Fórmulas do ângulo duplo

Indica A em graus ou, como num exame, através do valor de uma função trigonométrica e do quadrante. O triângulo inscrito na semicircunferência representa sen 2A, 1 + cos 2A e 1 − cos 2A como comprimentos; para múltiplos inteiros de 7,5°, a tabela apresenta os valores exatos em radicais. Em Equações, podes resolver equações que relacionam cos 2x ou sen 2x com sen x ou cos x num dado intervalo, usando as formas habituais em exame.

Seno	$\sin2A=2\sin A\cos A$
Cosseno, três expressões	$\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}$
Tangente	$\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$

Exemplo resolvido — Fórmulas do ângulo duplo

Ângulo duplo	60°
Seno de A	0,5
Cosseno de A	0,866
Seno de 2A	0,866
Cosseno de 2A, de três formas	0,5
Tangente de 2A	1,7321
Tangente de A a partir de 2A	0,5774
Valor exato do cosseno de 2A	1/2

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Fórmulas do ângulo duplo

As fórmulas do ângulo duplo permitem calcular sen 2A, cos 2A e tan 2A a partir das funções trigonométricas de A. Invertendo a relação, obtêm-se as fórmulas do ângulo metade.

De onde vem a fórmula

Faz B = A nas fórmulas de adição de ângulos. Os dois produtos do seno tornam-se iguais e o cosseno fica expresso como uma diferença de quadrados.
$\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$
Substitui um quadrado pelo outro usando sen²A + cos²A = 1. Obtêm-se mais duas expressões de cos 2A, uma só com cosseno e outra só com seno.
$\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$
Obtém a tangente por divisão. Para dividir o numerador e o denominador por cos²A, é necessário que cos A ≠ 0. A expressão obtida não está definida quando tan²A = 1, precisamente quando cos 2A = 0.
$\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$
Isola cos²A e sen²A nas fórmulas do cosseno para obter as do ângulo metade. O sinal da raiz quadrada depende do sinal de cos A ou sen A no quadrante de A; a fórmula, por si só, não o determina.
$\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}$
Numa equação, fica com uma única função. Se houver um termo em sen x, escreve cos 2x como 1 − 2sen²x; se houver um termo em cos x, usa 2cos²x − 1. Com sen 2x, coloca o fator comum em evidência, sem dividir por ele.
$\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0$

Problemas resolvidos na íntegra

Ângulos duplos a partir da tangente e do quadrante 4 passos
tan A = 3/4 e 180° < A < 270°. Determina sen 2A, cos 2A e tan 2A e indica o quadrante de 2A.

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1. Um triângulo de lados 3-4-5 permite obter os valores absolutos; no quadrante III, o seno e o cosseno são ambos negativos:
  
  $\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}$
2. Aplicam-se as fórmulas do ângulo duplo. No seno, o produto de dois valores negativos é positivo:
  
  $\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}$
3. Para a fórmula da tangente, basta conhecer tan A:
  
  $\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}$
4. 2A está entre 360° e 540°. Como o seno e o cosseno são positivos, fica no quadrante I, após uma volta completa:
  
  $360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0$
Resposta

sen 2A = 24/25 = 0,96, cos 2A = 7/25 = 0,28, tan 2A = 24/7 ≈ 3,4286 e 2A ≈ 433,7398° fica no quadrante I.

$\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}$
Um valor exato pela fórmula do ângulo metade 3 passos
Usa cos 30° para determinar o valor exato de cos 15° e mostra que é igual a (√6 + √2)/4.

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1. Em cos 2A = 2cos²A − 1, faz A = 15° e isola o quadrado:
  
  $\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
2. Como 15° é um ângulo agudo, escolhe a raiz positiva:
  
  $\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
3. Para comparar, eleva ao quadrado a expressão obtida pelas fórmulas de adição de ângulos. Ambos os números são positivos, pelo que a igualdade dos quadrados garante a igualdade dos números:
  
  $\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
Resposta

cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659$
Uma tangente exata por uma equação do segundo grau 3 passos
Usa tan 45° = 1 e a fórmula de tan 2A para determinar o valor exato de tan 22,5°.

