一次方程式

項を一つタップして、両辺から取り除いてみましょう。方程式が形を変えます。その下にある帯は、現在の方程式の解を表しています。正しい式変形をしている限り、解が動くことはありません。

両辺に同じ操作をする	$\begin{gathered}a=b\iff a+c=b+c\\a=b\iff ka=kb\quad(k\neq0)\end{gathered}$
最後の操作から逆にたどる	$2x+3=11\ \to\ 2x=8\ \to\ x=4$

計算例 — 一次方程式

元の式での検算	13 ✓
適用した操作	0
現在の方程式の解	3

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レッスン

理論 — 一次方程式909語

どのような形であっても、一元一次方程式は適切な式変形を施すことで ax = b という単一の形に帰着します。ここで a と b は既知の数です。方程式に何ができるかは、すべてこれら二つの数によって決定されます。

各記号の意味

a: x を含むすべての項を片方の辺に集めたあとの、未知数の係数です。以下に述べる三つの結果のうち、どれに行き着くかを決めるのがこの数です。
b: もう一方の辺に残ったすべての数、すなわち定数です。これが意味を持つのは a が 0 のときだけです。
x: 未知数です。一乗の形でのみ現れ、関数の内側に含まれることは決してありません。それがここで言う「一次」の意味です。

公式の導き方

整理: x を含むすべての項を片方の辺へ、含まないすべての項をもう一方の辺へ移します。どちらも加算の操作であるため、常に可逆です。
これで ax = b の形になります。もし a ≠ 0 であれば a で割り、x = b/a というただ一つの解が得られます。
もし a = 0 であれば未知数は姿を消し、残るのは数だけについての主張となります。これは b ≠ 0 であれば偽、b = 0 であれば真です。つまり、三つの結果のどれになるかは、実際に方程式を解き始める前の段階で (a, b) の組によってすでに確定しているのです。

前提: a と b が厳密な値であること。これらが与えられた数ではなく測定値である場合、ゼロに近い係数は値というよりも警告の意味を持ちます。x = b/a ではその係数で割り算を行うため、a におけるわずかな不確かさが x の巨大な不確かさへと増幅されるからです。これは、二つの未知数を扱うステップ5で再び直面するのと同じ困難であり、そこではここでの a の役割を行列式が担うことになります。
成り立たない場合: 破綻する箇所はどこにもなく、それこそが有用な点です。未知数が一つの場合、第四のケースは存在しません。ただ一つの解を持つか、解を持たないか、あるいはすべての数が解となるかのいずれかであり、どれに該当するかは何も解き始める前に a と b を見るだけで決まります。この完全性は、未知数がいくつあろうとすべての連立一次方程式を支配する階数条件の「一変数版」であり、この道のりのステップ5と6に現れるのも、文字が増えただけの同じ三分割なのです。

全プロセスの詳細解説

4に加えて1マイルあたり3、および10に加えて1を請求するタクシー 7 ステップ
あるタクシーの初乗り運賃は4で、1マイル走るごとに3かかります。別のタクシーの初乗り運賃は10で、1マイルごとに1かかります。両者の運賃が等しくなるのはどの距離でしょうか。また、もし問題の設定を少し間違えた場合、代数の計算はどうなるでしょうか。

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1. 両方の運賃を、同じ未知数を用いた式で表します。この未知数は二つの式でまったく同じ対象を指していなければなりません。文章題で行き詰まる場合、代数の計算を始める前のこの段階に原因があることがほとんどです。
  
  $4 + 3x \qquad 10 + 1x$
2. それらを等号で結べば、モデル化のステップはすべて完了です。それ以降は、単なる機械的な作業にすぎません。
  
  $4 + 3x = 10 + x$
3. xの項をまとめます。両辺からxを引く操作は数学的に正しく、逆の操作も可能であるため、方程式の解が影響を受けることはありません。
  
  $4 + 2x = 10$
4. 定数項をまとめ、xの係数で割ります。距離は3マイルとなり、そのときの運賃はどちらも13になります。
  
  $2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3 \;\Rightarrow\; 4 + 9 = 13 = 10 + 3$
5. 今度は、わざと間違った設定にしてみましょう。もし、二つ目の会社も1マイルごとに3かかるとします。xの項は打ち消し合って消え、4 = 10という誤った式が残ります。つまり、両者の運賃が一致する距離は存在せず、片方が常もう一方より6だけ高いということです。
  
  $4 + 3x = 10 + 3x \;\Rightarrow\; 4 = 10 \;\Rightarrow\; \varnothing$
6. そして、もし二つ目の会社も初乗り運賃が4で、1マイルごとに3かかるのであれば、同じように項が消えて4 = 4となります。これはすべての距離において成り立つ真の式です。要するに、二つの運賃はまったく同じものを二度書いたにすぎないのです。
  
