm.

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
Un quart de cercle 1 étapes
Un fil en forme de quart de cercle de rayon 10 cm est parcouru par un courant de 5,0 A. Ses fils de raccordement rectilignes sont dirigés vers le centre. Calculez B au centre.

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1. Les fils de raccordement sont dirigés vers P : sin φ = 0 pour chacun de leurs éléments. Sur l’arc, chaque élément se trouve à une distance R du centre, avec dl perpendiculaire à r̂ :
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Réponse

7,854 μT, soit le quart des 31,42 μT de la spire complète.

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
Une épingle à cheveux 3 étapes
Un long fil parcouru par un courant de 5,0 A forme un demi-cercle de rayon 10 cm, puis repart parallèlement à sa direction d’arrivée. Calculez B au centre du demi-cercle.

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1. Le demi-cercle est une demi-spire :
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Chaque portion rectiligne s’arrête au pied de la perpendiculaire issue du centre, à une distance R. Chacune produit donc la moitié du champ d’un fil infini. Ces deux champs sont de même sens que celui du demi-cercle :
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Additionnez les contributions :
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

25,71 μT. Les champs des trois portions sont de même sens : ils sortent du plan lorsque le courant parcourt le demi-cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
Une spire carrée, en son centre 2 étapes
Une spire carrée de côté 20 cm est parcourue par un courant de 5,0 A. Calculez B en son centre.

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1. Chaque côté est un segment situé à d = 10 cm du centre, dont les extrémités sont en x = ±10 cm. Ainsi, sin θ = ±1/√2 :
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. Les champs des quatre côtés sont de même direction et de même sens :
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

28,28 μT, un peu moins que les 31,42 μT du cercle de rayon 10 cm inscrit dans le carré.

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
La force entre deux fils parallèles 2 étapes
Deux longs fils parallèles distants de 5,0 cm sont parcourus chacun par un courant de 10 A de même sens. Calculez la force sur un mètre de l’un des fils et précisez son sens.

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1. Le champ du fil 1 au niveau du fil 2 vaut :
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. La force sur une longueur L du fil 2 est I₂L × B₁, perpendiculaire au fil et dirigée vers le fil 1 :
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
Réponse

Une force attractive de 0,40 mN par mètre. Inversez l’un des courants : la force devient répulsive, avec la même norme.

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
Des bobines de Helmholtz 2 étapes
Deux spires coaxiales de rayon 10 cm, distantes de 10 cm, sont parcourues chacune par un courant de 5,0 A de même sens. Calculez B au milieu.

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1. Chaque spire se trouve à s/2 = R/2 du milieu :
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. Simplifiez :
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

44,96 μT, soit 1,431 fois le champ d’une spire seule en son centre.

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
Une spire vue de loin 3 étapes
Calculez le moment magnétique de la spire de l’exercice 3, puis estimez B à 50 cm du centre sur son axe avec la formule dipolaire. Évaluez la précision de cette estimation.

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1. Le moment magnétique vaut :
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. La formule dipolaire donne :
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. Le champ exact vaut :
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
Réponse

m = 0,1571 A·m² ; la formule dipolaire donne 0,2513 μT, contre une valeur exacte de 0,237 μT. À une distance de 5 rayons, elle surestime le champ de 6 %.

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
La force sur un fil dans un champ uniforme 1 étapes
Un fil rectiligne de 20 cm, parcouru par un courant de 5,0 A, fait un angle de 30° avec un champ uniforme de 0,30 T. Calculez la force qu’il subit.
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1. F = IL × B, de norme ILB sin θ :
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
Réponse

0,15 N, perpendiculairement au fil et au champ.

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Un long fil rectiligne est parcouru par un courant de 20 A. Calculez B à 4,0 cm du fil.

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100 μT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
Une bobine plate de 50 spires, de rayon 5,0 cm, est parcourue par un courant de 2,0 A. Calculez B en son centre.

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1,257 mT : 50 fois le champ d’une seule spire.

