等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機

運動方程式を解く — 3つ入力すれば残り2つがわかる

速度は毎秒 a ずつ変化する	$v=u+at$
変位：v-t グラフの下側の面積	$\begin{gathered}s=ut+\tfrac12at^{2},\qquad s=vt-\tfrac12at^{2}\\ s=\tfrac12(u+v)\,t\end{gathered}$
時間を含まない関係式	$v^{2}=u^{2}+2as$

計算例 — 等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機

変位 (s)	36 m
最終速度 (v)	13 m/s

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機

等加速度のもとで直線上を進む運動は、変位 s、初速度 u、速度 v、加速度 a、時間 t という五つの量で記述されます。通常はこのうち三つが決まれば、残りの二つも自ずと定まります。例外は、s、u、a から t を求める場合です。二次方程式となるため、投げ上げたボールがある高さを二度通過することもあれば、そこへ一度も届かないこともあります。

各記号の意味

s: 直線上で出発点から測った符号付きの位置の変化（変位）。移動した道のりではありません
u: 区間の開始時における速度（初速度）
v: 区間の終了時における速度（終速度）
a: 区間全体を通じて一定の加速度
t: 区間の経過時間

公式の導き方

等加速度とは、速度が毎秒同じ量ずつ変化することです。t 秒後には at だけ変化します。上のグラフでは、これは傾き a の直線として表されます。
$v=u+at$
変位は、v-t グラフの直線が囲む面積に等しくなります。この面積は、平行な対辺の長さが u と v、幅が t の台形です。
$s=\tfrac12(u+v)\,t$
第1の式を第2の式に代入すると、v が消去されます。長方形の面積 ut は初速度のまま進んだ距離を、三角形の面積 ½at² は加速度によって上乗せされた距離を表しています。
$s=\tfrac12\bigl(u+(u+at)\bigr)\,t=ut+\tfrac12at^{2}$
代わりに t を消去してみましょう。ステップ1から t = (v − u)/a が得られ、これをステップ2に代入すれば時間は一切残りません。v が2乗の形で現れるため、この式からはふたつの速度が得られることがあります。
$s=\tfrac12(u+v)\cdot\frac{v-u}{a}=\frac{v^{2}-u^{2}}{2a}\ \Rightarrow\ v^{2}=u^{2}+2as$
数値を書き出す前に、必ず正の向きを定めます。直線上において s、u、v、a はそれぞれ正負の符号を持ちますが、時間 t に符号はありません。鉛直上向きを正にとるなら、重力加速度は a = −9.81 m/s² です。
$\uparrow{+}:\quad a=-g=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}}$

前提: 区間を通じて加速度が一定であり、運動が一本の直線上にとどまることを前提としています。加速度が変化する運動では行程を複数の区間に分割し、区間ごとに五つの量を当てはめて考えます（問題8）。

なぜ文字は5つなのに、独立した式は2つだけなのか

SUVATの五文字はそれぞれ独立した事実のように見えて、実はそうではありません。どの公式も、基本となる v=u+at と s=ut+½at² を書き換えたものにすぎず、残りの三式（s=(u+v)/2·t、v²=u²+2as、s=vt-½at²）も一方を他方に代入すればそのまま導けます。3つの値が決まれば残りの2つが定まるのはそのためで、実質的に解いているのは2つの未知数に対する2本の方程式にすぎません。唯一の例外は、s=ut+½at² において t が未知の場合です。二次方程式となるため、ボールが2回通過で見られるように二つの時刻が得られるか、あるいは解なし（その高さに届かない）となります。

ガリレオの奇数の法則

微積分が体系化されるはるか前、ガリレオは、静止状態から加速する物体が等しい時間間隔ごとに進む距離の比が 1 : 3 : 5 : 7、すなわち常に奇数の列になることを見抜いていました。これらを順に足し合わせると、合計は 1, 4, 9, 16 と平方数の並びになります。s = ½at² となる理由は、まさにここにあります。斜面を転がる球の実験からこれを見出したガリレオは、ニュートンの『プリンキピア』に先立つこと半世紀、1638年にこの成果を公表しました。

