Combinar dos sólidos

Corta dos sólidos con el mismo plano horizontal y la sección de su intersección coincidirá con la intersección de sus secciones; lo mismo ocurre con la unión y con la diferencia. Así, el volumen de cualquier combinación se reduce a una sola integral de áreas, y aquí lo calculamos para cuatro parejas con soluciones célebres.

Unión	$V(A\cup B)=V(A)+V(B)-V(A\cap B)$
Sólido común de dos cilindros cruzados	$V=\tfrac{16r^{3}}{3}$
Anillo de altura h	$V=\tfrac{\pi h^{3}}{6}$

Ejemplo resuelto — Combinar dos sólidos

Sección de A en z	3,4641
Sección de B en z	3,4641
Sección de A ∩ B en z	3
Sección de la combinación en z	3
Volumen de A	6,2832
Volumen de B	6,2832
Volumen de A ∩ B	5,3333
Volumen de la combinación	5,3333

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Combinar dos sólidos

El volumen de una combinación de dos sólidos, sea su intersección A ∩ B, su unión A ∪ B o su diferencia A ∖ B, es la integral del área de sus secciones; a cada altura, la sección resultante es la misma combinación de las secciones de ambos sólidos.

Qué significa cada símbolo

A(z), B(z): las áreas de las secciones de los dos sólidos a la altura z
S(z): el área de la sección de la combinación a la altura z

De dónde viene la fórmula

Corta ambos sólidos a la misma altura. Un punto a la altura z pertenece a A ∩ B si y solo si se encuentra en ambas secciones, de modo que la sección de la intersección es la intersección de las secciones. En la sección de la unión, la parte común se cuenta una sola vez.
$\begin{aligned}(A\cap B)_z&=A_z\cap B_z\\ S_{A\cup B}(z)&=A(z)+B(z)-(A\cap B)(z)\end{aligned}$
Integra. El volumen es la integral de S(z), e integrar término a término la sección de la unión conduce a la misma regla para los volúmenes.
$\begin{aligned}V(A\cup B)&=\int\bigl(A+B-(A\cap B)\bigr)\,dz\\&=V(A)+V(B)-V(A\cap B)\end{aligned}$

Supone: El área de cada sección responde a una fórmula a cada altura. Donde la fórmula cambie, como en la intersección de la esfera perforada en z = ±h/2, la integral se divide en ese punto.

Problemas resueltos al detalle

Dos cilindros que se cruzan 2 pasos
Dos cilindros de radio r se cruzan en ángulo recto cortando sus ejes. Halla el volumen del sólido común a ambos.

Abre este problema en la herramienta
1. A la altura z, cada cilindro es una franja de semiancho √(r² − z²), y ambas franjas se cruzan formando un cuadrado:
  
  $\begin{aligned}s&=2\sqrt{r^{2}-z^{2}}\\ S(z)&=s^{2}=4\left(r^{2}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. Integra desde z = −r hasta z = r:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-r}^{r}4\left(r^{2}-z^{2}\right)dz\\&=4\left(2r^{3}-\tfrac{2r^{3}}{3}\right)=\tfrac{16r^{3}}{3}\end{aligned}$
Respuesta

16r³/3, que da 5,3333 para r = 1.

$V=\tfrac{16r^{3}}{3},\qquad r=1:\ V\approx5{.}3333$
Una esfera perforada 3 pasos
Se perfora el centro de una esfera de radio 5 dejando un anillo de altura 6. Halla el volumen del anillo.

Abre este problema en la herramienta
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1. La semialtura del anillo es 3, por lo que el radio del orificio es
  
  $a=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$
2. Para −3 ≤ z ≤ 3, la sección es una arandela que va desde el radio 4 hasta √(25 − z²):
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi\left(25-z^{2}\right)-\pi\cdot4^{2}\\&=\pi\left(9-z^{2}\right)\end{aligned}$
3. Integra:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-3}^{3}\pi\left(9-z^{2}\right)dz\\&=\pi\left(54-18\right)=36\pi\end{aligned}$
Respuesta

36π ≈ 113,0973.

$V=36\pi\approx113{.}0973$
Por qué desaparece el tamaño de la esfera 3 pasos
Demuestra que un anillo de altura h obtenido de cualquier esfera de diámetro al menos h tiene un volumen de πh³/6, y compruébalo con una bola maciza de diámetro 6.

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1. Con a² = R² − (h/2)², el área de la arandela a la altura z es
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi\left(R^{2}-z^{2}\right)-\pi a^{2}\\&=\pi\left(\tfrac{h^{2}}{4}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. Integra desde z = −h/2 hasta z = h/2:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-h/2}^{h/2}\pi\left(\tfrac{h^{2}}{4}-z^{2}\right)dz\\&=\pi\left(\tfrac{h^{3}}{4}-\tfrac{h^{3}}{12}\right)=\tfrac{\pi h^{3}}{6}\end{aligned}$
3. Para h = 6 esto da 36π, el volumen de una bola de radio 3, que corresponde al anillo cuando R = 3 y el orificio se ha cerrado:
  
  $\tfrac{\pi\cdot6^{3}}{6}=36\pi=\tfrac{4\pi\cdot3^{3}}{3}$
Respuesta

V = πh³/6, sea cual sea el valor de R, siempre que R ≥ h/2.

