微積分学の基本定理

曲線の下、固定した始点 a から動く端点 x までの面積を塗り広げていくと、その面積そのものが x の関数になります。画面下部にはその面積を描き出し、増える勢いを測って、x における曲線の高さと並べて見せています。定理の第一部が語るのは、このふたつが常に一致すること。そこから第二部が導かれ、原始関数によって定積分の値を計算できるようになります。

第1部	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$
第2部	$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f$
上端が x² や一般の g(x) である場合	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$

計算例 — 微積分学の基本定理

シンプソンの公式による a から x までの面積	0.7468
A 自身から測定した x における面積関数の傾き	0.3679
x における曲線の高さ	0.3679

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レッスン

理論 — 微積分学の基本定理

a を起点とする f の累積関数とは、a と x の間における f の符号付き面積 A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt のことです。微積分学の基本定理は二つの柱から成り立ちます。f が連続であるところでは常に A′(x) = f(x) であり、したがって f の任意の原始関数 F に対して ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) が成り立ちます。

各記号の意味

A(x): a から x までの f の下側の面積。軸の下では符号が反転し、x が a より左にあるときも再び反転します
a: 固定された始点。ここを変えると A は定数ぶん変化しますが、A′ には影響しません

公式の導き方

第1部：面積の傾きは曲線の高さに等しい。x から x + h までの微小な区間において、新たに加わる面積は幅 h、高さがおよそ f(x) の長方形になります。したがって、面積は x の単位あたり f(x) の割合で増加します。
$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt\ \longrightarrow\ f(x)$
第2部：任意の原始関数による計算。A と任意の原始関数 F は導関数が等しいため定数の差しかなく、A(a) = 0 という条件によってその差が定まります。
$A(x)=F(x)+C,\quad A(a)=0\ \Rightarrow\ C=-F(a)\ \Rightarrow\ \int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$

前提: 区間上で f が連続であること。f に跳び（不連続）がある場合、面積関数は定義こそされるものの、その点に角ができて傾き（微分係数）は存在しなくなります。

全プロセスの詳細解説

上端が x である積分の微分 1 ステップ
d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt を求めよ。
1. 第1部をそのまま適用します。面積関数の導関数は、x における被積分関数の値そのものです。
  
  $\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt=\sqrt{1+x^{3}}$
解答

√(1 + x³)。√(1 + t³) の原始関数を求める必要はありません。幸いなことに、初等関数の範囲には存在しないからです。

$\sqrt{1+x^{3}}$
上端が x² の場合：合成関数の微分法 2 ステップ
d/dx ∫₀^x² cos t dt を求めよ。
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1. u = x² とおくと面積関数は A(u) と表せるので、A を u で微分したうえで du/dx を掛けます。
  
  $\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
2. 先に積分を計算して確かめてみましょう。
  
  $\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\sin\left(x^{2}\right)\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\sin\left(x^{2}\right)=2x\cos\left(x^{2}\right)$
解答

2x cos(x²)。単に cos(x²) とだけ書くと、合成関数の微分でありがちな「中身の微分」の掛け忘れになってしまいます。

$2x\cos\left(x^{2}\right)$
積分区間の両端に x がある場合 3 ステップ
d/dx ∫_x^2x t² dt を求めよ。
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1. 0 などの任意の固定点で積分を二つに分割し、それぞれの積分で x が片方の端にだけ現れるようにします。
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\int_{0}^{2x}t^{2}\,dt-\int_{0}^{x}t^{2}\,dt$
2. それぞれを微分します。上端が 2x の項には合成関数の微分法を用います。
  
  $\frac{d}{dx}=(2x)^{2}\cdot2-x^{2}=8x^{2}-x^{2}=7x^{2}$
3. 先に積分を計算して確かめてみましょう。
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\frac{8x^{3}-x^{3}}{3}=\frac{7x^{3}}{3}\ \Rightarrow\ 7x^{2}$
解答

7x²。下端を増やすと面積が削られるため、下端の項にはマイナス符号がつきます。

$7x^{2}$
原始関数による定積分の計算 1 ステップ
∫₀^π sin x dx を計算せよ。

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1. −cos x は sin x の原始関数なので、第2部がそのまま使えます。
  
  $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=1+1$
解答

2。ツールでこの問題を開いてみてください。短冊を足し合わせた面積も同様に 2 となり、面積関数は最高点である π で水平になります。

$\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2$
被積分関数から面積関数のグラフを読み解く 3 ステップ
g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt とする。g が増加する区間、極値、変曲点、および g(2) の値を求めよ。

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1. 第1部より g′(x) = x² − 4 です。これは [−2, 2] の外側で正、内側で負となります。
  
  $g'(x)=x^{2}-4:\quad g'>0\ \iff\ |x|>2,\qquad g'<0\ \iff\ |x|<2$
2. g″(x) = 2x は 0 で符号を変えるため、g の凹凸はそこで入れ替わります（変曲点）。
  
