Théorème de Gauss et flux électrique

Le flux sortant du champ E à travers une surface fermée quelconque est égal à la charge qu’elle renferme, divisée par ε₀. Cette relation est toujours vraie, mais elle ne permet généralement pas de déterminer E : elle ne donne qu’un nombre pour toute la surface. Si la répartition des charges présente une symétrie, on peut toutefois choisir une surface que le champ traverse perpendiculairement, avec la même intensité partout où il la traverse. Une ligne de calcul suffit alors à trouver E. Choisissez une symétrie, réglez les dimensions de la surface de Gauss et relevez la charge qu’elle renferme, le flux et le champ.

Théorème de Gauss : flux sortant à travers une surface fermée quelconque	$\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$
Flux à travers une surface plane dans un champ uniforme	$\Phi=\vec E\cdot\vec A=EA\cos\theta$

Exemple résolu — Théorème de Gauss et flux électrique

Charge intérieure	1,25×10⁻⁹ C
Aire de la sphère de Gauss	0,03142 m²
Flux sortant de la surface	141,2 N·m²/C
Champ sur la surface	4 494 N/C

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Théorème de Gauss et flux électrique

Le flux électrique à travers une surface est Φ = ∫E·dA : on intègre sur toute la surface la composante normale du champ. Le théorème de Gauss énonce que le flux sortant à travers toute surface fermée est égal à la charge intérieure divisée par ε₀ : ∮E·dA = Q_enc/ε₀.

Ce que signifie chaque symbole

dA: le vecteur surface élémentaire : sa norme est l’aire de l’élément, sa direction est normale à la surface et son sens est orienté vers l’extérieur
Q_enc: la charge contenue dans la surface fermée ; les charges extérieures apportent un flux net nul
ε₀: la permittivité du vide, 8,854 × 10⁻¹² C²/(N·m²)

D’où vient la formule

Le flux est le produit de l’aire par la composante normale du champ. Pour une surface plane d’aire A dans un champ uniforme E faisant un angle θ avec sa normale, seule la composante E cos θ contribue au flux.
$\Phi=\int\vec E\cdot d\vec A,\qquad\Phi=EA\cos\theta$
Le flux d’une charge ponctuelle ne dépend pas de la surface choisie. À travers une sphère de rayon quelconque centrée sur q, il vaut kq/r² multiplié par 4πr², soit q/ε₀ après simplification de r². Une surface de toute autre forme est traversée par les mêmes lignes de champ ; les flux de plusieurs charges s’additionnent.
$\oint\frac{kq}{r^{2}}\,dA=\frac{kq}{r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$
Choisissez une surface qui permet de sortir E de l’intégrale. Grâce à la symétrie, le champ a la même intensité partout où il traverse la surface et lui est perpendiculaire ; ailleurs, il lui est tangent. Le flux est donc E multiplié par l’aire traversée.
$\oint\vec E\cdot d\vec A=E\oint dA=EA$
Trois surfaces adaptées aux symétries. Une sphère pour une répartition sphérique ; un cylindre de longueur L pour un fil ou un long cylindre chargé, avec un flux nul par les bases ; un cylindre aplati pour un plan chargé, dont seules les deux bases contribuent au flux.
$4\pi r^{2},\qquad 2\pi rL,\qquad 2A$
Posez E·A = Q_enc/ε₀ et isolez E. Vous obtenez ainsi le champ d’une charge ponctuelle, d’un fil et d’un plan chargé.
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}},\qquad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r},\qquad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Suppose: Les charges sont au repos. Le théorème s’applique à toute surface fermée et à toute répartition des charges ; c’est la détermination de E à partir du flux qui exige une symétrie. Le cylindre est supposé infiniment long et le plan infiniment étendu. Un barreau ou une plaque réels ne suivent ce modèle que loin de leurs extrémités ou de leurs bords.

Problèmes entièrement résolus

Flux à travers une surface plane 2 étapes
Un champ uniforme de 2,0 × 10⁴ N/C traverse un carré de côté 20 cm en faisant un angle de 60° avec sa normale. Calculez le flux à travers le carré.
1. Seule la composante de E suivant la normale contribue au flux :
  
  $\Phi=EA\cos\theta$
2. Avec A = (0,20 m)² = 0,040 m² :
  
  $\Phi=(2{.}0\times10^{4})(0{.}040)\cos60^{\circ}=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Réponse

400 N·m²/C. Inclinez le carré jusqu’à ce que le champ lui soit tangent (θ = 90°) : le flux devient nul.

$\Phi=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Une charge au centre d’un cube 2 étapes
Une charge de 10 nC se trouve au centre d’un cube de côté 20 cm. Calculez le flux à travers une face.

