Demonstração de Identidades Trigonométricas

Escreva a proposição na forma membro esquerdo ≡ membro direito e desenvolva o raciocínio linha a linha, com cada expressão estritamente igual à anterior. Cada passo é avaliado em 64 ângulos distribuídos por uma volta inteira: surge um visto quando as duas linhas coincidem onde quer que estejam definidas, uma cruz no primeiro ângulo em que divirjam e um aviso se uma linha deixar de estar definida no domínio da proposição. Os botões inserem funções, potências e raízes.

Em senos e cossenos	$\begin{gathered}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{gathered}$
Quadrados do seno e do cosseno	$\begin{gathered}\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\\ 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x\end{gathered}$
1 ± sen x num denominador	$(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^{2}x$
Diferença de dois quadrados	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Exemplo resolvido — Demonstração de Identidades Trigonométricas

membro direito	64 ângulos testados

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Demonstração de Identidades Trigonométricas

Demonstrar uma identidade é provar que duas expressões assumem o mesmo valor em todos os ângulos onde ambas estejam definidas, através de uma cadeia de igualdades de um membro ao outro.

De onde vem a fórmula

Comece pelo membro mais complexo, habitualmente o que reúne mais termos, frações ou fórmulas de soma e arco duplo: há mais por onde simplificar.
$\tan x+\cot x=\cdots=\sec x\csc x$
Converta para senos e cossenos sempre que surgirem tangentes, secantes, cossecantes ou cotangentes: recorra a tan x = sin x/cos x e às respetivas inversas.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\quad\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}$
Recorra à álgebra elementar: denominador comum, diferença de quadrados ou o conjugado 1 − sin x para produzir 1 − sin²x.
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x$
Substitua por identidades conhecidas onde for oportuno: a relação fundamental sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x e as fórmulas da soma e do ângulo duplo.
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\qquad1+\tan^{2}x=\sec^{2}x,\qquad1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
Termine no outro membro, com a sua escrita exata. Cada linha equivale à anterior onde ambas estiverem definidas; logo, a primeira é igual à última, desde que nenhum passo crie indeterminações onde a proposição inicial estava definida. Jamais eleve ambos os membros ao quadrado: a potenciação apaga o sinal, e uma afirmação falsa pode perfeitamente resultar numa verdadeira.
$f_{0}=f_{1}=f_{2}=\cdots=f_{n}\ \Rightarrow\ f_{0}\equiv f_{n}$

Problemas resolvidos na íntegra

Passagem a senos e cossenos 3 passos
Demonstre que tan x + cot x ≡ sec x csc x.

Abrir este problema na ferramenta
1. Escreva o membro esquerdo em senos e cossenos:
  
  $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Some as frações com o denominador comum sin x cos x:
  
  $=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}$
3. O numerador vale 1 e a definição das razões inversas conclui:
  
  $=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\csc x$
Resposta

tan x + cot x ≡ sec x csc x, sempre que sin x e cos x sejam ambos não nulos. A ferramenta confirma a igualdade em todos os seus 64 ângulos.

$\tan x+\cot x\equiv\sec x\csc x$
Diferença de quadrados 2 passos
Demonstre que cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. A expressão cos⁴x − sin⁴x é uma diferença de quadrados, de cos²x e sin²x:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)$
2. O segundo fator vale 1 e o primeiro é a fórmula do ângulo duplo:
  
  $=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot1=\cos2x$
Resposta

cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x para qualquer x.

$\cos^{4}x-\sin^{4}x\equiv\cos2x$
Multiplicação pelo conjugado 2 passos
Demonstre que (1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x).

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Multiplique o numerador e o denominador por 1 − sin x para obter uma diferença de quadrados no numerador:
  
  $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}$
2. Como 1 − sin²x = cos²x, simplifica-se um fator cos x:
  
  $=\frac{\cos^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Resposta

(1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x), onde quer que cos x ≠ 0 e sin x ≠ 1.