運動学の理論 — 5つの運動方程式

SUVAT方程式の選び方：どの文字が欠けているか

等加速度運動は5つの量を結びつけます — 変位 s、初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t。問題はいつも3つを与え、4つ目を尋ねます。下の各式はちょうど1文字を含みません。必要な式は、あなたが知らず、かつ求めてもいない量を含まない式です。

s なし — v, u, a, t を使う v = u + at

v なし — s, u, a, t を使う s = ut + ½at²

a なし — s, u, v, t を使う s = ½(u + v)t

t なし — s, u, v, a を使う v² = u² + 2as

u なし — s, v, a, t を使う s = vt − ½at²

s なし — v, u, a, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t のうち3つ。変位はまったく現れません。

式: v = u + at

計算例: u = 25 m/s、v = 0、t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

この場合を開く: 停止までのブレーキ

s なし — v, u, a, t を使う. 速度-時間グラフ：v は時間 t 後の直線の高さ。変位は関係しません。初速度 u、終速度 v、加速度 a、時間 t のうち3つ。変位はまったく現れません。 — 速度-時間グラフ：v は時間 t 後の直線の高さ。変位は関係しません。

v なし — s, u, a, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、加速度 a、時間 t。求めるのは進んだ距離であって、終速度ではありません。

式: s = ut + ½at²

計算例: u = 0、a = 9.81 m/s²、t = 3 s → s = 0 + ½ · 9.81 · 3² = 44.1 m

この場合を開く: 静止状態からの落下

v なし — s, u, a, t を使う. 直線の下の面積は、長方形 ut と三角形 ½at² に分かれます。初速度 u、加速度 a、時間 t。求めるのは進んだ距離であって、終速度ではありません。 — 直線の下の面積は、長方形 ut と三角形 ½at² に分かれます。

a なし — s, u, v, t を使う

与えられるもの: 初速度 u、終速度 v、時間 t。加速度は未知、あるいはそもそも問題になりません。

式: s = ½(u + v)t

計算例: u = v = 12 m/s、t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

この場合を開く: 等速運動

a なし — s, u, v, t を使う. 台形の面積：u と v の平均に t を掛けたもの。初速度 u、終速度 v、時間 t。加速度は未知、あるいはそもそも問題になりません。 — 台形の面積：u と v の平均に t を掛けたもの。

t なし — s, u, v, a を使う

与えられるもの: 変位 s、2つの速度のうち一方、そして加速度。時計は一度も動かしません。

式: v² = u² + 2as

計算例: s = 5 m、u = 15 m/s、a = −9.81 m/s² → v² = 225 − 98.1、つまり v = ±11.3 m/s

この場合を開く: ボールが2回通過

t なし — s, u, v, a を使う. 同じ高さ、2つの速度：± は上昇と下降を表します。変位 s、2つの速度のうち一方、そして加速度。時計は一度も動かしません。 — 同じ高さ、2つの速度：± は上昇と下降を表します。

u なし — s, v, a, t を使う

与えられるもの: 終速度 v、加速度 a、時間 t。初速度は未知で、必要もありません。

式: s = vt − ½at²

計算例: v = 0、a = −3 m/s²、t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937.5 m

この場合を開く: 着陸滑走

u なし — s, v, a, t を使う. 終点から逆算：vt から減速が削り取る分を引いたもの。終速度 v、加速度 a、時間 t。初速度は未知で、必要もありません。 — 終点から逆算：vt から減速が削り取る分を引いたもの。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

全プロセスの詳細解説

5 m/s で出発し 2 m/s² で加速する車 5 ステップ
自動車が 5 m/s で発進し、2 m/s² で 4 秒間加速する。最終的な速度と移動距離を求めよ。さらに、中間地点を通過する時刻を求めよ（この時刻は経過時間の半分ではない）。