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1. Le flux sortant à travers le cube entier vaut q/ε₀, indépendamment de la forme de la surface :
  
  $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{8{.}854\times10^{-12}}\approx1129\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Par symétrie, les six faces se partagent ce flux à parts égales :
  
  $\Phi_{1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Réponse

188,2 N·m²/C par face ; la longueur du côté du cube n’intervient pas.

$\Phi_{1}=\frac{q}{6\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Une charge à un sommet d’un cube 2 étapes
La même charge de 10 nC se trouve à un sommet du cube. Calculez le flux à travers chaque face et à travers le cube entier.

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1. Huit cubes identiques se rejoignant à ce sommet entoureraient la charge. Par symétrie, chacun recevrait la même part du flux :
  
  $\Phi=\frac{1}{8}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Les lignes de champ sont tangentes aux trois faces qui se rejoignent au sommet chargé : leur flux est nul. Les trois autres faces se partagent également le flux du cube :
  
  $\Phi_{1}=0,\qquad\Phi_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{q}{8\varepsilon_0}=\frac{q}{24\varepsilon_0}\approx47{.}06\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Réponse

141,2 N·m²/C à travers le cube : 47,06 par face éloignée et zéro par face proche.

$\Phi=\frac{q}{8\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
À l’intérieur et à l’extérieur d’une boule chargée 4 étapes
Une boule de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC uniformément répartie dans son volume. Calculez E à 5 cm et à 20 cm de son centre.

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1. À l’intérieur, une sphère de Gauss de rayon r renferme la fraction (r/R)³ de la charge :
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}$
2. Le théorème de Gauss appliqué à cette sphère donne :
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{3}}{\varepsilon_0R^{3}}\ \Rightarrow\ E=\frac{kQr}{R^{3}}$
3. Pour r = 0,05 m :
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{3}}\approx4494\ \mathrm{N/C}$
4. À l’extérieur, la sphère renferme toute la charge Q et le champ est celui d’une charge ponctuelle :
  
  $E=\frac{kQ}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Réponse

4 494 N/C à 5 cm et 2 247 N/C à 20 cm. À la surface, le champ vaut 8 988 N/C. À la moitié du rayon, il vaut la moitié de cette valeur, car il est proportionnel à r dans la boule. À une distance du centre égale au double du rayon, il n’en vaut plus que le quart.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx4494\ \mathrm{N/C},\qquad E(20\ \mathrm{cm})\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Une charge dans une coquille conductrice 3 étapes
Une charge de 10 nC se trouve au centre d’une coquille métallique de rayon intérieur 10 cm et de rayon extérieur 15 cm, qui porte une charge propre de 5 nC. Déterminez la charge sur chaque paroi et calculez E à 5 cm, 12 cm et 20 cm du centre.

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1. Dans le métal, E = 0 : une sphère de Gauss située dans le métal renferme donc une charge totale nulle. La paroi intérieure doit porter −q ; le reste de la charge de la coquille se trouve sur la paroi extérieure :
  
  $Q_{a}=-q=-10\ \mathrm{nC},\qquad Q_{b}=q+Q_s=15\ \mathrm{nC}$
2. Dans la cavité, à 5 cm du centre, la sphère ne renferme que q :
  
  $E=\frac{kq}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)^{2}}\approx3{.}595\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
3. Dans le métal, à 12 cm du centre, E = 0. À l’extérieur, à 20 cm, la sphère renferme q + Qs :
  
  $E=\frac{k\,(q+Q_s)}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}5\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx3370\ \mathrm{N/C}$
Réponse

−10 nC sur la paroi intérieure, 15 nC sur la paroi extérieure ; E = 3,595 × 10⁴ N/C à 5 cm, 0 à 12 cm et 3 370 N/C à 20 cm.

$E=3{.}595\times10^{4},\ 0,\ 3370\ \mathrm{N/C}$
À l’intérieur d’un barreau chargé 3 étapes
Un long cylindre de rayon 10 cm porte une charge de 10 nC par mètre, uniformément répartie dans son volume. Calculez E à 5 cm de son axe.

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1. Choisissez un cylindre de Gauss coaxial de rayon r et de longueur L. Seule sa surface latérale contribue au flux. Il renferme la fraction (r/R)² de la charge portée par la longueur L :
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}$
2. Isolez E :
  
  $E=\frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0R^{2}}=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}$
3. Pour r = 0,05 m :
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Réponse

898,8 N/C, soit un quart des 3 595 N/C que produirait, à 5 cm, un fil infiniment mince de même charge linéique λ.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Un câble coaxial 2 étapes
Un câble coaxial porte +10 nC par mètre sur un fil de rayon 2,0 cm et −10 nC par mètre sur un conducteur extérieur mince de rayon 10 cm. Calculez E à 5,0 cm et à 15 cm de l’axe.