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
Calculez B au centre d’une spire carrée de côté a parcourue par un courant I.

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2√2 μ₀I/(πa).

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
Deux longs fils parallèles distants de 5,0 cm sont parcourus par des courants de 10 A de sens opposés. Calculez B à mi-distance entre eux.

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160 μT : les deux champs y sont de même sens.

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
Une spire rectangulaire de 10 cm sur 5,0 cm est parcourue par un courant de 3,0 A dans un champ uniforme de 0,20 T parallèle à son plan. Calculez le moment du couple qu’elle subit.

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3,0 × 10⁻³ N·m, d’après τ = mB sin 90° avec m = IA.

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
Un proton se déplace à 1,0 × 10⁵ m/s parallèlement à un long fil parcouru par un courant de 10 A, à 2,0 cm de celui-ci et dans le sens du courant. Calculez la force qu’il subit.

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1,602 × 10⁻¹⁸ N, vers le fil.

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

Deux courants de même sens s’attirent

Cliquez sur Deux fils, même sens : avec 10 A dans chaque fil et un écartement de 5 cm, chaque mètre de fil est attiré vers l’autre avec une force de 0,4 mN. Cliquez ensuite sur Deux fils, sens opposés : les fils se repoussent avec la même force. Pour les charges électriques, c’est l’inverse : deux charges de même signe se repoussent. La force par unité de longueur sur le fil 2 s’obtient en multipliant I₂ par le produit vectoriel de son vecteur directeur, orienté dans le sens du courant, et du champ du fil 1, μ₀I₁/(2πd). Lorsque les courants sont de même sens, ce produit vectoriel est dirigé vers le fil 1. Jusqu’au 20 mai 2019, cette force définissait l’ampère : 1 A était l’intensité qui produisait une force de 2 × 10⁻⁷ N par mètre entre deux fils distants de 1 m. La valeur de μ₀ était donc exactement 4π × 10⁻⁷ N/A². L’ampère est désormais défini à partir de la charge de l’électron, et μ₀ se mesure : l’ajustement CODATA 2022 donne 1,25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A², une valeur compatible avec l’ancienne compte tenu de son incertitude.

Une spire de courant est un aimant ; de loin, seul son moment compte

Cliquez sur Spire vue de loin. À 50 cm sur l’axe d’une spire de rayon 10 cm, le champ vaut 0,237 μT. La formule μ₀m/(2πz³), avec le moment m = IπR², donne 0,2513 μT ; les deux valeurs se rapprochent à mesure que vous vous éloignez. C’est le champ d’un dipôle. Un dipôle électrique p crée sur son axe un champ 2kp/z³ ; la spire donne (μ₀/4π)·2m/z³. La loi a la même forme, avec μ₀/4π à la place de k et m à la place de p. À grande distance, le champ de la spire ne dépend plus que de son moment, le produit de l’intensité par l’aire. Sa forme et les détails du fil n’interviennent que dans les corrections qui deviennent sensibles à proximité. Une petite bobine et une aiguille aimantée peuvent ainsi jouer le même rôle.

Deux spires espacées d’un rayon donnent le champ le plus uniforme

Cliquez sur Bobines de Helmholtz. Lorsque les spires sont distantes de 10 cm, soit leur rayon, le champ au milieu vaut (8/5√5)μ₀I/R = 44,96 μT. Un déplacement de 1 cm le long de l’axe ne le fait varier que de 0,011 %. Pour une spire seule, la variation sur ce même centimètre atteint 1,5 %. La courbe du champ d’une spire sur son axe est concave près de la spire, puis convexe plus loin ; le changement de courbure se produit en z = R/2. Avec s = R, le milieu se trouve à ce point d’inflexion pour chacune des spires : la dérivée seconde y est donc nulle. Les dérivées première et troisième s’annulent par symétrie entre les deux spires. Le premier écart à la valeur centrale est ainsi proportionnel à z⁴. Réglez s sur 8 cm : la courbe présente une bosse au milieu. À 12 cm, elle se creuse.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.