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1. まず速度を求める。これは加速度の定義式を変形したものであり、得られる速度の増加分は加速度と時間の積に等しいためである。
  
  $v=u+at=5+2(4)=13\ \mathrm{m/s}$
2. 変位は、初速度のまま 4 秒間移動した場合の距離に、加速度によって加わる距離を足し合わせたものである。この 2 つの項は 20 m と 16 m であり、まだ一方のみが支配的というわけではない。
  
  $s=ut+\tfrac12at^2=5(4)+\tfrac12(2)(16)=20+16=36\ \mathrm{m}$
3. 次に、時間 t を含まない公式で確認する。両辺はともに 169 となるが、これは新しい事実ではない。最初の 2 つの公式から t を消去したものに過ぎないため、両辺の一致は当然であり、不一致は計算上の誤りを意味する。
  
  $v^2=u^2+2as:\quad 169=25+2(2)(36)=25+144=169\ \checkmark$
4. 平均速度は始点と終点の速度の平均となるが、これが成り立つのは加速度が一定である場合に限られる。これに時間を掛けると、同じ変位が再び得られる。
  
  $\bar v=\frac{u+v}{2}=\frac{5+13}{2}=9\ \mathrm{m/s},\qquad 9\times4=36\ \mathrm{m}$
5. 次に中間地点を考える。距離の半分は 18 m であり、二次方程式を解くとその時刻は 2 s ではなく 2.424 s と求まる。t = 2 s の時点で、自動車は 36 m のうち 14 m しか進んでいない。
  
  $5t+t^2=18\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-5+\sqrt{97}}{2}=2.424\ \mathrm{s}$
解答

ツールは s = 36 m および v = 13 m/s と出力する。ステップ 5 は特に覚えておくべき内容である。加速運動においては、時間の半分と距離の半分は異なる瞬間であり、加速する道のりの後半は常に前半よりも早く通過する。距離に基づいて追い越しを計画したときに感覚のズレが生じるのはこのためである。目に見える車間距離は、空間的に詰まるのではなく、残された時間において詰まるからだ。ステップ 3 はもう一つの重要な教訓を示している。5 つの SUVAT 公式に対して独立した事実は 2 つだけであるため、3 つ目の公式は計算の正しさを検証できても、新しい情報を追加することは決してない。

$t=2\ \mathrm{s}\to s=14\ \mathrm{m};\qquad s=18\ \mathrm{m}\to t=2{.}424\ \mathrm{s}$
一定の距離で停止する 4 ステップ
20 m/s で走る自動車が一定の加速度でブレーキをかけ、50 m 進んで停止しました。加速度と、停止するまでにかかる時間はどれだけでしょうか。

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1. 進行方向を正として、基本となる五つの量を書き出します。停止するので v = 0。時間はわからないため、t を含まない式から始めます：
  
  $s=50\ \mathrm{m},\quad u=20\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=?,\quad t=?$
2. v² = u² + 2as を a について解きます：
  
  $a=\frac{v^{2}-u^{2}}{2s}=\frac{0-20^{2}}{2(50)}=-4\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. 時間は平均の速度から求められます。加速度の値すら不要です：
  
  $t=\frac{2s}{u+v}=\frac{2(50)}{20+0}=5\ \mathrm{s}$
4. 加速度の定義式で確かめます：
  
  $v=u+at=20+(-4)(5)=0\ \checkmark$
解答

a = −4 m/s²、t = 5 s。負の符号は、加速度が進行方向と逆向きであることを示しています。同じブレーキを 40 m/s で踏んだ場合、v² = u² + 2as より停止距離は 4 倍の 200 m に達します。制動距離は速度の2乗に比例して伸びるのです。

$a=-4\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad t=5\ \mathrm{s}$
静止からの発進：距離と時間 3 ステップ
短距離走者が静止状態からスタートし、等加速度で最初の 20 m を 3.2 s で駆け抜けました。加速度と、20 m 地点での速さはいくらでしょうか。

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1. 五つの量を整理します。静止からのスタートなので u = 0。終速度 v はここでは問われていないため、v を含まない式を使います：
  