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1. Entre les conducteurs, le cylindre de Gauss ne renferme que la charge du fil :
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{2k\lambda}{r}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{0{.}05}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
2. À l’extérieur du câble, il renferme les charges des deux conducteurs, dont la somme est nulle :
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{(\lambda-\lambda)L}{\varepsilon_0}=0\ \Rightarrow\ E=0$
Réponse

3 595 N/C à 5,0 cm et zéro à 15 cm. Les charges égales et opposées des deux conducteurs confinent le champ à l’intérieur du câble.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx3595\ \mathrm{N/C},\qquad E(15\ \mathrm{cm})=0$
Un plan chargé et deux plaques 2 étapes
Calculez le champ d’un grand plan portant 10 nC par mètre carré, puis le champ entre deux grandes plaques distantes de 10 cm portant +10 et −10 nC par mètre carré.

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1. Un cylindre de Gauss traversant le plan possède deux bases d’aire A, par lesquelles le champ E est sortant. Il renferme la charge σA :
  
  $2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\approx564{.}7\ \mathrm{N/C}$
2. Entre les plaques, les champs produits par chacune sont de même sens, de + vers −, et s’additionnent. À l’extérieur, ils sont de sens opposés et se compensent :
  
  $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Réponse

564,7 N/C pour le plan chargé ; 1 129 N/C entre les plaques et zéro à l’extérieur. Ces champs sont indépendants de la distance aux surfaces chargées.

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Une boule chargée de façon non uniforme 3 étapes
Une boule de rayon R = 10 cm porte une charge de densité volumique ρ = ρ₀r/R, avec ρ₀ = 2,0 μC/m³. Calculez sa charge totale et E à r = 5,0 cm.
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1. Pour obtenir la charge contenue dans la sphère de rayon r, additionnez les charges des couches sphériques minces d’aire 4πr′² et d’épaisseur dr′ :
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=\int_{0}^{r}\rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr'=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{R}$
2. Le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon r donne :
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{\varepsilon_0R}\ \Rightarrow\ E=\frac{\rho_0r^{2}}{4\varepsilon_0R}$
3. Pour r = 0,050 m, puis pour la charge totale à r = R :
  
  $E=\frac{(2{.}0\times10^{-6})(0{.}050)^{2}}{4\,(8{.}854\times10^{-12})(0{.}10)}\approx1412\ \mathrm{N/C},\qquad Q=\pi\rho_0R^{3}\approx6{.}283\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
Réponse

Q = 6,283 nC ; E = 1 412 N/C à 5,0 cm. À r = R, l’expression du champ intérieur donne 5 647 N/C, valeur égale à kQ/R², comme attendu.

$Q\approx6{.}283\ \mathrm{nC},\qquad E\approx1412\ \mathrm{N/C}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Une charge de 3,0 μC se trouve à l’intérieur d’une surface fermée de forme quelconque. Calculez le flux sortant à travers cette surface.

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3,388 × 10⁵ N·m²/C.

$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\approx3{.}388\times10^{5}\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Un champ uniforme de 1 000 N/C est parallèle à l’axe d’un hémisphère de rayon 10 cm. Calculez le flux à travers sa surface courbe.

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31,42 N·m²/C : les mêmes lignes de champ traversent le disque qui ferme l’hémisphère, d’où un flux πR²E.

$\Phi=\pi R^{2}E\approx31{.}42\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Une sphère métallique de rayon 5,0 cm porte une charge de 4,0 nC. Calculez E à 3,0 cm et à 10 cm de son centre.

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Zéro à 3,0 cm, dans le métal ; 3 595 N/C à 10 cm.

$E(3\ \mathrm{cm})=0,\qquad E(10\ \mathrm{cm})=\frac{kQ}{r^{2}}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
Un long cylindre de rayon 2,0 cm porte une charge de 5,0 nC par mètre, uniformément répartie dans son volume. Calculez E à 1,0 cm et à 4,0 cm de l’axe.

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2 247 N/C dans les deux cas : à la moitié du rayon, le champ intérieur vaut la moitié du champ à la surface ; à une distance de l’axe égale au double du rayon, le champ extérieur en vaut aussi la moitié.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}=\frac{2k\lambda}{r'}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Une grande couche plane d’épaisseur 4,0 cm porte une charge uniformément répartie de densité ρ = 1,0 μC/m³. Calculez E à 1,0 cm de son plan médian et à l’extérieur.

