Resolução de equações trigonométricas

Introduz uma equação e um intervalo. A página calcula o valor principal dado pela calculadora, o outro valor da mesma volta (para o seno e o cosseno) e todas as soluções do intervalo. Cada solução aparece em duas representações: na interseção da curva com a reta horizontal e no ponto onde a espiral do argumento cruza a semirreta correspondente na circunferência trigonométrica.

sin x = k, \|k\| ≤ 1	$\begin{gathered}x=\alpha+2n\pi,\quad x=\pi-\alpha+2n\pi\\ \alpha=\arcsin k\end{gathered}$
cos x = k, \|k\| ≤ 1	$x=\pm\alpha+2n\pi,\quad\alpha=\arccos k$
tan x = k, para qualquer k	$x=\alpha+n\pi,\quad\alpha=\arctan k$

Exemplo resolvido — Resolução de equações trigonométricas

Valor principal da calculadora	17,46°
O outro valor da mesma volta	162,54°
Solução geral, n inteiro qualquer	162,54° + 360°n
Soluções no intervalo	17,46°, 162,54°
Número de soluções	2

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Resolução de equações trigonométricas

Resolver uma equação trigonométrica é encontrar todos os ângulos de um dado intervalo para os quais uma expressão trigonométrica toma um valor indicado. A solução geral abrange todos os ângulos que satisfazem a equação, sem restrição a um intervalo. Escreve-se em famílias da forma x = x₀ + n × período, com n inteiro qualquer: uma ou duas famílias por cada valor que a função tem de tomar.

De onde vem a fórmula

Determina o valor principal. α = arcsin k é o único valor que a calculadora devolve, escolhido num intervalo fixo. É o ponto de partida da resolução, mesmo quando fica fora do intervalo pedido.
$\begin{aligned}\arcsin k&\in[-90^{\circ},\,90^{\circ}]\\ \arccos k&\in[0^{\circ},\,180^{\circ}]\\ \arctan k&\in(-90^{\circ},\,90^{\circ})\end{aligned}$
Determina o outro valor da mesma volta usando a simetria da circunferência: a reta y = k intersecta-a nos pontos de ângulos α e 180° − α; a reta x = k, nos de ângulos α e −α; e a reta que passa por O com declive k, nos de ângulos α e α + 180°.
$\begin{aligned}\sin x=k:&\quad \alpha,\ \ 180^{\circ}-\alpha\\ \cos x=k:&\quad \alpha,\ \ -\alpha\\ \tan x=k:&\quad \alpha,\ \ \alpha+180^{\circ}\end{aligned}$
Soma múltiplos inteiros do período até cobrir o intervalo do argumento e calcula depois x. Para f(ax + b), u = ax + b varia de a·x₁ + b a a·x₂ + b, e cada valor de u dá x = (u − b)/a.
$u=u_{0}+360^{\circ}n\quad(\tan:\ u_{0}+180^{\circ}n),\qquad x=\frac{u-b}{a}$
Se houver duas funções ou um quadrado, reduz a equação ao segundo grau numa só função. Substitui cos²x por 1 − sin²x, resolve em ordem a s = sin x e conserva apenas as raízes entre −1 e 1.
$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x,\qquad s=\sin x,\quad -1\le s\le 1$

Pressupõe: As equações sin x = k e cos x = k só têm soluções quando −1 ≤ k ≤ 1; tan x = k tem soluções para qualquer k.

Problemas resolvidos na íntegra

sin x = k, em graus 3 passos
Resolve sin x = 0,3 para 0° ≤ x ≤ 360°, com duas casas decimais.

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1. O valor principal é o que a calculadora devolve:
  
  $\alpha=\arcsin0.3=17.46^{\circ}$
2. O seno é positivo nos quadrantes I e II. O outro valor da mesma volta é 180° − α:
  
  $x=180^{\circ}-17.46^{\circ}=162.54^{\circ}$
3. Somar ou subtrair 360° a qualquer destes valores leva-nos para fora do intervalo. Não há mais soluções:
  
  $17.46^{\circ}+360^{\circ}=377.46^{\circ}>360^{\circ},\qquad162.54^{\circ}-360^{\circ}=-197.46^{\circ}<0^{\circ}$
Resposta

x = 17,46° ou x = 162,54°.

