三角関数の合成

aとbを入力し、問題で指定された形を選びましょう。分数や√3のような根号を含む数も使えます。三角形ではR cos αとR sin αがそれぞれの係数に対応し、グラフでは破線で描かれた波を重ねてできる波を確かめられます。cを入力すると、指定された区間での方程式 a sin x + b cos x = c の解も求められます。

振幅	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
正弦で表す	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
余弦で表す	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

計算例 — 三角関数の合成

振幅 R	5
位相角 α	53.13°
α（ラジアン）	0.9273
合成した式	5 sin(x + 53.13°)
最大値	36.87°で5
最小値	216.87°で−5

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レッスン

理論 — 三角関数の合成

三角関数の合成とは、a sin x + b cos x を、R > 0としてR sin(x ± α)やR cos(x ± α)の形にまとめることです。

公式の導き方

加法定理で指定された形を展開します。sin xの定数倍とcos xの定数倍の和に直しましょう。
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
係数を比較します。sin xとcos xの係数から、R cos αとR sin αの値を求めます。展開した式の符号にも注意しましょう。
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
二乗して足すとR、割るとαが求まります。cos²α + sin²α = 1を使えばRが求まり、比をとればtan αが求まります。αがどの象限にあるかは、R cos αとR sin αの符号で判断します。
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
合成した式から最大値・最小値を読み取ります。正弦・余弦の値は−1以上1以下なので、式の値は−R以上R以下です。括弧内の角が正弦なら90°、余弦なら0°になるとき、最大値Rをとります。
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
方程式 a sin x + b cos x = c を解きます。R sin(x + α)に合成した場合は、sin(x + α) = c/Rとして、括弧内の角について解きます。その角の範囲は、xの区間をαだけずらしたものです。ほかの形でも、関数と符号に合わせて同様に解けます。|c| > Rのとき、解はありません。
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

全プロセスの詳細解説

基本の形 R sin(x + α) 2 ステップ
3 sin x + 4 cos x を、R > 0、0° < α < 90°としてR sin(x + α)の形に表しなさい。

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1. 指定された形を展開し、sin xとcos xの係数を比較します。
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. それぞれ二乗して足し、次に比をとります。
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
解答

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.13°)。

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
根号を含む式を正確に合成する R cos(x − α) 2 ステップ
sin x + √3 cos x をR cos(x − α)の形に表し、Rとαの値を正確に求めなさい。

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1. R cos(x − α)を展開し、係数を比較します。
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. それぞれ二乗して足し、次に比をとります。tan α = 1/√3は、特殊角の三角比です。
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
解答

sin x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°)。

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
負号を含む形 R sin(x − α) 2 ステップ
5 sin x − 12 cos x を、R > 0、0° < α < 90°としてR sin(x − α)の形に表しなさい。

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1. 展開した式のcos xの項にも負号がつくため、係数を比較するとR sin αは正になります。
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. それぞれ二乗して足し、次に比をとります。
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
解答

5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x − 67.38°)。R sin(x + α)の形を選ぶと、α = −67.38°になります。

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
最大値・最小値と、そのときのx 2 ステップ
0° ≤ x < 360°における3 sin x + 4 cos x の最大値・最小値と、それぞれをとるxの値を求めなさい。また、その結果を用いて1/(10 + 3 sin x + 4 cos x)の最大値を求めなさい。

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1. 最初の例題より、3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.13°)です。正弦の値は−1以上1以下なので、
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. 分母は常に正なので、分数の値が最大になるのは分母が最小のとき、つまり波が最小値をとるときです。
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
解答

x = 36.87°で最大値5、x = 216.87°で最小値−5をとります。分数の最大値は1/5で、そのときx = 216.87°です。

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
方程式 a sin x + b cos x = c を解く 3 ステップ
0° ≤ x < 360°の範囲で、3 sin x + 4 cos x = 2を解きなさい。

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1. 左辺を合成し、両辺をRで割ります。
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. xが指定された区間を動くと、括弧内の角x + 53.13°は53.13°から413.13°まで動きます。逆正弦の主値と、そこから得られるもう一つの角を、この範囲に収めると、
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. それぞれから53.13°を引きます。
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
解答

x = 103.29° または x = 330.45°（小数第2位まで）。

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
解が存在しない場合 2 ステップ
sin x + cos x = 2に解がないことを示しなさい。

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1. 左辺を合成します。
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. 正弦の値は1を超えないので、左辺は√2を超えません。
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
解答