  $g''(x)=2x=0\iff x=0$
3. そして第2部より g(2) を求めます。
  
  $g(2)=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-4t\Bigr]_{0}^{2}=\tfrac{8}{3}-8=-\tfrac{16}{3}$
解答

g は (−∞, −2] および [2, ∞) で増加し、[−2, 2] で減少；−2 で極大値、2 で極小値をとり、0 で変曲点を持つ；g(2) = −16/3 ≈ −5.3333。これらはすべて、g そのものの式を書き下す前であっても、t² − 4 の符号とその傾きだけから導かれたものです。

$\max:\ x=-2,\quad\min:\ x=2,\quad g(2)=-\tfrac{16}{3}\approx-5{.}3333$
面積としての対数 1 ステップ
∫₁^e dt/t を計算せよ。

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1. t > 0 において、ln t は 1/t の原始関数です。
  
  $\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=\Bigl[\ln t\Bigr]_{1}^{e}=\ln e-\ln1=1-0$
解答

1。見方を変えれば、これは多くの教科書が出発点とする定義そのものです。すなわち、ln x とは 1 から x までの 1/t の下側の面積であり、e とはその面積が 1 に達する値のことなのです。

$\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=1$

補充問題（答えのみ）

d/dx ∫_x² e^t² dt を求めましょう。

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−e^x² です。変数 x が積分の下端にあるので、符号が変わります。

$-e^{x^{2}}$
−π/2 < x < π/2 のとき、d/dx ∫₀^{sin x} √(1 − t²) dt を求めましょう。

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√(1 − sin²x) · cos x = cos²x です。この区間では cos x が正なので、このように整理できます。

$\cos^{2}x$
∫₋₁² (x² − 1) dx を計算しましょう。この値は、曲線と x 軸で囲まれた部分の面積に等しいでしょうか。

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定積分の値は 0 です。面積は 0 ではなく 8/3 になります。[−1, 1] では x 軸より下の部分の面積が 4/3、[1, 2] では上の部分の面積が 4/3 あり、定積分ではこれらが打ち消し合います。

$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx=0,\qquad A=\tfrac{8}{3}$
すべての x について ∫₀^x f(t) dt = x² sin x が成り立つとき、f を求めましょう。

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両辺を微分すると、f(x) = 2x sin x + x² cos x が得られます。

$f(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x$
G(x) = ∫₁^x √(t + 3) dt の x = 1 における接線の方程式を求めましょう。

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y = 2x − 2 です。積分の上端と下端が等しいので G(1) = 0、また G′(1) = √4 = 2 となります。

$y=2x-2$

数式の有無にかかわらず、面積の傾きは曲線の高さに等しい

e^(−t²)：初等式なし を選んでみてください。下のグラフを描くのに、原始関数は一切使われていません。e^−t² の下の面積を細かな短冊として足し上げているだけです。x = 1 での面積は 0.7468。下の曲線はそこで 1 あたり 0.3679 の割合で立ち上がっており、これは 1 における釣り鐘型曲線の高さそのものです。x をどこへ動かしても、両者の値は等しいままです。理由は一言で説明できます。区間を x から x + h へと広げると、増える面積は幅 h、高さがおよそ f(x) の長方形になるため、x の単位あたりの増分は f(x) になります。数式など何も要りません。リウヴィルが証明したように e^−t² には初等的な原始関数が存在しませんが、それでもこの定理は確固たる原始関数を与えてくれます。面積関数そのものです。

すべての面積関数は原始関数だが、その逆は成り立たない

a = 2 からの cos t を選んでみましょう。始点 a を動かすと、下の曲線全体が形を変えずに上下へスライドします。そのため、a をどう選んでも x における接線の傾きは cos 1 = 0.5403 のまま変わりません。どの a を選んでも cos t の原始関数になります。しかし、逆は成り立ちません。sin t + 5 も確かに cos t の原始関数ですが、これと一致する面積関数は一つも存在しないのです。面積関数は始点で必ず 0 になりますが、sin t + 5 は 4 を下回ることがないからです。∫ₐˣ が選び出すのは、どこかで 0 を通る原始関数に限られます。そして定理を使う上では、そのうちの一つさえあれば十分なのです。

曲線が上から下へゼロを横切る場所で、面積は極大を迎える

π までの sin t を押してみましょう。面積は 2 で、下の曲線は水平になります。π の手前では曲線が軸の上にあって面積を増やし、π を過ぎると軸の下に潜って面積を減らすため、π で頂点に達するわけです。2 までの t² − 4 を押すと、ちょうど鏡のように対称的な理由から、谷底にあたる地点で面積が −5.3333 になります。試験では f のグラフだけを手がかりにこうした挙動を求めさせることがありますが、この定理を知っていれば十分です。f が正なら面積関数は増加し、負なら減少し、正から負へと横切る場所で極大となり、f 自身が山や谷を持つ場所で変曲します。下のグラフの灰色の点は、その転換点を示しています。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。