  $s=20\ \mathrm{m},\quad u=0,\quad t=3{.}2\ \mathrm{s},\quad a=?,\quad v=?$
2. s = ut + ½at² を a について解きます：
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}\ \Rightarrow\ a=\frac{2(s-ut)}{t^{2}}=\frac{2(20-0)}{3{.}2^{2}}=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. 続いて加速度の定義から、速さを求めます：
  
  $v=u+at=0+3{.}906\times3{.}2=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
解答

a = 3.906 m/s²、v = 12.5 m/s。終速度は、平均の速さ 20/3.2 = 6.25 m/s のちょうど2倍になります。静止からの等加速度運動では常にこれが成り立ちます。0 と v の平均は、いつでも v/2 だからです。

$a=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad v=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
鉛直投げ上げ：最高点 4 ステップ
小球を 14 m/s で真上に投げ上げました。投げ上げた位置から測ってどれだけの高さまで達し、そこに至るまでにどれだけの時間がかかるでしょうか。空気抵抗は無視します。

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1. 鉛直上向きを正にとると、重力加速度は a = −9.81 m/s² です。最高点では球が一瞬静止するため、これが三つ目の既知量になります：v = 0。
  
  $u=14\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad s=?,\quad t=?$
2. 時間は加速度の定義式から求まります：
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{0-14}{-9{.}81}=1{.}427\ \mathrm{s}$
3. 高さは、平均の速度（14 m/s の半分）にその時間を掛けて得られます：
  
  $s=\tfrac12(u+v)\,t=\tfrac12(14+0)(1{.}427)=9{.}99\ \mathrm{m}$
4. 時間を含まない式で確かめます：
  
  $v^{2}=u^{2}+2as:\quad 0=14^{2}+2(-9{.}81)\,s\ \Rightarrow\ s=\frac{196}{19{.}62}=9{.}99\ \mathrm{m}\ \checkmark$
解答

投射点から 9.99 m の高さ、到達時間は 1.427 s。最高点において、速度はゼロですが加速度はゼロではありません。飛行中のどの瞬間とも同じく −9.81 m/s² の加速度が働き続けているからこそ、球は再び落下へと転じるのです。

$s=9{.}99\ \mathrm{m},\qquad t=1{.}427\ \mathrm{s}$
同じ高さを二度通る運動 3 ステップ
小球を 15 m/s で真上に投げ上げました。投射点より 5.0 m 高い位置を通過するのはいつでしょうか。また、そのときの速さはそれぞれいくらでしょうか。

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1. 上向きを正とします。s = 5.0、u = 15、a = −9.81 であり、求めたいのは v と t です。まずは t を含まない式から取りかかりましょう：
  
  $v^{2}=u^{2}+2as=15^{2}+2(-9{.}81)(5{.}0)=126{.}9$
2. 平方根には正と負のふたつの符号があり、ここではどちらも実際の運動に対応しています。上昇時の +11.26 m/s と、下降時の −11.26 m/s です。
  
  $v=\pm\sqrt{126{.}9}=\pm11{.}26\ \mathrm{m/s}$
3. それぞれの速度から、対応する時刻が得られます：
  
  $t=\frac{v-u}{a}:\qquad\frac{11{.}26-15}{-9{.}81}=0{.}3807\ \mathrm{s},\qquad\frac{-11{.}26-15}{-9{.}81}=2{.}677\ \mathrm{s}$
解答

0.3807 s（上昇中、速さ 11.26 m/s）と、2.677 s（下降中、速さ 11.26 m/s）。ふたつの時刻は、最高点に達する 15/9.81 = 1.529 s を挟んで対称に位置します。速さも互いに等しく、落下する球は、上昇時にその高さを通過したときとまったく同じ速さで通過するのです。グラフ上の両方の線を見るには、ボールが2回通過を押してください。