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1. Substitui t = tan 22,5° na fórmula do ângulo duplo, com 2A = 45°:
  
  $\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0$
2. Resolve a equação do segundo grau:
  
  $t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
3. Como 22,5° é um ângulo agudo, a sua tangente é positiva. A outra raiz, −1 − √2, é tan 112,5°; a tangente do dobro deste ângulo também é 1. O triângulo inscrito na semicircunferência permite obter o mesmo valor de outra forma:
  
  $\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
Resposta

tan 22,5° = √2 − 1 ≈ 0,4142.

$\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142$
Escolher a expressão de cos 2x 3 passos
Resolve cos 2x = sen x para 0° ≤ x < 360°.

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1. O outro termo é um seno, por isso usa a expressão de cos 2x que só contém senos:
  
  $1-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0$
2. Decompõe em fatores como numa equação do segundo grau em sen x:
  
  $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1$
3. sen x = 1/2 para 30° e 180° − 30°; sen x = −1 apenas para 270°:
  
  $x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Resposta

x = 30°, 150° ou 270°. A expressão cos²x − sen²x teria deixado um cosseno e um seno na mesma equação.

$x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Colocar em evidência, sem dividir 3 passos
Resolve sen 2x = cos x para 0° ≤ x < 360°.

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1. Desenvolve sen 2x e passa todos os termos para o mesmo membro:
  
  $2\sin x\cos x-\cos x=0$
2. cos x é comum aos dois termos. Coloca-o em evidência:
  
  $\cos x\,(2\sin x-1)=0$
3. Pela lei do anulamento do produto, pelo menos um dos fatores é zero:
  
  $\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}$
Resposta

x = 30°, 90°, 150° ou 270°. Dividir por cos x na primeira linha dá apenas 30° e 150°: pressupõe cos x ≠ 0 e elimina precisamente as soluções para as quais cos x = 0.

$x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Do quadrado ao ângulo duplo para calcular um integral 3 passos
Escreve sen²x em função de cos 2x e usa essa expressão para calcular o valor exato do integral de sen²x entre 0 e π/2.
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1. Isola sen²x em cos 2x = 1 − 2sen²x:
  
  $\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x$
2. Agora, cada termo tem uma primitiva conhecida:
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}$
3. Como sen π = sen 0 = 0, só a parcela x/2 contribui:
  
  $=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$
Resposta

O integral é π/4 ≈ 0,7854, metade do comprimento do intervalo, pois o valor médio de sen²x nesse intervalo é 1/2.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
Demonstrar uma identidade do ângulo metade 3 passos
Demonstra que sen 2A/(1 + cos 2A) = tan A sempre que ambos os membros estejam definidos e verifica a igualdade para A = 30°.

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1. Substitui as funções do ângulo duplo pelas expressões que permitem obter fatores comuns:
  
  $\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}$
2. Simplifica o fator 2 cos A, que é diferente de zero sempre que tan A está definida:
  
  $=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$
3. Para A = 30°:
  
  $\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}$
Resposta

sen 2A/(1 + cos 2A) = tan A; para 30°, ambos os membros valem √3/3 ≈ 0,5774. Na semicircunferência, esta razão é a altura de P a dividir pelo comprimento do segmento maior do diâmetro.

$\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A$

Problemas suplementares, só com a resposta

tan A = 2 e A é um ângulo agudo. Determina tan 2A.

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−4/3

$\tan2A=-\tfrac{4}{3}$
Resolve cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 para 0° ≤ x < 360°.

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x = 120°, 180° ou 240°

$x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}$
Resolve sen 2x = sen x para 0° ≤ x < 360°.

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x = 0°, 60°, 180° ou 300°

$x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}$
Determina o valor exato de sen 22,5°.

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√(2 − √2)/2 ≈ 0,3827

$\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
cos A = 1/3 e A pertence ao quadrante IV. Determina os valores exatos de sen 2A e cos 2A.

