倍角の公式

Aを度数で指定するか、試験問題のように三角関数の値と象限で与えてみましょう。半円の中の三角形に、sin 2A、1 + cos 2A、1 − cos 2Aが長さとして現れます。Aが7.5°の整数倍なら、表には根号を使った正確な値も表示されます。「方程式」では、cos 2xやsin 2xと、sin xやcos xを含む方程式を、指定した範囲で解きます。式の形に応じた解法を確かめられます。

正弦	$\sin2A=2\sin A\cos A$
余弦の三通りの式	$\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}$
正接	$\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$

計算例 — 倍角の公式

倍角	60°
Aの正弦	0.5
Aの余弦	0.866
2Aの正弦	0.866
2Aの余弦を表す三通りの式	0.5
2Aの正接	1.7321
2Aから求めるAの正接	0.5774
2Aの余弦の正確な値	1/2

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レッスン

理論 — 倍角の公式

倍角の公式は、Aの三角関数の値からsin 2A、cos 2A、tan 2Aを求める公式です。逆にAの三角関数について解けば、半角の公式が得られます。

公式の導き方

加法定理でB = Aと置きます。正弦の式では二つの積が等しくなり、余弦の式は平方の差になります。
$\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$
一方の平方を、もう一方で表します。sin²A + cos²A = 1を使うと、cos 2Aを表す式がさらに二通り得られます。余弦だけの式と、正弦だけの式です。
$\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$
正弦を余弦で割り、正接を求めます。分子と分母をcos²Aで割るには、cos A ≠ 0が必要です。また、得られた式はtan²A = 1のとき値を持ちません。これはcos 2A = 0となる場合です。
$\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$
余弦の倍角の公式を、半角の値を求める形に変えます。cos²Aとsin²Aを求めたら、平方根の符号を選びます。その符号はAの象限におけるcos A、sin Aの符号で決まり、公式だけでは選べません。
$\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}$
方程式では、三角関数を一種類にそろえます。sin xの項があればcos 2x = 1 − 2sin²xを、cos xの項があればcos 2x = 2cos²x − 1を使います。sin 2xを展開して共通因数が現れたら、その因数で割らずにくくり出します。
$\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0$

全プロセスの詳細解説

正接の値と象限から、倍角の値を求める 4 ステップ
tan A = 3/4、180° < A < 270°のとき、sin 2A、cos 2A、tan 2Aの値と、2Aの属する象限を求めなさい。

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1. 辺の比が3：4：5の直角三角形から絶対値が分かります。第III象限では正弦も余弦も負なので、
  
  $\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}$
2. 倍角の公式を使います。正弦の式では、負の数どうしの積が正になります。
  
  $\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}$
3. 正接の倍角の公式には、tan Aの値だけを代入すれば十分です。
  
  $\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}$
4. 2Aは360°と540°の間にあり、正弦も余弦も正です。したがって、一回転した先の第I象限にあります。
  
  $360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0$
解答

sin 2A = 24/25 = 0.96、cos 2A = 7/25 = 0.28、tan 2A = 24/7 ≈ 3.4286。2A ≈ 433.7398°は第I象限にあります。

$\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}$
半角の公式で正確な値を求める 3 ステップ
cos 30°を使ってcos 15°の正確な値を求め、(√6 + √2)/4と等しいことを示しなさい。

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1. cos 2A = 2cos²A − 1でA = 15°と置き、cos²15°について解きます。
  
  $\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
2. 15°は鋭角なので、正の平方根を取ります。
  
  $\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
3. 加法定理から得られる値を二乗して比べます。どちらも正なので、二乗が等しければ元の値も等しくなります。
  
  $\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
解答

cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659。

$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659$
二次方程式から正接の正確な値を求める 3 ステップ
tan 45° = 1とtan 2Aの公式を使って、tan 22.5°の正確な値を求めなさい。

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1. t = tan 22.5°と置き、2A = 45°として倍角の公式に代入します。
  
  $\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0$
2. 二次方程式を解きます。
  
  $t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
3. 22.5°は鋭角なので、正接は正です。もう一方の解−1 − √2はtan 112.5°の値で、この角も倍にすると正接が1になります。半円の中の三角形を使っても、同じ値が求められます。
  
  $\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
解答

tan 22.5° = √2 − 1 ≈ 0.4142。

$\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142$
cos 2xの式を選ぶ 3 ステップ
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式cos 2x = sin xを解きなさい。

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1. もう一方の項が正弦なので、cos 2xを正弦だけの式で表します。
  
  $1-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0$
2. sin xについての二次式として因数分解します。
  
  $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1$
3. sin x = 1/2となるのは30°と180° − 30°、sin x = −1となるのは270°だけです。
  
  $x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
解答

x = 30°、150°、270°。cos²x − sin²xを使うと、方程式に余弦と正弦が両方残ってしまいます。

$x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
共通因数でくくって解を求める 3 ステップ
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式sin 2x = cos xを解きなさい。

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1. sin 2xを展開し、すべての項を片辺に移します。
  
  $2\sin x\cos x-\cos x=0$
2. 両方の項に共通するcos xをくくり出します。
  
  $\cos x\,(2\sin x-1)=0$
3. 積が0になるのは、少なくとも一方の因数が0のときです。
  
  $\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}$
解答

x = 30°、90°、150°、270°。最初の式でcos xで割ると、得られるのは30°と150°だけです。cos x ≠ 0を仮定したために、cos x = 0となる解が失われます。

$x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
二乗を倍角で表して積分する 3 ステップ
sin²xをcos 2xで表し、それを使ってsin²xの0からπ/2までの定積分の正確な値を求めなさい。
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1. cos 2x = 1 − 2sin²xを変形します。
  