$x=17.46^{\circ},\qquad x=162.54^{\circ}$
cos x = k, num intervalo centrado em 0 3 passos
Resolve cos x = −0,6 para −180° ≤ x ≤ 180°.

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1. arccos devolve um valor entre 0° e 180°. Neste caso, pertence ao quadrante II, onde o cosseno é negativo:
  
  $\alpha=\arccos(-0.6)=126.87^{\circ}$
2. O outro valor é −α, correspondente ao ponto simétrico em relação ao eixo das abcissas:
  
  $x=-\alpha=-126.87^{\circ}$
3. Ambos pertencem ao intervalo. Somar ou subtrair um período leva qualquer deles para fora:
  
  $126.87^{\circ}-360^{\circ}=-233.13^{\circ}<-180^{\circ},\qquad -126.87^{\circ}+360^{\circ}=233.13^{\circ}>180^{\circ}$
Resposta

x = ±126,87°.

$x=\pm126.87^{\circ}$
tan x = k, com o valor da calculadora fora do intervalo 2 passos
Resolve tan x = −2 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. A calculadora devolve um ângulo negativo, fora do intervalo:
  
  $\alpha=\arctan(-2)=-63.43^{\circ}$
2. A tangente repete-se a cada 180°. Somamos 180° uma vez e depois duas vezes; à terceira, obtemos 476,57°, que ultrapassa 360°:
  
  $x=-63.43^{\circ}+180^{\circ}=116.57^{\circ},\qquad x=-63.43^{\circ}+360^{\circ}=296.57^{\circ}$
Resposta

x = 116,57° ou x = 296,57°. O valor −63,43° dado pela calculadora fica fora do intervalo pedido.

$x=116.57^{\circ},\qquad x=296.57^{\circ}$
Uma resposta exata em radianos 3 passos
Resolve sin x = −√3/2 para 0 ≤ x ≤ 2π, apresentando os valores exatos.

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1. Como sin(π/3) = √3/2, o valor principal é o seu simétrico:
  
  $\alpha=\arcsin\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{3}$
2. O outro valor da mesma volta é π − α:
  
  $x=\pi-\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$
3. Como α é negativo, somamos 2π para obter um valor no intervalo:
  
  $x=-\tfrac{\pi}{3}+2\pi=\tfrac{5\pi}{3}$
Resposta

x = 4π/3 ou x = 5π/3.

$x=\tfrac{4\pi}{3},\qquad x=\tfrac{5\pi}{3}$
O argumento composto altera o número de soluções 3 passos
Resolve sin(2x − 30°) = √3/2 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Seja u = 2x − 30°. Quando x varia de 0° a 360°, u percorre duas voltas completas:
  
  $u=2x-30^{\circ}:\qquad 2\cdot0^{\circ}-30^{\circ}=-30^{\circ}\ \le u\le\ 2\cdot360^{\circ}-30^{\circ}=690^{\circ}$
2. Numa volta, sin u = √3/2 para 60° e 120°. Na volta seguinte, somamos 360° a cada um:
  
  $u=60^{\circ},\ \ 120^{\circ},\ \ 420^{\circ},\ \ 480^{\circ}$
3. Voltamos à variável x, usando x = (u + 30°)/2:
  
  $x=\frac{u+30^{\circ}}{2}=45^{\circ},\ \ 75^{\circ},\ \ 225^{\circ},\ \ 255^{\circ}$
Resposta

Quatro soluções: x = 45°, 75°, 225° e 255°. Resolver em ordem a u apenas entre 0° e 360° daria só duas delas.