$V=\tfrac{\pi h^{3}}{6}$
El espacio entre una esfera y su cilindro 3 pasos
Una esfera de radio r está inscrita en un cilindro de radio r y altura 2r. Halla el volumen del espacio entre ambos y, a partir de él, el de la propia esfera.

Abre este problema en la herramienta
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1. A la altura z, ese espacio es una arandela comprendida entre el radio del cilindro y el de la esfera:
  
  $\begin{aligned}S(z)&=\pi r^{2}-\pi\left(r^{2}-z^{2}\right)\\&=\pi z^{2}\end{aligned}$
2. Integra desde z = −r hasta z = r:
  
  $\int_{-r}^{r}\pi z^{2}\,dz=\tfrac{2\pi r^{3}}{3}$
3. Réstaselo al cilindro:
  
  $V(B)=2\pi r^{3}-\tfrac{2\pi r^{3}}{3}=\tfrac{4\pi r^{3}}{3}$
Respuesta

2πr³/3 de espacio entre ambos, lo que da 2,0944 para r = 1; así, la esfera tiene un volumen de 4πr³/3, dos tercios de su cilindro.

$\begin{aligned}V(A\setminus B)&=\tfrac{2\pi r^{3}}{3}\\ V(B)&=\tfrac{4\pi r^{3}}{3}\end{aligned}$
La unión de los dos cilindros 3 pasos
Los cilindros del problema 1 se recortan cada uno con una longitud de 2r. Halla el volumen que queda dentro de al menos uno de ellos.

Abre este problema en la herramienta
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1. La sección de cada cilindro es una franja de longitud 2r y anchura 2√(r² − z²); la sección de la unión cuenta el cuadrado común una sola vez:
  
  $\begin{aligned}S(z)&=2\cdot4r\sqrt{r^{2}-z^{2}}\\&\quad-4\left(r^{2}-z^{2}\right)\end{aligned}$
2. El primer término se integra dando el área de un semicírculo multiplicada por 8r:
  
  $\begin{aligned}\int_{-r}^{r}8r\sqrt{r^{2}-z^{2}}\,dz&=8r\cdot\tfrac{\pi r^{2}}{2}\\&=4\pi r^{3}\end{aligned}$
3. Así,
  
  $V=4\pi r^{3}-\tfrac{16r^{3}}{3}$
Respuesta

4πr³ − 16r³/3, que da 7,233 para r = 1.

$\begin{aligned}V&=4\pi r^{3}-\tfrac{16r^{3}}{3}\\ r=1:\ V&\approx7{.}233\end{aligned}$
El material extraído 3 pasos
Halla el volumen del material que se extrae de la esfera en el problema 2.

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1. Lo que se extrae es la porción de esfera situada dentro del taladro. Para |z| ≤ 3, su sección abarca todo el orificio, un disco de radio 4; para 3 ≤ |z| ≤ 5, el disco propio de la esfera pasa a ser el menor:
  
  $S(z)=\begin{cases}16\pi, & |z|\le3\\ \pi\left(25-z^{2}\right), & 3\le|z|\le5\end{cases}$
2. Divide la integral donde la sección cambia de fórmula:
  
  $\begin{aligned}V&=\int_{-3}^{3}16\pi\,dz+2\int_{3}^{5}\pi\left(25-z^{2}\right)dz\\&=96\pi+\tfrac{104\pi}{3}=\tfrac{392\pi}{3}\end{aligned}$
3. Comprobación: la esfera menos el anillo del problema 2.
  
  $\begin{aligned}\tfrac{4\pi\cdot5^{3}}{3}-36\pi&=\tfrac{500\pi-108\pi}{3}\\&=\tfrac{392\pi}{3}\end{aligned}$
Respuesta

392π/3 ≈ 410,5014.

$V=\tfrac{392\pi}{3}\approx410{.}5014$
El anillo por capas cilíndricas 2 pasos
Halla el volumen del anillo del problema 2 mediante capas cilíndricas alrededor del eje del orificio.
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1. Una capa a distancia x del eje, con 4 ≤ x ≤ 5, va desde el fondo hasta la parte superior de la esfera, con una altura de 2√(25 − x²):
  
  $V=2\pi\int_{4}^{5}x\cdot2\sqrt{25-x^{2}}\,dx$
2. Aplica el cambio u = 25 − x²:
  
  $\begin{aligned}V&=2\pi\int_{0}^{9}\sqrt{u}\,du\\&=2\pi\cdot\tfrac{2}{3}\cdot9^{3/2}=36\pi\end{aligned}$
Respuesta

36π, igual que por secciones.

