Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

Indica o valor de uma função trigonométrica e um quadrante, e a página encontra o ângulo, o valor da outra função através da identidade que as liga, e as quatro restantes a partir do ponto P. Ou arrasta o ângulo e vê sec θ, csc θ e cot θ mudarem como comprimentos na figura.

Secante, cossecante, cotangente	$\begin{gathered}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\\ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{gathered}$
Identidade pitagórica	$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
Dividida por cos²θ	$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$
Dividida por sin²θ	$1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

Exemplo resolvido — Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

Ângulo	143,1301°
Pela identidade, com o sinal do quadrante II	−0,8
Seno	0,6
Cosseno	−0,8
Tangente	−0,75
Secante	−1,25
Cossecante	1,6667
Cotangente	−1,3333

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

As funções secante, cossecante e cotangente são sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ e cot θ = cos θ/sin θ, cada uma definida onde o denominador não é zero. As identidades pitagóricas sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ verificam-se em todos os ângulos onde ambos os membros estão definidos.

De onde vem a fórmula

Parte da circunferência. P = (cos θ, sin θ) está à distância 1 de O em qualquer ângulo, logo cos²θ + sin²θ = 1 em todos os quadrantes. Os quadrados não veem os sinais, e é por isso que o triângulo de catetos |cos θ| e |sin θ| dá a mesma equação.
$x_P^{2}+y_P^{2}=1\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$
Divide por cos²θ, ou por sin²θ. Cada divisão é permitida exatamente onde as novas funções estão definidas.
$\begin{aligned}\div\cos^{2}\theta:&\quad 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\\ \div\sin^{2}\theta:&\quad\cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta\end{aligned}$
Extrai a raiz e depois escolhe o sinal. Uma identidade dá o quadrado da incógnita, por isso fixa o seu valor absoluto; o quadrante fixa o sinal.
$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta},\qquad\sec\theta=\pm\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$

Pressupõe: Cada identidade só se verifica onde as suas funções estão definidas: a segunda falha nos múltiplos ímpares de 90°, a terceira nos múltiplos de 180°.

Problemas resolvidos na íntegra

Dado o seno de um ângulo obtuso 2 passos
sin θ = 3/5 e θ é obtuso. Determina exatamente as outras cinco funções.

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1. Um ângulo obtuso fica no quadrante II, onde o cosseno é negativo. De sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $\cos\theta=-\sqrt{1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{16}{25}}=-\tfrac{4}{5}$
2. As outras quatro são quocientes e inversos:
  
  $\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{3/5}{-4/5}=-\tfrac{3}{4}, & \sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}=-\tfrac{5}{4}\\ \csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}=\tfrac{5}{3}, & \cot\theta&=\frac{1}{\tan\theta}=-\tfrac{4}{3}\end{aligned}$
Resposta

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$\cos\theta=-\tfrac45,\ \tan\theta=-\tfrac34,\ \sec\theta=-\tfrac54,\ \csc\theta=\tfrac53,\ \cot\theta=-\tfrac43$
Da tangente à secante 2 passos
tan θ = −12/5 e 270° < θ < 360°. Determina sec θ, cos θ e sin θ.

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1. No quadrante IV o cosseno é positivo, e a secante também. De 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $\sec\theta=+\sqrt{1+\left(-\tfrac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{169}{25}}=\tfrac{13}{5}$
2. Depois, cos θ é o inverso, e sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $\cos\theta=\tfrac{5}{13},\qquad\sin\theta=-\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac{5}{13}=-\tfrac{12}{13}$
Resposta

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$\sec\theta=\tfrac{13}{5},\quad\cos\theta=\tfrac{5}{13}\approx0{.}3846,\quad\sin\theta=-\tfrac{12}{13}\approx-0{.}9231$
Da cotangente à cossecante 2 passos
cot θ = 3/4 e 180° < θ < 270°. Determina csc θ, sin θ e cos θ.