  $4 + 3x = 4 + 3x \;\Rightarrow\; 4 = 4 \;\Rightarrow\; x \in \mathbb{R}$
7. ここから先は代数の手を離れ、私たちが自ら判断を下す領域です。これら三つの結果はどれも、正しく設定された問題に対する数学的に正しい答えであり、ツールはそれを忠実に報告します。しかし、計算結果が負の値になった場合、それが「出発前に運賃が逆転していた」ことを意味するとは教えてくれません。あるいは、距離が分数になったとして、現実のタクシーはそのような半端な単位では利用できないかもしれません。方程式は、xが現実世界で何を意味するのかを知らないのです。
  
  $x = -2 \;\Rightarrow\; x \notin [0, \infty)$
解答

3マイルで、運賃はそれぞれ13。係数を一つ変えるだけで、同じ代数計算が代わりに「該当する距離なし」や「すべての距離」という結果を返します。そして、それらは計算の失敗ではなく、どちらも立派な解答なのです。
両辺にxがある場合: 5x − 2 = 3x + 8 5 ステップ
5x − 2 = 3x + 8 を解いてみましょう。両辺にxがあるため、一つにまとめるまでは何も分かりません。

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1. まずxの項をまとめます。右辺から3xを引くなら、左辺からも3xを引きます。これでもxについての方程式が意味する内容は変わりません。
  
  $5x - 2 = 3x + 8 \;\Big|\; -3x$
2. これで左辺は2x − 2になりました。xから数字を切り離すために、両辺に2を足します。
  
  $2x - 2 = 8 \;\Big|\; +2$
3. xの二つ分が10ですから、一つ分は5になります。
  
  $2x = 10 \;\Big|\; \div 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 5$
4. 出た答えは、最後の方程式ではなく、最初の方程式に代入して確かめましょう。両辺とも23になるので、x = 5は元の式を満たしています。
  
  $5(5) - 2 = 23, \qquad 3(5) + 8 = 23$
5. 必ずしも左辺にまとめる必要はありません。代わりに両辺から5xを引いてみると、−2 = −2x + 8となります。見た目は違いますが、同じくx = 5という解が得られます。どちらの辺にまとめるかは自由ですが、答えは一つに決まります。
  
  $5x - 2 = 3x + 8 \;\Big|\; -5x \quad\Longrightarrow\quad -2 = -2x + 8 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 10$
解答

x = 5となり、両辺は23になります。xの項を逆の辺にまとめるのは、見た目が違うだけで同じ答えにたどり着くルートです。
答えがマイナスになる場合: 4x + 9 = x − 6 5 ステップ
4x + 9 = x − 6 を解いてみましょう。最後の行で答えがゼロより小さくなるまでは、特に変わったところはありません。

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1. 両辺からxを引き、xの項を左辺にまとめます。
  
  $4x + 9 = x - 6 \;\Big|\; -x$
2. 両辺から9を引き、数字を消去します。
  
  $3x + 9 = -6 \;\Big|\; -9$
3. xの三つ分が−15なので、一つ分は−5です。答えにマイナスの記号がついたからといって、どこかで間違えたわけではありません。
  
  $3x = -15 \;\Big|\; \div 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -5$
4. 元の式で確かめてみましょう。左辺は −20 + 9 = −11、右辺は −5 − 6 = −11 となります。両辺が一致したので、間違いなく−5が解です。
  
  $4(-5) + 9 = -20 + 9 = -11, \qquad (-5) - 6 = -11$
5. −5が意味のある答えかどうかは、xが何を表していたかによって決まります。気温であればごく普通の火曜日のことかもしれませんが、チケットの枚数であれば全く意味を成しません。方程式にはその違いが分からず、警告してはくれません。
  
  $x = -5 \;\Rightarrow\; \text{5 tickets short of none}$
解答

x = −5となり、両辺は−11になります。マイナスの解も方程式の答えには違いありません。しかしそれが「問題の答え」になっているかどうかの判断は別の話であり、あなた自身で考える必要があります。
答えが整数にならない場合: 6x + 1 = 2x + 4 5 ステップ
6x + 1 = 2x + 4 を解いてみましょう。これまでと同じように三つの手順を踏みますが、今回は整数にはなりません。

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1. 両辺から2xを引きます。
  
  $6x + 1 = 2x + 4 \;\Big|\; -2x$
2. 両辺から1を引きます。
  
  $4x + 1 = 4 \;\Big|\; -1$
3. xの四つ分が3なので、一つ分は3を4で割った値、つまりちょうど0.75になります。
  
  $4x = 3 \;\Big|\; \div 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3}{4} = 0.75$
4. 元の式で確かめましょう。6 × 0.75 + 1 = 5.5、そして 2 × 0.75 + 4 = 5.5 となります。
  