$t=0{.}3807\ \mathrm{s}\ (v=+11{.}26),\qquad t=2{.}677\ \mathrm{s}\ (v=-11{.}26)$
崖からの投射：不要な解を捨てる 4 ステップ
高さ 45 m の崖の端から小石を上向きに 10 m/s で投げ上げたところ、崖のふもとに落下しました。小石が空中にあった時間と、着地する瞬間の速さはいくらでしょうか。

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1. 上向きを正とし、変位は投射点を基準に測ります。崖のふもとはスタート地点より下にあるため、s は負の値になります：
  
  $s=-45\ \mathrm{m},\quad u=10\ \mathrm{m/s},\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad v=?,\quad t=?$
2. まずは t を含まない式から速度を求めます。着地時に石は落下しているので、負の平方根をとります：
  
  $v=-\sqrt{u^{2}+2as}=-\sqrt{10^{2}+2(-9{.}81)(-45)}=-\sqrt{982{.}9}=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
3. 続いて時間を求めます：
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{-31{.}35-10}{-9{.}81}=4{.}215\ \mathrm{s}$
4. s = ut + ½at² を t について直接解くと、2次方程式からふたつの解が得られます。負の解は投射前の時刻、もし同じ放物線を描いて地表から打ち上げられていたなら通過していたはずの過去の瞬間を表しており、今回の問題には適しません：
  
  $-45=10t-4{.}905t^{2}\ \Rightarrow\ t=\frac{10\pm\sqrt{982{.}9}}{9{.}81}:\qquad t=4{.}215,\quad t=-2{.}176$
解答

滞空時間は 4.215 s、着地直前の速度は下向きに 31.35 m/s。上向きを正としたまま s = +45 と入力すると、実数解なしと判定されます。これは当然で、初速 10 m/s で投げ上げた石が崖の上 45 m まで届くことはあり得ないからです。

$t=4{.}215\ \mathrm{s},\qquad v=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
追跡：ひとつの時計、ふたつの運動 3 ステップ
信号待ちをしていた自動車が、青信号と同時に 3.0 m/s² の加速度で発進しました。その瞬間、15 m/s の一定速度で走るトラックが横を追い抜いていきます。自動車がトラックに追いつくのはいつ、どこでしょうか。また、そのときの自動車の速さはいくらでしょうか。

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1. ふたつの運動は、ひとつの時計と同じスタートラインを共有しています。時間 t が経過したときのそれぞれの変位を表しましょう：
  
  $s_{\mathrm{car}}=\tfrac12(3{.}0)\,t^{2},\qquad s_{\mathrm{truck}}=15\,t$
2. 「追いつく」とは、同じ時刻に同じ変位に達することです：
  
  $\tfrac12(3{.}0)\,t^{2}=15\,t\ \Rightarrow\ t\,(1{.}5\,t-15)=0\ \Rightarrow\ t=0,\quad t=10\ \mathrm{s}$
3. t = 0 は、両者が並んでいたスタートの瞬間を表します。t = 10 s での自動車は u = 0、a = 3.0、t = 10 という標準的な等加速度運動として扱えます：
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}=0+\tfrac12(3{.}0)(10)^{2}=150\ \mathrm{m},\qquad v=u+at=0+3{.}0(10)=30\ \mathrm{m/s}$
解答

10 s 後、信号から 150 m の地点で、自動車の速さは 30 m/s。これはトラックの速さのちょうど2倍です。静止状態からの追跡であれば、いつでもこの関係が成り立ちます。追いつくまでのあいだ、自動車の平均の速さはトラックの速さと一致し、静止からの加速では平均の速さが終速度のちょうど半分になるからです。

$t=10\ \mathrm{s},\qquad s=150\ \mathrm{m},\qquad v_{\mathrm{car}}=30\ \mathrm{m/s}=2\,v_{\mathrm{truck}}$
三つの区間を面積で読み解く 3 ステップ
列車が静止状態から出発し、0.50 m/s² の等加速度で 40 s 加速したあと、2.0 分間等速走行を続け、最後に一定の減速をして 25 s で停止しました。全走行距離と、全行程での平均の速さを求めます。
解答を表示
1. 運動は三つの区間に分かれ、それぞれに五つの量が存在します。第1区間の終わりの速さが、第2区間の速さとなり、第3区間の初速度になります：
  