$\frac{1+\sin x}{\cos x}\equiv\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Fórmulas da soma e do ângulo duplo combinadas 3 passos
Demonstre que sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Escreva 3x = 2x + x e desenvolva com a fórmula da soma de ângulos:
  
  $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$
2. Aplique as fórmulas do ângulo duplo, escolhendo para cos 2x a forma apenas em senos:
  
  $=2\sin x\cos^{2}x+(1-2\sin^{2}x)\sin x$
3. Substitua cos²x por 1 − sin²x e agrupe os termos semelhantes:
  
  $=2(1-\sin^{2}x)\sin x+\sin x-2\sin^{3}x=3\sin x-4\sin^{3}x$
Resposta

sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x para qualquer x.

$\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^{3}x$
Uma proposição falsa e onde ela quebra 3 passos
A igualdade √(1 − cos²x) = sin x é uma identidade? Se não for, indique um ângulo onde falhe e corrija-a.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. O primeiro passo é uma identidade válida:
  
  $\sqrt{1-\cos^{2}x}=\sqrt{\sin^{2}x}$
2. A raiz quadrada de um quadrado é o módulo, não o próprio número:
  
  $\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|$
3. Assim, a igualdade falha onde quer que sin x < 0. No primeiro contraexemplo testado:
  
  $x=264{.}98^{\circ}:\quad|\sin x|=0{.}9962,\qquad\sin x=-0{.}9962$
Resposta

Não. Falha ao longo de 180° < x < 360°, por exemplo aos 264,98°, onde os dois membros valem 0,9962 e −0,9962. A identidade correta é √(1 − cos²x) = |sin x|.

$\sqrt{1-\cos^{2}x}\equiv|\sin x|$
Demonstrar e, em seguida, resolver 3 passos
Demonstre que (1 − cos 2x)/sin 2x ≡ tan x e, em seguida, resolva (1 − cos 2x)/sin 2x = √3 para 0° < x < 360°.
Mostrar solução
1. Use a forma de cos 2x que reduz 1 − cos 2x a um único termo e aplique a fórmula do seno do dobro:
  
  $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\frac{1-(1-2\sin^{2}x)}{2\sin x\cos x}=\frac{2\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\tan x$
2. A equação passa a tan x = √3, sendo 180° o período da tangente:
  
  $\tan x=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x=60^{\circ},\quad x=60^{\circ}+180^{\circ}=240^{\circ}$
3. Verifique que sin 2x ≠ 0 em ambas as soluções, de modo que o membro esquerdo esteja definido:
  
  $\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0,\qquad\sin480^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0$
Resposta

x = 60° ou x = 240°.

$x=60^{\circ},\ 240^{\circ}$
Descobrir o erro 2 passos
Um aluno escreve cos⁴x − sin⁴x = (cos²x − sin²x)² = cos 2x. Descubra o erro.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. O primeiro passo trata a diferença de quadrados como se fosse o quadrado da diferença:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x\ \ne\ (\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}$
2. As duas expressões não são iguais. Aos 42,49°, no primeiro ângulo assinalado pela ferramenta:
  
  $x=42{.}49^{\circ}:\quad\cos^{4}x-\sin^{4}x=0{.}0874,\qquad(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}=0{.}0076$
Resposta

O passo 1 está incorreto: a² − b² = (a − b)(a + b) e não (a − b)². O membro direito obtido é cos²2x; logo, a dedução nada prova, ainda que a proposição inicial seja verdadeira.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\ne(a-b)^{2}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Demonstre que 1/(1 − sin x) + 1/(1 + sin x) ≡ 2 sec²x.

Mostrar resposta

Denominador comum 1 − sin²x = cos²x; os numeradores somam 2.

$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin^{2}x}=\frac{2}{\cos^{2}x}=2\sec^{2}x$
Demonstre que (sin x + cos x)² ≡ 1 + sin 2x.

Mostrar resposta

Desenvolvendo: sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.

$(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$
Demonstre que sec⁴x − tan⁴x ≡ sec²x + tan²x.

Mostrar resposta

Fatorize como (sec²x − tan²x)(sec²x + tan²x), lembrando que sec²x − tan²x = 1.

$\sec^{4}x-\tan^{4}x=(\sec^{2}x-\tan^{2}x)(\sec^{2}x+\tan^{2}x)=\sec^{2}x+\tan^{2}x$
Demonstre que cot x − tan x ≡ 2 cot 2x.