  $6(0.75) + 1 = 5.5, \qquad 2(0.75) + 4 = 5.5$
5. 四分の三は、たまたま小数でぴったり表せる数でした。しかし三分の二は違います。3x + 1 = 3 を解くと答えは2⁄3になり、小数で書き切ることは不可能です。分数こそが正解であり、0.6667はその近似値に過ぎません。
  
  $3x + 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{2}{3} = 0.6667\ldots$
解答

x = 0.75（または四分の三）となり、両辺は5.5になります。分数もごく一般的な答えです。小数でぴったり表せない場合、正確な答えは分数のほうであり、小数ではありません。
括弧の扱い、二つの方法: 3(x + 4) = 24 4 ステップ
3(x + 4) = 24 を解いてみましょう。数学的に正しいルートが二つありますが、手間は同じではありません。

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1. 括弧は (x + 4) が三つあることを示しています。まず両辺を3で割れば、括弧はそのまま外れます。x + 4 = 8 となり、x = 4 です。
  
  $3(x + 4) = 24 \;\Big|\; \div 3 \quad\Longrightarrow\quad x + 4 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 4$
2. あるいは、先に展開する方法もあります。(x + 4) の三つ分は 3x + 12 です。それから両辺から12を引き、3で割ります。同じように x = 4 となります。
  
  $3(x + 4) = 3x + 12 = 24 \;\Big|\; -12 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = 4$
3. 元の式で確認します。3 × 4 + 12 = 24 となります。ツールは ax + b = cx + d の形式で方程式を受け取るため、展開した後の式が必要になります。
  
  $3(4) + 12 = 24$
4. 先に割るルートが短く済んだのは、24が3で割り切れたからです。24を25に変えて同じ手順を踏むと、x + 4 = 25⁄3 となります。これも正解ですが、少し煩雑なルートになってしまいました。
  
  $3(x + 4) = 25 \quad\Longrightarrow\quad x + 4 = \tfrac{25}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{13}{3}$
解答

どちらのルートでも x = 4 となります。どちらも正しいので、規則で決めるのではなく、数字を見てから選びましょう。
決して料金が同じにならない二つの料金プラン 4 ステップ
プランAは月額£8に加えて、ギガバイトにつき£2かかります。プランBは月額£12に加えて、ギガバイトにつき£2かかります。両方の料金が等しくなるのは何ギガバイトのときですか。

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1. 使ったギガバイト数をxとしてそれぞれの料金を式に表し、それらを等号で結びます。これが「料金が等しくなる」という意味です。
  
  $A:\; 2x + 8 \qquad B:\; 2x + 12$
2. 両辺に2xがあるので、両方から2xを引きます。
  
  $2x + 8 = 2x + 12 \;\Big|\; -2x$
3. xが消えて 8 = 12 となりましたが、これは成り立ちません。これを満たすxの値は存在しないため、二つのプランの料金が一致することは決してないのです。
  
  $8 = 12 \quad\text{— false, for every } x$
4. ここで有益なのは、方程式が行き詰まった理由そのものです。つまり、どんなxでもプランBはプランAよりも£4高くなります。両者は同じペースで増えていくため交わることはなく、常に£4の差が保たれます。
  
  $(2x + 12) - (2x + 8) = 4 \quad\text{at every } x$
解答

条件を満たすxはありません。ギガバイトあたりの料金が等しく、月額が異なる場合、その差は永遠に縮まりません。このケースでは、どれだけ使っても常に£4の差が開いたままです。
全く同じ条件を二度書いた場合 4 ステップ
あるお店の料金は 2(x + 3) です。別のお店の料金は 2x + 6 です。どちらの方が安くなるでしょうか。また、それは何冊のときですか。

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1. まず一つ目の式を展開してみましょう。(x + 3) の二つ分は 2x + 6 になります。これは、もう一つのお店が提示している式と全く同じです。
  
  $2(x + 3) = 2x + 6$
2. これらを等号で結び、両辺から2xを引くと 6 = 6 になります。これは正しい式であり、xが何であっても成り立ちます。
  
  $2x + 6 = 2x + 6 \;\Big|\; -2x \quad\Longrightarrow\quad 6 = 6$
3. つまり、どんな数を入れても成立します。0、1、7、−100を試してみても、毎回両辺は一致します。
  
  $x = 0,\ 1,\ 7,\ -100 \quad\text{all true}$
4. これは特筆すべき事実です。二つの価格の差は小さいのではなく、どんなxのときでも完全にゼロなのです。二つのお店は、一つの価格を二通りに書いただけでした。
  
  $2(x+3) - (2x+6) = 0 \quad\text{identically}$
解答

どんなxでも成り立ちます。したがって、どちらかが安くなることは永遠にありません。両辺が実質的に同じ式であるとき、「xについて解く」のは適切な問いではなく、「これらは本当に違うものなのか」を考えるのが正しいアプローチです。
年齢の問題: 計算は簡単でも、式を立てるのは難しい 5 ステップ
ベンはミアの三倍の年齢です。八年後には、彼はミアの二倍の年齢になります。二人は今何歳ですか。

