断面積分による体積

立体を軸に沿って薄く切り分けると、その体積は「断面積×厚み」の総和、すなわち V = ∫A(x) dx になります。円盤も円環も、決まった形状の断面も、A(x) の形が違うにすぎず、すべてはこのひとつの考え方に基づいています。このページでは、もとの平面領域、位置 x における断面の正面図、そして曲線の下の面積が体積そのものを表す断面積 A(x) のグラフを描きます。

断面から求める体積	$V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx$
円環	$A(x)=\pi\left(R(x)^{2}-r(x)^{2}\right)$

計算例 — 断面積分による体積

位置 x における断面積	0.7854
体積（断面積の積分）	3.1416
位置 x での断面	1.5 での断面積は 0.7854 です。

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レッスン

理論 — 断面積分による体積

a ≤ x ≤ b において、立体の位置 x での断面積が A(x) であるとき、その体積は V = ∫ₐᵇ A(x) dx で与えられます。平面領域を軸のまわりに回転させると、各断面は円盤（A = πR²）または円環（A = π(R² − r²)）になります。ここで R と r は回転軸からの距離です。

各記号の意味

A(x): 軸に垂直な、位置 x における断面の面積
R, r: 回転軸から測った円環の外半径と内半径

公式の導き方

薄くスライスし、足し合わせる。厚み Δx の薄片の体積は A(x)Δx で近似できます。これらを足し合わせ、Δx を限りなく 0 に近づけると、総和は積分へと姿を変えます。
$V\approx\sum_{i}A(x_i)\,\Delta x\ \longrightarrow\ \int_{a}^{b}A(x)\,dx$
円盤と円環。領域を軸のまわりに回転させると、各断面は円盤、あるいは穴の開いた円盤（円環）になります。くり抜くのは穴の半径ではなく、穴の面積です。
$A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)\ne\pi(R-r)^{2}$

全プロセスの詳細解説

円盤：x 軸まわりの回転 1 ステップ
[0, 4] における y = √x の下側の領域を、x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい。

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1. 各断面は半径 √x の円盤になります：
  
  $V=\int_{0}^{4}\pi\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot8$
解答

8π ≈ 25.1327.

$V=8\pi\approx25{.}1327$
円盤から導く円錐の体積公式 2 ステップ
底面の半径 r、高さ h の円錐の体積が πr²h/3 になることを示しなさい。

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1. 頂点を原点 0 に置き、x 軸に沿って配置すると、位置 x における断面の半径は rx/h と表せます。
  
  $R(x)=\frac{r}{h}x,\qquad 0\le x\le h$
2. 円盤の断面積を積分します：
  
  $V=\int_{0}^{h}\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2}\,dx=\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
解答

πr²h/3. r = 1、h = 3 のとき、画面には 3.1416（すなわち π）が表示されます。

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
円環断面の立体 1 ステップ
[0, 1] において y = x と y = x² に挟まれた領域を、x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい。

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1. 外半径は x、内半径は x² です：
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(x^{2}-x^{4}\right)dx=\pi\left(\tfrac13-\tfrac15\right)=\frac{2\pi}{15}$
解答

2π/15 ≈ 0.4189. なお、π∫(x − x²)² dx を計算すると 0.1047 になります。これが解説で注意した誤りの値です。

$V=\frac{2\pi}{15}\approx0{.}4189$
別の直線のまわりの回転（円環） 2 ステップ
[0, 1] における y = x² の下側の領域を、直線 y = −1 のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい。

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1. 回転軸 y = −1 からの距離を測ると、外側の境界線までは x² + 1、穴の内側（x 軸）までは 1 になります：
  
  $R=x^{2}+1,\quad r=1$
2. 展開して積分します：
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(\left(x^{2}+1\right)^{2}-1\right)dx=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{4}+2x^{2}\right)dx=\pi\left(\tfrac15+\tfrac23\right)$
解答

13π/15 ≈ 2.7227. 半径を 1 だけずらすのを忘れると、x 軸まわりの回転体の体積である π/5 が求まってしまいます。これはまったく別の立体です。

$V=\frac{13\pi}{15}\approx2{.}7227$
正方形の断面 1 ステップ
ある立体の底面は、[0, 4] における y = √x の下側の領域です。x 軸に垂直な切り口がすべて正方形であるとき、この立体の体積を求めなさい。

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1. 位置 x における正方形の一辺の長さは √x です：
  
  $V=\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\int_{0}^{4}x\,dx=8$
解答

8. 回転体ではないため、π は現れません。断面の幾何学形状から A(x) を決めれば、それだけで十分です。

$V=8$
半円の断面 1 ステップ
ある立体の底面は円盤 x² + y² ≤ 1 です。x 軸に垂直な切り口が、弦を底辺とする半円であるとき、この立体の体積を求めなさい。

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1. 位置 x における弦の長さは 2√(1 − x²) ですから、半円の半径は √(1 − x²) になります：
  
  $A(x)=\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right),\qquad V=\int_{-1}^{1}\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right)dx=\tfrac12\pi\cdot\tfrac43$
解答