Mostrar resposta

Sobre sin x cos x, o numerador é cos²x − sin²x = cos 2x, e sin x cos x = ½ sin 2x.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}=2\cot2x$
A relação sin x/(1 + cos x) ≡ (1 − cos x)/sin x é uma identidade?

Mostrar resposta

Sim, onde ambos os membros estejam definidos: multiplique o numerador e o denominador do membro direito por 1 + cos x.

$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x\,(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
A igualdade cos x = √(1 − sin²x) é uma identidade?

Mostrar resposta

Não: falha sempre que cos x < 0, por exemplo a 120°, onde o membro esquerdo vale −1/2 e o membro direito 1/2.

$x=120^{\circ}:\quad\cos x=-\tfrac12,\quad\sqrt{1-\sin^{2}x}=\tfrac12$

A coincidência num punhado de ângulos sugere, mas não prova

Carregue em √(1 − cos²x) = sin x? e experimente a 30°, 45°, 60°, 90° ou 150°, os ângulos habituais quando pegamos na calculadora: os dois membros coincidem sempre. Mas a proposição é falsa. O primeiro contraexemplo surge aos 264,98°, onde o membro esquerdo vale 0,9962 e o direito −0,9962. Uma raiz quadrada nunca é negativa, ao passo que sin x é negativo em todo o 3.º e 4.º quadrantes. Testar apenas a meia-volta em que o seno é positivo não revelaria falha alguma; é por isso que a ferramenta distribui 64 ângulos por uma volta inteira. A identidade verdadeira é √(1 − cos²x) = |sin x|.

Elevar ao quadrado faz uma falsa identidade parecer demonstrada

A mesma proposição falsa resiste ao único passo que não se pode desfazer. Se elevar ambos os membros de √(1 − cos²x) = sin x ao quadrado, obtém 1 − cos²x = sin²x, igualdade verdadeira para qualquer ângulo. O quadrado não distingue sin x de −sin x. Por isso, chegar a uma afirmação verdadeira após potenciações sucessivas nada garante sobre o ponto de partida: basta pensar que −1 = 1 se torna 1 = 1 ao quadrado. É por esta razão que uma demonstração rigorosa caminha num único sentido, de um membro ao outro, com cada linha estritamente igual à anterior. Cada sinal = passa a ser uma certeza sobre o mesmíssimo valor, ligando as afirmações do membro esquerdo ao direito.

Com múltiplos inteiros de x, uma amostra suficiente constitui demonstração

Há um caso em que testar ângulos basta para provar a identidade. Uma soma de senos e cossenos de x, 2x, …, nx (um polinómio trigonométrico de grau n) que não seja identicamente nula anula-se no máximo em 2n ângulos numa volta. Ao escrever z para o ponto no ângulo x sobre a circunferência trigonométrica, a expressão transforma-se num polinómio em z de grau 2n a dividir por zⁿ, e esse polinómio admite no máximo 2n raízes. Portanto, duas expressões deste tipo que coincidam em 2n + 1 ângulos distintos numa volta coincidem em todo o lado. O mesmo raciocínio estende-se a frações depois de reduzidas ao mesmo denominador. A concordância nos 64 ângulos testados pela ferramenta garante assim qualquer igualdade até ao grau 31 após eliminar denominadores, descontando arredondamentos. Raízes quadradas e módulos ficam de fora desta garantia, precisamente onde reside a armadilha do primeiro bloco.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (1)

The method the lesson states: work on one side, usually the more complex one; factor, square a binomial or add fractions; failing that, convert to sines and cosines: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Demonstração de Identidades Trigonométricas

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

A coincidência num punhado de ângulos sugere, mas não prova 🖖

Elevar ao quadrado faz uma falsa identidade parecer demonstrada 🖖

Com múltiplos inteiros de x, uma amostra suficiente constitui demonstração 🖖

A coincidência num punhado de ângulos sugere, mas não prova

Elevar ao quadrado faz uma falsa identidade parecer demonstrada

Com múltiplos inteiros de x, uma amostra suficiente constitui demonstração