$x=45^{\circ},\ 75^{\circ},\ 225^{\circ},\ 255^{\circ}$
Uma equação do segundo grau em cos x com uma raiz a excluir 3 passos
Resolve 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Fazemos s = cos x e fatorizamos:
  
  $2s^{2}+3s-2=(2s-1)(s+2)=0$
2. s = −2 é raiz da equação do segundo grau, mas não é um valor possível do cosseno. Resta uma equação:
  
  $s=\tfrac{1}{2},\qquad s=-2<-1$
3. De cos x = 1/2 obtemos α = 60°. O outro valor, −60°, corresponde a 300° no intervalo:
  
  $x=60^{\circ},\qquad x=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$
Resposta

x = 60° ou x = 300°.

$x=60^{\circ},\qquad x=300^{\circ}$
Usar sin²x + cos²x = 1 para ficar com uma só função 3 passos
Resolve 2cos²x + 3sin x − 3 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. A equação contém seno e cosseno. Substituímos cos²x por 1 − sin²x para ficar apenas com sin x:
  
  $2\left(1-\sin^{2}x\right)+3\sin x-3=0\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x-3\sin x+1=0$
2. Fatorizamos em s = sin x:
  
  $(2s-1)(s-1)=0,\qquad s=\tfrac{1}{2},\quad s=1$
3. sin x = 1/2 dá 30° e 150°; sin x = 1 dá apenas 90°, pois α e 180° − α coincidem:
  
  $x=30^{\circ},\ \ 150^{\circ};\qquad x=90^{\circ}$
Resposta

Três soluções: x = 30°, 90° e 150°.

$x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ}$
Dividir para obter tan x 2 passos
Resolve √3 sin x = cos x para −π ≤ x ≤ π.

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1. Se cos x = 0, então sin x = ±1 e o primeiro membro é ±√3, diferente de 0. Nenhuma solução tem cos x = 0, pelo que podemos dividir por cos x sem perder soluções:
  
  $\frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos x}\ \Rightarrow\ \tan x=\tfrac{1}{\sqrt{3}}$
2. α = arctan(1/√3) = π/6, e a tangente repete-se a cada π:
  
  $x=\tfrac{\pi}{6},\qquad x=\tfrac{\pi}{6}-\pi=-\tfrac{5\pi}{6}$
Resposta

x = −5π/6 ou x = π/6.

$x=-\tfrac{5\pi}{6},\qquad x=\tfrac{\pi}{6}$
A solução geral 3 passos
Determina a solução geral de cos 2x = −1/2 em radianos e indica as soluções entre 0 e 2π.

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1. arccos(−1/2) = 2π/3. As soluções para o cosseno surgem aos pares, ±α, e repetem-se a cada 2π:
  
  $2x=\pm\tfrac{2\pi}{3}+2n\pi$
2. Dividimos por 2, reduzindo também o período a metade:
  
  $x=\pm\tfrac{\pi}{3}+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}$
3. Entre 0 e 2π, os valores n = 0, 1 e 2 dão
  
  $x=\tfrac{\pi}{3},\ \ \tfrac{2\pi}{3},\ \ \tfrac{4\pi}{3},\ \ \tfrac{5\pi}{3}$
Resposta

x = ±π/3 + nπ, com n inteiro qualquer; entre 0 e 2π, as soluções são π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3.

$x=\pm\tfrac{\pi}{3}+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Resolve cos x = 0,25 para 0° ≤ x ≤ 360°, com duas casas decimais.

Mostrar resposta

x = 75,52° ou x = 284,48°. A calculadora dá 75,52° e o outro valor é −75,52°, que corresponde a 284,48° no intervalo.

$x=75.52^{\circ},\qquad x=284.48^{\circ}$
Resolve tan(x/2) = 3 para 0° ≤ x ≤ 360°. Quantas soluções há?

Mostrar resposta

Uma, x = 143,13°. O argumento x/2 varia apenas de 0° a 180°, percorrendo meia volta. Nessa meia volta, a tangente só é igual a 3 para x/2 = 71,57°.

$x=143.13^{\circ}$
Resolve 3sin²x − sin x − 2 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°, com duas casas decimais.