  $v_1=u+at=0+0{.}50(40)=20\ \mathrm{m/s}$
2. 各区間の移動距離は、v-t グラフの下にある図形の面積（三角形、長方形、三角形）に一致します。
  
  $s_1=\tfrac12(20)(40)=400,\qquad s_2=20\times120=2400,\qquad s_3=\tfrac12(20)(25)=250\ \mathrm{m}$
3. 平均の速さは、全行程の移動距離を全体の所要時間で割って求めます。各区間の速さの平均値ではない点に注意してください：
  
  $\bar v=\frac{400+2400+250}{40+120+25}=\frac{3050}{185}=16{.}49\ \mathrm{m/s}$
解答

全走行距離 3,050 m、平均の速さ 16.49 m/s。ブレーキ時の減速度 20/25 = 0.80 m/s² は、計算に使うまでもありませんでした。三角形の面積を求めるのに必要なのは、底辺と高さだけだからです。

$s=3050\ \mathrm{m},\qquad\bar v=16{.}49\ \mathrm{m/s}$

補充問題（答えのみ）

自転車が 4.0 m/s から 10 m/s まで、5.0 s かけて等加速度で加速しました。加速度と移動距離を求めましょう。

答えを表示

1.2 m/s²、35 m。

$a=\frac{10-4{.}0}{5{.}0}=1{.}2\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad s=\tfrac12(4{.}0+10)(5{.}0)=35\ \mathrm{m}$
飛行機が離陸するには 75 m/s の速度に達する必要があり、静止状態から 2.5 m/s² の等加速度で加速します。離陸に使える最短の滑走路長と、離陸滑走にかかる時間を求めましょう。

答えを表示

1,125 m、時間は 30 s。

$s=\frac{v^{2}}{2a}=\frac{75^{2}}{2(2{.}5)}=1125\ \mathrm{m},\qquad t=\frac{75}{2{.}5}=30\ \mathrm{s}$
井戸に静かに落とした石が、2.4 s 後に水面に達しました。音が水面から戻ってくる時間を無視すると、井戸のふちから水面までの距離はどれだけでしょうか。

答えを表示

28.25 m。

$s=\tfrac12(9{.}81)(2{.}4)^{2}=28{.}25\ \mathrm{m}$
真上に投げ上げた球が、3.0 s 後に投げた人の手に戻ってきました。初速度と、達した最高の高さを求めましょう。

答えを表示

14.72 m/s、最高点 11.04 m。運動の対称性から、最高点に達する時刻は 1.5 s です。

$u=9{.}81\times1{.}5=14{.}72\ \mathrm{m/s},\qquad h=\frac{u^{2}}{2g}=11{.}04\ \mathrm{m}$
30 m/s で走行中のドライバーが危険を察知し、0.80 s 後に 6.0 m/s² の加速度でブレーキをかけました。危険が現れた瞬間から完全に停止するまでに、車は何メートル進むでしょうか。

答えを表示

99 m（ブレーキがかかるまでに 24 m、ブレーキ作動中に 75 m）。

$30(0{.}80)+\frac{30^{2}}{2(6{.}0)}=24+75=99\ \mathrm{m}$
6.0 m/s で運動している質点が、−2.0 m/s² の一定の加速度を受けています。出発点から 5.0 m の位置に来るのは何秒後でしょうか。

答えを表示

1.0 s 後と 5.0 s 後に前方 5.0 m、6.742 s 後に後方 5.0 m。

$\pm5{.}0=6{.}0\,t-t^{2}:\qquad t=1{.}0,\ 5{.}0;\qquad t=3+\sqrt{14}=6{.}742\ \mathrm{s}$

学習の道すじ

物を投げること

YouTube (1)

Numberphile·Zeno's Paradox

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。