すべてのxについてsin x + cos x ≤ √2 ≈ 1.4142 < 2なので、この方程式に解はありません。

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
港の水深を式で表す 2 ステップ
午前零時からt時間後の港の水深D mが、D = 6 + 3 sin(30t)° + 4 cos(30t)°で表されるとします。水深の最大値と、午前零時以降に初めてその深さになる時刻を求めなさい。

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1. x = 30tとおくと、変動する部分はすでに扱った式になります。
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. この部分はx = 36.87°で最大値5をとるので、
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
解答

水深の最大値は11 m。初めてその深さになるのは約1.23時間後、午前1時14分です。

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

補充問題（答えのみ）

2 cos x − 3 sin x を、R > 0、0° < α < 90°としてR cos(x + α)の形に表しなさい。

答えを表示

√13 cos(x + 56.31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
7 cos x − 24 sin x をR cos(x + α)の形に表し、最大値も求めなさい。

答えを表示

25 cos(x + 73.74°)、最大値25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
0° ≤ x < 360°の範囲で、√3 sin x − cos x = 1を解きなさい。

答えを表示

x = 60° または x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
2 sin θ − 1.5 cos θ をR sin(θ − α)の形に表しなさい。αはラジアンで、小数第3位まで求めること。

答えを表示

2.5 sin(θ − 0.644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
5 sin x − 12 cos x + 20の最小値を求めなさい。

答えを表示

7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
0° ≤ x < 360°の範囲で、2 cos x − 3 sin x = 1を解きなさい。

答えを表示

x = 17.59° または x = 229.79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

3 sin x + 4 cos x の最大値は7ではなく5

3 sin x + 4 cos xを押してみましょう。破線の波はそれぞれ3と4まで上がりますが、位相が直角だけずれています。sin xが最大になるとき、cos xはちょうど零を通ります。重ねてできる波の振幅は5。辺の長さが3-4-5の直角三角形の、斜辺の長さです。この関係はベクトルの内積から説明できます。a sin x + b cos x は、ベクトル(a, b)と、xに応じて回転する単位ベクトル(sin x, cos x)の内積です。単位ベクトルとの内積は、互いの向きが一致するとき最大になり、その値は(a, b)の長さ√(a² + b²)に等しくなります。この例で向きが一致するのはx = 36.87°のとき。(sin x, cos x) = (0.6, 0.8)は、(3, 4)を5で割ったベクトルです。同じ周期の波を重ねると、同じ周期の波になります。だからこそ、Rとαで表せるのです。

比を逆にすると、もう一方の形のαが求まる

この種の問題でよくあるのが、tan α = b/aとすべきところをa/bにしてしまう間違いです。3 sin x + 4 cos xを押し、R sin(x + α)とR cos(x − α)を切り替えてみましょう。αは53.13°から36.87°に変わっても、実線のグラフは動きません。5 sin(x + 53.13°)も5 cos(x − 36.87°)も正しい表し方です。正弦と余弦には直角分の位相のずれがあり、53.13° + 36.87° = 90°だからです。比を逆にして求めたαは、もう一方の形なら正解。ただし、問題で指定された形にはなっていません。係数がどちらも零でないとき、αを鋭角にできる形は係数の符号で決まります。どちらも正なら二通り、片方だけが負なら一通り。どちらも負なら、そのような形はありません。

潮汐表をつくる三十七組のRとα

米国海洋大気庁（NOAA）は、マンハッタン南端のザ・バッテリーの潮位を、37本の余弦曲線を足し合わせて予測しています。それぞれが「分潮」と呼ばれ、振幅と位相で表されます。最も大きい主太陰半日周潮M2の振幅は0.671 m、角速度は毎時28.984104°。周期は12.42時間です。これらの定数は、実測した潮位から求めます。一か月分の観測で月と太陽による変動の大半を捉えられますが、37の分潮をすべて捉えるには一年かかります。正弦の項と余弦の項を合成し、振幅と位相で表すのは、このページで学ぶ操作そのものです。この形なら、分潮の働きもすぐに読み取れます。M2だけを考えると、潮位は平均より0.671 m高くなり、0.671 m低くなります。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

三角関数の合成

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

3 sin x + 4 cos x の最大値は7ではなく5 🖖

比を逆にすると、もう一方の形のαが求まる 🖖

潮汐表をつくる三十七組のRとα 🖖

3 sin x + 4 cos x の最大値は7ではなく5

比を逆にすると、もう一方の形のαが求まる

潮汐表をつくる三十七組のRとα