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1. No quadrante III o seno é negativo, e a cossecante também. De 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $\csc\theta=-\sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{25}{16}}=-\tfrac{5}{4}$
2. Depois, sin θ é o inverso, e cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $\sin\theta=-\tfrac{4}{5},\qquad\cos\theta=\tfrac{3}{4}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=-\tfrac{3}{5}$
Resposta

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$\csc\theta=-\tfrac54,\quad\sin\theta=-\tfrac45,\quad\cos\theta=-\tfrac35$
Valores exatos a 30° 3 passos
Determina exatamente sec 30°, csc 30° e cot 30°.

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1. Metade de um triângulo equilátero de lado 2 tem lados 1, √3 e 2, logo
  
  $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2},\qquad\cos30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. Inverte e racionaliza o denominador:
  
  $\sec30^{\circ}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$
3. Confirma com a segunda identidade:
  
  $1+\tan^{2}30^{\circ}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
Resposta

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$\sec30^{\circ}=\tfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{.}1547,\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\sqrt3\approx1{.}7321$
Simplificar com duas identidades 2 passos
Simplifica (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
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1. Cada parêntese é um membro de uma identidade; substitui-o pelo outro membro:
  
  $(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=\sin^{2}\theta\cdot\csc^{2}\theta$
2. e csc θ = 1/sin θ:
  
  $\sin^{2}\theta\cdot\frac{1}{\sin^{2}\theta}=1$
Resposta

1, em todos os ângulos que não sejam múltiplos de 180°, onde cot θ não está definida.

$(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=1,\qquad\theta\neq k\cdot180^{\circ}$
Uma demonstração com a identidade fatorizada 3 passos
Mostra que 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ e verifica-o em θ = 60°.

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1. Multiplica o numerador e o denominador por sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{\sec\theta-\tan\theta}=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta}$
2. Por 1 + tan²θ = sec²θ, o denominador é 1:
  
  $=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{1}=\sec\theta+\tan\theta$
3. A 60°, sec θ = 2 e tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
Resposta

Os dois membros são iguais onde quer que estejam definidos; a 60° ambos valem 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{\sec60^{\circ}-\tan60^{\circ}}=2+\sqrt3\approx3{.}7321$
Um valor que nenhum ângulo tem 2 passos
Determina todos os ângulos com sec θ = 1/2.

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1. sec θ = 1/2 significaria
  
  $\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=2$
2. mas cos θ é uma coordenada de um ponto de uma circunferência de raio 1, logo |cos θ| ≤ 1 e, portanto,
  
  $|\sec\theta|=\frac{1}{|\cos\theta|}\geq1$
Resposta

Não há nenhum: sec θ e csc θ nunca tomam um valor estritamente entre −1 e 1. O exemplo recusa 1/2 e mantém θ em 60°, onde o inverso vai no sentido contrário: cos θ = 1/2 e sec θ = 2.

$\left\{\theta:\ \sec\theta=\tfrac12\right\}=\varnothing$
Eliminar o parâmetro 2 passos
Uma curva é dada por x = 3 sec t, y = 2 tan t. Determina a sua equação cartesiana.
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1. Isola as duas funções:
  
  $\sec t=\frac{x}{3},\qquad\tan t=\frac{y}{2}$
2. e substitui-as em sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
Resposta

x²/9 − y²/4 = 1, uma hipérbole. Como |sec t| ≥ 1, todos os seus pontos têm |x| ≥ 3.

$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1,\qquad|x|\geq3$

Problemas suplementares, só com a resposta

cos θ = −5/13 e θ pertence ao terceiro quadrante. Determine os valores das outras cinco funções trigonométricas.

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sin θ = −12/13, tan θ = 12/5, sec θ = −13/5, csc θ = −13/12, cot θ = 5/12.

$\begin{aligned}&\sin\theta=-\tfrac{12}{13},\ \tan\theta=\tfrac{12}{5},\ \sec\theta=-\tfrac{13}{5}\\&\csc\theta=-\tfrac{13}{12},\ \cot\theta=\tfrac{5}{12}\end{aligned}$
Simplifique (sec θ − cos θ)/tan θ.