2π/3 ≈ 2.0944. 断面が円である単位球と比べると、こちらは半円ですから、ちょうど単位球の半分の体積になります。

$V=\frac{2\pi}{3}\approx2{.}0944$
球の体積 1 ステップ
半径 r の球の体積が 4πr³/3 になることを示しなさい。
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1. 半円 y = √(r² − x²) を x 軸のまわりに回転させると、位置 x での断面は半径 √(r² − x²) の円盤になります。
  
  $V=\int_{-r}^{r}\pi\left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi\left(2r^{3}-\tfrac{2r^{3}}{3}\right)$
解答

4πr³/3. アルキメデスは、外接する円柱の体積 2πr³ の 3分の2 としてこの値を導きました。

$V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$

補充問題（答えのみ）

0 ≤ x ≤ 2 の範囲で、曲線 y = x² と x軸に囲まれた領域を、x軸のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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32π/5 ≈ 20.1062。

$V=\frac{32\pi}{5}\approx20{.}1062$
曲線 y = x³、直線 y = 8、y軸に囲まれた領域を、y軸のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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96π/5 ≈ 60.3186。y軸に垂直な平面で切ると、0 ≤ y ≤ 8 で、断面は半径 x = ∛y の円になります。

$V=\int_{0}^{8}\pi y^{2/3}\,dy=\frac{96\pi}{5}\approx60{.}3186$
曲線 y = x² と直線 y = 1 に囲まれた領域を、直線 y = 1 のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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16π/15 ≈ 3.351。−1 ≤ x ≤ 1 で、断面は円になります。半径は回転軸から下向きに測った長さ 1 − x² です。

$V=\int_{-1}^{1}\pi\left(1-x^{2}\right)^{2}dx=\frac{16\pi}{15}\approx3{.}351$
底面が円板 x² + y² ≤ 1 で、x軸に垂直な断面がすべて正三角形である立体の体積を求めなさい。

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4√3/3 ≈ 2.3094。一辺の長さが s の正三角形の面積は (√3/4)s² で、この立体では s = 2√(1 − x²) です。

$V=\int_{-1}^{1}\sqrt3\left(1-x^{2}\right)dx=\frac{4\sqrt3}{3}\approx2{.}3094$
半径 10 cm の半球形の容器に、深さ 4 cm まで水が入っています。水の体積を求めなさい。

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416π/3 ≈ 436 cm³。底からの高さを y とすると、0 ≤ y ≤ 4 で、水の水平な断面は半径 r の円になります。r² = 100 − (10 − y)² が成り立ちます。

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{4}\pi\left(20y-y^{2}\right)dy\\&=\frac{416\pi}{3}\approx436\ \mathrm{cm^{3}}\end{aligned}$

円錐の体積は円柱のきっかり3分の1。断面を見ればその理由がわかります

「円錐と3分の1」を選んでみましょう。位置 x における断面は半径 x/3 の円盤ですから、その面積は x² に比例して大きくなります。頂点付近ではわずか、底面では π です。求める体積は 0 から 3 までの A(x) の下の面積であり、∫x² dx = x³/3 ですから、放物線の下側の面積は外側の長方形のきっかり 3分の1 になります。この長方形の面積は π×3、すなわち円柱の体積そのものです。高さや半径がどうであれ、円錐の体積は常に円柱の 3分の1 に収まります。この事実を最初に見抜いたのはデモクリトス、証明したのはエウドクソスだとアルキメデスは伝えていますが、断面を積分すれば、私たちはそれをたった一行の計算で手に入れることができます。

円環は面積の差であり、差の面積ではありません

「半径ではなく面積」を押してみてください。断面は、半径 x の円盤から半径 x² の円盤をくり抜いた形をしています。断面積は π(x² − x⁴) で、体積は 2π/15 ≈ 0.4189 です。ついやってしまいがちなのが、先に半径の差を取って 2乗する π(x − x²)² という計算です。画面で計算すると 0.1047。正解のきっかり 4分の1 にしかなりません。各断面における両者の差は 2πr(R − r) であり、これが負になることは決してないため、半径を先に引く計算法は常に本来より過小な答えを出します。くり抜くべきなのは半径 r ではなく、半径 r の円盤の面積そのものなのです。

体積を決めるのは断面積の大きさだけであり、並べ方ではありません

「正方形の断面」、つづいて「半円の断面」を押してみてください。どちらの立体も、何かを回転させたものではありません。片方は領域の上に正方形を立て、もう片方は円盤の上に半円を並べた立体です。それでも計算はまったく同じで、A(x) を積分するだけ。断面について重要なのは、面積の大きさだけだからです。積み重ねた硬貨の山を横から押して傾けても、全体の体積は変わりません。どの断面も面積を保っているからです。ボナヴェントゥーラ・カヴァリエーリは 1635年にこれを原理として打ち立てましたが、中国では西暦 500年頃、祖沖之の息子である祖暅がすでに同じ原理を見出して球の体積を導いていました。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

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