  $\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x$
2. この形なら、各項を積分できます。
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}$
3. sin π = sin 0 = 0なので、値が残るのはx/2の項だけです。
  
  $=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$
解答

定積分の値はπ/4 ≈ 0.7854です。この範囲でのsin²xの平均値が1/2なので、区間の長さの半分になります。

$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
半角の公式を証明する 3 ステップ
両辺が定義される範囲でsin 2A/(1 + cos 2A) = tan Aが成り立つことを証明し、A = 30°で確かめなさい。

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1. 分子と分母に共通因数が現れるように、倍角の公式を選んで代入します。
  
  $\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}$
2. tan Aが定義される範囲では2 cos A ≠ 0なので、2 cos Aで約分できます。
  
  $=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$
3. A = 30°を代入すると、
  
  $\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}$
解答

sin 2A/(1 + cos 2A) = tan Aが成り立ちます。30°では両辺とも√3/3 ≈ 0.5774です。半円の図では、Pの高さを、直径が分けられたうちの長いほうの長さで割った値にあたります。

$\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A$

補充問題（答えのみ）

tan A = 2で、Aは鋭角です。tan 2Aを求めなさい。

答えを表示

−4/3

$\tan2A=-\tfrac{4}{3}$
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式cos 2x + 3 cos x + 2 = 0を解きなさい。

答えを表示

x = 120°、180°、240°

$x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}$
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式sin 2x = sin xを解きなさい。

答えを表示

x = 0°、60°、180°、300°

$x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}$
sin 22.5°の正確な値を求めなさい。

答えを表示

√(2 − √2)/2 ≈ 0.3827

$\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
cos A = 1/3で、Aは第IV象限にあります。sin 2Aとcos 2Aの正確な値を求めなさい。

答えを表示

sin 2A = −4√2/9 ≈ −0.6285、cos 2A = −7/9

$\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}$
cos 3A = 4cos³A − 3cos Aを証明しなさい。

答えを表示

加法定理でcos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin Aと展開し、cos 2Aに2cos²A − 1、sin 2Aに2 sin A cos Aを代入します。さらにsin²A = 1 − cos²Aを使って整理します。

$\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A$

倍角の公式が見える、半円の中の三角形

直径の両端W、Eと、円周上で中心角2Aに対応する点Pを結びます。弦WPと直径がWでなす角はA。これは、同じ弧に対する円周角が中心角の半分になるという円周角の定理によります。ユークリッドの『原論』ではIII.20にあたります。三角形WPEはPを直角とする直角三角形で（III.31）、斜辺は長さ2の直径です。したがって、WP = 2 cos A、EP = 2 sin A。ここから図の各部分を測ってみましょう。Pの高さはWP · sin A = 2 sin A cos Aであり、同時にsin 2Aでもあります。Pから直径に下ろした垂線の足をFとすると、WF = WP · cos A = 2cos²A、FE = EP · sin A = 2sin²Aです。この二つは、それぞれ1 + cos 2Aと1 − cos 2Aにもなります。高さをWFで割れば、tan A = sin 2A/(1 + cos 2A)。代数計算をせずに半角の公式が得られました。A = 90°を越えると弦WPの向きが変わり、2 cos Aは負になります。向きに応じた符号を含めて測れば、これらの関係はどの角でも成り立ちます。

cos xで割ると、解の半分が失われる

sin 2x = cos xを押してみましょう。2 sin x cos x = cos xと書くと、cos xを消したくなります。すると2 sin x = 1から、30°と150°が得られます。ところが、このページに表示される解は四つ。90°と270°でもcos x = 0となり、両辺はともに0です。cos xを消す操作は、cos xで割ることにほかなりません。割れるのはcos xが0でないときだけなので、その操作で除外した角が、そのまま失われた解なのです。すべての項を片辺に移し、共通因数でくくれば、cos x(2 sin x − 1) = 0。積が0になるのは、少なくとも一方の因数が0のときです。sin 2x = sin xでも同じことが起こります。sin xで割ると、0°と180°が失われます。

sin²xの平均は1/2。交流電圧の定格値が最大値より小さい理由

cos 2x = 1 − 2sin²xをsin²xについて解くと、sin²x = 1/2 − (1/2) cos 2x。正弦波を二乗すると、1/2を中心に、元の倍の速さ、半分の振幅で振動する波になります。周期の整数倍にわたって平均を取れば、余弦の項の平均は0なので、sin²xの平均はちょうど1/2です。抵抗で生じる熱は電圧の二乗に比例します。そのため、交流電圧V₀ sin ωtによる発熱は、直流電圧V₀/√2による発熱と等しくなります。この、発熱の等しい直流電圧に相当する値が実効値で、機器の銘板に記される電圧です。ヨーロッパの商用電源の定格電圧は230 V。実際の電圧は最大で230√2 ≈ 325 Vに達し、毎秒50回の周期で変動します。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (3)

The double-angle formulae with all three forms of cos 2θ, the half-angle formulae with their quadrant sign and tan(α/2) = sin α/(1 + cos α), and the power-reducing formulae: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.3, “Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas”.
Insight block 1: the angle at the centre is double the angle at the circumference on the same arc, which puts A at W when 2A is at the centre: Euclid, Elements, Book III, Proposition 20. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Insight block 1: the angle in a semicircle is a right angle, so WPE is right-angled at P: Euclid, Elements, Book III, Proposition 31. D. E. Joyce (ed.), Clark University.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

倍角の公式

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

倍角の公式が見える、半円の中の三角形 🖖

cos xで割ると、解の半分が失われる 🖖

sin²xの平均は1/2。交流電圧の定格値が最大値より小さい理由 🖖

倍角の公式が見える、半円の中の三角形

cos xで割ると、解の半分が失われる

sin²xの平均は1/2。交流電圧の定格値が最大値より小さい理由