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sin θ. O numerador é (1 − cos²θ)/cos θ = sin²θ/cos θ. Dividindo por sin θ/cos θ, obtém-se sin θ.

$\frac{\sec\theta-\cos\theta}{\tan\theta}=\sin\theta$
Resolva 2 sin²x + 3 cos x = 3 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 0°, 60° ou 300°. Substituindo sin²x por 1 − cos²x, obtém-se 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0, pelo que cos x = 1 ou ½.

$\begin{aligned}&2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\\&x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 300^{\circ}\end{aligned}$
Elimine o parâmetro nas equações x = 2 cos t, y = 3 sin t.

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x²/4 + y²/9 = 1, a equação de uma elipse, obtida a partir da identidade cos²t + sin²t = 1.

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Três identidades são um triângulo em três tamanhos

O triângulo OMP tem catetos |cos θ| e |sin θ| e hipotenusa 1, e Pitágoras aplicado a ele é sin²θ + cos²θ = 1. Amplia-o pelo fator 1/|cos θ| e os lados passam a 1, |tan θ| e |sec θ|, os do triângulo OAT, assente na tangente x = 1. Pitágoras em OAT dá 1 + tan²θ = sec²θ. Amplia antes por 1/|sin θ| e os lados passam a 1, |cot θ| e |csc θ|, os de OBS sobre a reta y = 1, o que dá 1 + cot²θ = csc²θ. Em álgebra, a ampliação é dividir a primeira identidade por cos²θ ou por sin²θ: vale a pena decorar uma identidade, e as outras duas são uma linha de cálculo. A figura mostra também onde cada uma falha: a 90° a reta OP é paralela a x = 1 e OAT fica sem terceiro vértice. Thomas Fincke introduziu os termos tangente e secante na sua Geometriae rotundi, de 1583; em latim significam que toca e que corta, e AT está numa reta que toca a circunferência, enquanto OT está numa que a atravessa.

√(1 − sin²θ) não é cos θ

Carrega em sin θ = 3/5, quadrante II. A identidade dá cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, e 0,64 tem duas raízes quadradas. O símbolo de raiz designa a positiva, por isso √(1 − sin²θ) é |cos θ|, e escrever cos θ = √(1 − sin²θ) está errado para qualquer ângulo dos quadrantes II e III. Aqui cos θ = −0,8. A identidade fixa o valor absoluto e só o quadrante fixa o sinal; é por isso que o enunciado tem de dizer onde fica θ, como faz «θ é obtuso». Com o valor ainda em 0,6, clica em I: θ passa para 36,8699° e cos θ passa a +0,8. Clica em III e a página recusa, porque aí o seno é negativo.

Perto de 90°, sec θ e tan θ são enormes e quase iguais

Carrega em θ = 89°: tan θ = 57,29 e sec θ = 57,2987, a apenas 0,0087 uma da outra. Tão perto de 90°, não se podem afastar, e a razão é a segunda identidade. Escrita como sec²θ − tan²θ = 1 e fatorizada, diz que (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, pelo que a diferença é exatamente 1 a dividir pela soma, e 1/114,5887 ≈ 0,0087. Arrasta θ para mais perto de 90° e a soma cresce sem limite enquanto a diferença encolhe para 0; nos próprios 90°, nenhuma das funções está definida. A forma fatorizada é também o passo de uma demonstração clássica: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, porque multiplicar o numerador e o denominador por sec θ + tan θ deixa o denominador igual a 1.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

Três identidades são um triângulo em três tamanhos 🖖

√(1 − sin²θ) não é cos θ 🖖

Perto de 90°, sec θ e tan θ são enormes e quase iguais 🖖

Três identidades são um triângulo em três tamanhos

√(1 − sin²θ) não é cos θ

Perto de 90°, sec θ e tan θ são enormes e quase iguais