Mostrar resposta

(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0. sin x = 1 dá 90°; sin x = −2/3 dá 221,81° e 318,19°. Há três soluções.

$x=90^{\circ},\ 221.81^{\circ},\ 318.19^{\circ}$
Resolve 2sin²x = cos x + 1 para 0 ≤ x ≤ 2π, apresentando os valores exatos.

Mostrar resposta

Usando sin²x = 1 − cos²x, obtemos 2cos²x + cos x − 1 = 0, pelo que cos x = 1/2 ou cos x = −1: x = π/3, π e 5π/3.

$x=\tfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \tfrac{5\pi}{3}$
Determina a solução geral de sin 3x = 1/2, em graus.

Mostrar resposta

3x = 30° + 360°n ou 3x = 150° + 360°n, logo x = 10° + 120°n ou x = 50° + 120°n.

$x=10^{\circ}+120^{\circ}n,\qquad x=50^{\circ}+120^{\circ}n$

Três regras, três simetrias da circunferência

O seno é a ordenada do ponto na circunferência. Os dois pontos de ordenada k são simétricos em relação ao eixo das ordenadas, pelo que sin x = k dá α e 180° − α. O cosseno é a abcissa: os dois pontos são agora simétricos em relação ao eixo das abcissas, dando α e −α. A tangente é o declive da reta que passa por O e pelo ponto. Essa reta intersecta a circunferência em dois pontos diametralmente opostos, correspondentes a α e α + 180°. Assim, a tangente repete-se a cada meia volta; o seno e o cosseno precisam de uma volta completa. Seleciona cos x = −0,6: a reta vertical x = −0,6 intersecta a circunferência nos pontos de ângulos ±126,87°. Com tan x = −2, a reta de declive −2 intersecta-a nos pontos de ângulos 116,57° e 296,57°, separados por meia volta.

Contar as soluções antes de as calcular

Seleciona sin(2x − 30°) = √3/2. Quando x varia de 0° a 360°, o argumento 2x − 30° varia de −30° a 690°, percorrendo exatamente duas voltas. Em cada volta, a espiral cruza uma vez cada uma das duas semirretas de solução: sabemos que há quatro soluções antes de calcular qualquer uma. Resolver sin u = √3/2 apenas entre 0° e 360° dá u = 60° e 120°, donde x = 45° e 75°, deixando duas soluções por encontrar. Num número inteiro de voltas, incluindo um dos extremos e excluindo o outro, há exatamente duas soluções por volta para o seno e o cosseno quando −1 < k < 1. Para a tangente, a mesma contagem vale para qualquer k, pois o seu período é meia volta. Quando k = ±1, os dois pontos coincidem. Uma solução situada exatamente num extremo do intervalo só conta se esse extremo estiver incluído, com ≤ em vez de <.

Dividir por sin x pode eliminar soluções

A equação 2 sin x cos x = sin x parece simplificar-se para 2 cos x = 1, que dá 60° e 300° entre 0° e 360°. Mas dividir por sin x pressupõe sin x ≠ 0. Para 0°, 180° e 360°, ambos os membros são 0: estes três ângulos também satisfazem a equação e perderam-se na divisão. A fatorização conserva-os: sin x (2 cos x − 1) = 0, logo sin x = 0 ou cos x = 1/2. Obtêm-se cinco soluções em vez de duas. Só se pode dividir sem perder soluções quando os zeros do divisor não satisfazem a equação. É o que acontece em √3 sin x = cos x: se cos x = 0, então sin x = ±1 e o primeiro membro é ±√3. Por isso, dividir por cos x para obter tan x = 1/√3 não elimina nenhuma solução.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Resolução de equações trigonométricas

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

Três regras, três simetrias da circunferência 🖖

Contar as soluções antes de as calcular 🖖

Dividir por sin x pode eliminar soluções 🖖

Três regras, três simetrias da circunferência

Contar as soluções antes de as calcular

Dividir por sin x pode eliminar soluções