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1. ミアの今の年齢をxとします。するとベンの今の年齢は3xになります。八年後には、ミアは x + 8、ベンは 3x + 8 になります。
  
  $\text{Mia } = x, \qquad \text{Ben } = 3x$
2. 「ミアの二倍の年齢」というのは、今の年齢ではなくその時の年齢の二倍を意味します。この読み取り方こそが最大の難関なのです。式は 3x + 8 = 2(x + 8) となり、展開すると 3x + 8 = 2x + 16 になります。
  
  $3x + 8 = 2(x + 8) = 2x + 16$
3. 両辺から2xを引き、次に8を引くと x = 8 となります。ミアは8歳で、ベンは24歳です。
  
  $3x + 8 = 2x + 16 \;\Big|\; -2x \quad\Longrightarrow\quad x + 8 = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = 8$
4. 計算式だけでなく、話のつじつまが合っているかも確かめましょう。八年後にはミアが16歳、ベンが32歳になり、32は確かに16の二倍になっています。
  
  $\text{Mia } 8 \to 16, \qquad \text{Ben } 24 \to 32, \qquad 32 = 2 \times 16$
5. もし今の年齢の二倍だと読み違えてしまうと、式は 3x + 8 = 2x となり、x = −8 になってしまいます。計算自体は正確に行われますが、出てくる答えは「八年後に生まれる女の子」になってしまいます。
  
  $3x + 8 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = -8$
解答

ミアは8歳で、ベンは24歳です。八年後にはそれぞれ16歳と32歳になります。三つの手順で計算できますが、その結果に意味があるかどうかは、一行の文章を正しく読み取れるかどうかにかかっています。

補充問題（答えのみ）

7x − 3 = 4x + 9を解きましょう。

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x = 4。両辺の値はどちらも25になります。

$7x-3=4x+9\ \Rightarrow\ 3x=12\ \Rightarrow\ x=4$
2(x − 5) = x + 1を解きましょう。

答えを表示

x = 11。まずかっこを展開すると、2x − 10 = x + 1となります。

$2x-10=x+1\ \Rightarrow\ x=11$
x/3 + 2 = 5を解きましょう。

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x = 9。両辺から2を引き、次に両辺に3をかけます。

$\frac{x}{3}=3\ \Rightarrow\ x=9$
5 − 2x = 11を解きましょう。

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x = −3。両辺の値はどちらも11になります。

$-2x=6\ \Rightarrow\ x=-3$
3(x + 1) = 3x + 5を解きましょう。

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解なし。両辺から3xを引くと3 = 5となり、xがどんな値でも成り立ちません。

$3x+3=3x+5\ \Rightarrow\ 3=5$

四つのボタンのうち二つは同じ操作

両辺から7を引くことは両辺に−7を足すことであり、2で割ることは半分を掛けることです。私たちが普段そう考えるため、パネルには四つのボタンが用意されています。ですが、根本的な操作は二つしかありません。何かを足すか、何かを掛けるかです。この二つの振る舞いは異なります。足し算は、何を足すにしても常に安全です。掛け算も一つの数を除けば安全ですが、この例外は単なる形式上の問題ではありません。直前まで真っ当な解を持っていた方程式がどうなってしまうか、値を0にして×を押して見てみましょう。

ゼロをかける操作だけは元に戻せない

x = 3 として、両辺に0を掛けてみましょう。すると 0 = 0 になります。これは真です。しかし x = 5 でも x = −1 でも、他のどんな数でも成り立ってしまいます。つまり、方程式はもはや x について何も語らなくなってしまったのです。他の操作はすべて元に戻すことができます。7を足しても、7を引けば元通りです。この可逆性こそが、「両辺に同じ操作をする」という規則の本当の根拠なのです。ルールの本質は、両辺を一致させることではありません。操作が取り消し可能でなければならないということです。そしてゼロを掛けることだけが、唯一取り消しのできない四則演算なのです。

答えが出ないことも一つの情報

成り立つ x はない を押してみてください。2x を 2x + 5 = 2x + 9 の両辺から引くと x が消え、5 = 9 となります。どこかで間違えたわけではありません。方程式そのものが偽であり、どんな x を代入しても成り立たないのです。次に すべての x で成り立つ を押すと、同じように x は消えますが、今度は 5 = 5 という常に真となる式が残ります。どちらも x の項が相殺された結果であり、どちらの結末になるかは定数項だけで決まります。このように「x について解く」という問いには、一つの答えではなく三つの可能性が存在します。数字しか出力しないツールは、結果の三分の二を見落としているのです。

学習の道すじ

xについて解く：マイナス記号からの積み上げ

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。