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sen 2A = −4√2/9 ≈ −0,6285, cos 2A = −7/9

$\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}$
Mostra que cos 3A = 4cos³A − 3cos A.

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Desenvolve cos(2A + A) = cos 2A cos A − sen 2A sen A, substitui pelas expressões 2cos²A − 1 e 2 sen A cos A e, por fim, usa sen²A = 1 − cos²A.

$\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A$

As fórmulas do ângulo duplo cabem num triângulo inscrito numa semicircunferência

Une os extremos de um diâmetro, W e E, ao ponto P da circunferência, na posição angular 2A. A corda WP forma com o diâmetro, em W, um ângulo A, metade do ângulo ao centro. É o teorema de Euclides: um ângulo inscrito mede metade do ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco (Elementos III.20). O triângulo WPE é retângulo em P (III.31) e tem por hipotenusa o diâmetro, de comprimento 2, pelo que WP = 2 cos A e EP = 2 sen A. A altura de P é WP · sen A, ou seja, 2 sen A cos A, mas também é sen 2A. A projeção de P sobre o diâmetro, F, divide-o em WF = WP · cos A = 2cos²A e FE = EP · sen A = 2sen²A. Estes segmentos medem 1 + cos 2A e 1 − cos 2A. A razão entre a altura e WF dá tan A = sen 2A/(1 + cos 2A), a fórmula do ângulo metade, sem uma linha de álgebra. Quando A ultrapassa 90°, a corda WP passa a apontar no sentido oposto e 2 cos A torna-se negativo. Cada produto conserva o sinal correspondente, pelo que estas relações continuam válidas para qualquer ângulo.

Dividir por cos x elimina metade das soluções

Seleciona sen 2x = cos x. Escrita como 2 sen x cos x = cos x, a equação convida a simplificar cos x; de 2 sen x = 1 obtêm-se 30° e 150°. A página encontra quatro soluções: também 90° e 270°, para as quais cos x = 0 e ambos os membros valem 0. Simplificar cos x equivale a dividir por cos x, o que só é permitido quando este é diferente de zero. Esse passo excluiu precisamente as soluções que se perderam. Passa todos os termos para o mesmo membro e coloca o fator comum em evidência: cos x(2 sen x − 1) = 0. Pela lei do anulamento do produto, pelo menos um dos fatores tem de ser zero. A mesma armadilha surge em sen 2x = sen x, onde se perderiam 0° e 180°.

O valor médio de sen²x é um meio: por isso, a tensão da rede é indicada abaixo do seu valor de pico

Isola sen²x em cos 2x = 1 − 2sen²x: sen²x = 1/2 − (1/2) cos 2x. O quadrado de uma onda sinusoidal é outra onda, com o dobro da frequência e metade da amplitude, centrada no nível 1/2. Num número inteiro de períodos, a parcela do cosseno tem valor médio nulo, pelo que o valor médio de sen²x é exatamente 1/2. Numa resistência, a potência dissipada sob a forma de calor é proporcional ao quadrado da tensão. Assim, uma tensão alternada V₀ sen ωt produz o mesmo aquecimento que uma tensão constante V₀/√2. Este valor constante equivalente é a tensão eficaz, a raiz quadrada da média do quadrado da tensão, e é o valor indicado na placa: a tensão nominal da rede europeia é 230 V, mas atinge picos de 230√2 ≈ 325 V e repete o ciclo cinquenta vezes por segundo.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (3)

The double-angle formulae with all three forms of cos 2θ, the half-angle formulae with their quadrant sign and tan(α/2) = sin α/(1 + cos α), and the power-reducing formulae: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.3, “Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas”.
Insight block 1: the angle at the centre is double the angle at the circumference on the same arc, which puts A at W when 2A is at the centre: Euclid, Elements, Book III, Proposition 20. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Insight block 1: the angle in a semicircle is a right angle, so WPE is right-angled at P: Euclid, Elements, Book III, Proposition 31. D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

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De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

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Dividir por cos x elimina metade das soluções

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