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1 129 N/C à 1,0 cm ; 2 259 N/C partout à l’extérieur.

$E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C},\qquad E=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\approx2259\ \mathrm{N/C}$
Une charge ponctuelle q se trouve au centre d’une face d’un cube. Calculez le flux à travers le cube.

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q/(2ε₀) : un second cube identique, placé de l’autre côté de la face, recevrait l’autre moitié du flux.

$\Phi=\frac{q}{2\varepsilon_0}$

À l’extérieur, une boule chargée produit le même champ qu’une charge ponctuelle

Cliquez sur Boule chargée et faites glisser la sphère de Gauss au-delà de R = 10 cm. À l’extérieur de la boule, le champ suit exactement kQ/r², comme si les 10 nC étaient concentrés au centre : toute sphère de rayon r extérieure à la boule renferme la totalité de Q, quelle que soit la position de chaque élément de charge, et la symétrie répartit uniformément le flux sur l’aire 4πr². Passez à la coquille : vous retrouvez la même courbe à l’extérieur. C’est à l’intérieur que les champs diffèrent. Celui de la coquille y est partout nul ; celui de la boule croît linéairement selon E = kQr/R³, de zéro au centre jusqu’à sa valeur maximale de 8 988 N/C à la surface. Une sphère de Gauss intérieure à la boule ne renferme que la fraction (r/R)³ de la charge. Le flux se répartit sur une aire proportionnelle à r² : il reste donc une puissance de r.

Placez la charge à un sommet : seul un huitième de son flux traverse le cube

Cliquez sur Charge au centre : le flux par face vaut 188,2 N·m²/C, soit un sixième de q/ε₀ = 1 129 N·m²/C. Faites varier t pour approcher la charge du sommet. Le flux augmente sur les trois faces proches et diminue sur les trois faces éloignées. Le total reste égal à 1 129 jusqu’au tout dernier instant : à t = 0,99, chaque face proche reçoit 328,8 et chaque face éloignée 47,7. Au sommet même, le flux à travers les faces proches est nul, car le champ leur est tangent. Chaque face éloignée reçoit alors 47,06, soit un vingt-quatrième de q/ε₀. Huit cubes se rejoignant à ce sommet se partageraient le flux à parts égales. Au-delà du sommet, le flux total est nul : il entre par trois faces et ressort par les trois autres.

L’intérieur vide d’une coquille chargée offre le test le plus rigoureux de la loi de Coulomb

Cliquez sur Coquille chargée : à l’intérieur, le champ est nul à tout rayon. Le théorème de Gauss donne ce résultat en une ligne, mais il repose sur une force de Coulomb qui varie exactement en 1/r². Remplacez cette dépendance par 1/r^(2 + q), avec q non nul, et les contributions des parties proche et éloignée de la coquille ne se compensent plus exactement : un champ apparaît à l’intérieur. Mesurer un champ nul dans une coquille permet donc de contraindre q. En 1936, Plimpton et Lawton ont appliqué un potentiel alternatif de plus de 3 000 V à une sphère métallique extérieure. Avec un détecteur sensible à environ 10⁻⁶ V, ils ont cherché une différence de potentiel entre cette sphère et une sphère intérieure. Ils n’en ont observé aucune et ont établi que q était inférieur à 2 × 10⁻⁹. L’expérience à haute fréquence de Williams, Faller et Hill, en 1971, a donné q = (2,7 ± 3,1) × 10⁻¹⁶.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (4)

Gauss's law and flux: the flux through a closed surface is the same “regardless of the shape or size of the surface, as long as the surface encloses the same amount of charge”, and a charge outside contributes zero: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.2, “Explaining Gauss's Law”.
The symmetric cases worked as here: a uniformly charged sphere inside and out (Example 6.6, E growing linearly inside), a non-uniformly charged sphere (6.7), a cylindrical shell (6.8), and the infinite plane σ/(2ε₀): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.3, “Applying Gauss's Law”.
Insight block 3: concentric metal globes, an alternating potential above 3,000 V on the outer one, a detector inside sensitive to about 10⁻⁶ V, and the exponent 2 confirmed to within 2 × 10⁻⁹: S. J. Plimpton and W. E. Lawton, “A Very Accurate Test of Coulomb's Law of Force Between Charges”, Physical Review 50(11), 1936, pp. 1066-1071. DOI 10.1103/PhysRev.50.1066
Insight block 3: the 1971 high-frequency test, q = (2.7 ± 3.1) × 10⁻¹⁶ for a force of the form 1/r^(2+q): E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, “New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”, Physical Review Letters 26(12), 1971, pp. 721-724. DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.