$V=36\pi$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Toma el cubo |x|, |y|, |z| ≤ 2 y retira el sólido común a los dos cilindros de radio 2 de la página. Halla el área de la sección a la altura z y el volumen restante.

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La sección es un marco cuadrado de área 16 − 4(4 − z²) = 4z², y el volumen es ∫₋₂² 4z² dz = 64/3 ≈ 21,3333, el volumen de dos pirámides de base cuadrada.

$\begin{aligned}A(z)&=4z^{2}\\V&=\int_{-2}^{2}4z^{2}\,dz=\tfrac{64}{3}\approx21{.}3333\end{aligned}$
Se perfora un orificio de radio 3 por el centro de una bola de radio 5. Halla la altura del anillo resultante y su volumen.

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Altura 8, ya que 3² + 4² = 5², y volumen π · 8³/6 = 256π/3 ≈ 268,0826.

$\begin{aligned}h&=2\sqrt{5^{2}-3^{2}}=8\\V&=\frac{\pi h^{3}}{6}=\frac{256\pi}{3}\approx268{.}0826\end{aligned}$
Al perforar una bola de radio R se obtiene un anillo de altura R. ¿Qué fracción de la bola queda?

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1/8: el volumen del anillo es πR³/6 y el de la bola, 4πR³/3.

$\frac{\pi R^{3}/6}{4\pi R^{3}/3}=\frac18$
Dos cilindros de radio 1 y longitud 2 se cortan en ángulo recto, como en la página. Halla el volumen de la parte de uno de los cilindros que queda fuera del otro.

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2π − 16/3 ≈ 0,9499: los 2π del cilindro menos los 16/3 del sólido común.

$V=2\pi-\tfrac{16}{3}\approx0{.}9499$

Dos cilindros se cruzan en un sólido sin π en su volumen

Pulsa Dos cilindros cruzados. Cada sección horizontal del sólido común es un cuadrado de lado 2√(r² − z²); su área, 4(r² − z²), es un polinomio y la integral resulta 16r³/3, sin π por ninguna parte. La esfera de radio r cabe justo dentro de ese sólido, y su sección a la misma altura es el círculo inscrito en el cuadrado. Como un círculo ocupa siempre π/4 de su cuadrado circunscrito, la esfera abarca π/4 del sólido: 16r³/3 · π/4 = 4πr³/3. Arquímedes, en su carta a Eratóstenes, advirtió esta peculiaridad en sus propios términos: en cartas anteriores había comparado conoides y esferoides con conos y cilindros, y ninguno había igualado a un sólido de caras planas. Este sí: dos tercios del cubo que lo envuelve. La edición de Heath de 1912 da su demostración por perdida.

Un anillo perforado depende solo de su altura

Pulsa Esfera perforada. Una esfera de radio 5 con un orificio de radio 4 deja un anillo de altura 6, con un volumen de 36π ≈ 113,0973. Antes de arrastrar R, decide si una esfera más grande debería dejar más anillo. Si agrandas la esfera, el orificio tiene que ensancharse para mantener la altura en 6, y el volumen no se mueve. A una altura z, la sección es una corona circular que va desde el radio a hasta √(R² − z²), con un área de π(R² − z² − a²), y el orificio se eligió de modo que R² − a² = (h/2)². Lo que queda, π((h/2)² − z²), ya no contiene la R. Es la sección de una bola maciza de diámetro h, justo lo que muestra Mismo anillo, R = 3: el orificio se cierra y el anillo pasa a ser la bola entera. Un anillo de 6 cm de altura extraído de una esfera del tamaño de la Tierra contiene exactamente lo mismo que una bola de 6 cm de diámetro.

Extrae el sólido curvo de su caja y lo que queda tiene el volumen de conos

Pulsa Cilindro sin la esfera. La sección del cilindro es un disco de área πr² a cualquier altura y la de la esfera vale π(r² − z²); la diferencia resulta ser πz², el área de una sección de dos conos unidos por el vértice en el centro. Secciones iguales a cada altura dan volúmenes iguales. Por eso, el cilindro menos la esfera tiene el volumen de esos dos conos, 2πr³/3, y la esfera vale 2πr³ − 2πr³/3 = 4πr³/3: dos tercios de su cilindro. Cubo sin el sólido común funciona de la misma manera: su sección es un marco cuadrado de área 4r² − 4(r² − z²) = 4z², el área de una sección de dos pirámides de base cuadrada. Posee, por tanto, su mismo volumen, 8r³/3, lo que deja 16r³/3 para el sólido sin integrar nada más difícil que z². Arquímedes pidió que grabaran la esfera y su cilindro en su tumba; en el 75 a. C., Cicerón halló la sepultura en Sicilia cubierta de maleza gracias a esa figura sobre una pequeña columna. En China, Zu Geng (hacia 450-520) dedujo el volumen de la esfera cortando un cubo con cilindros y comparando las piezas sección a sección.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (4)

The slicing method the page applies to each combination, V = ∫ A(x) dx, and the washer as the difference of two discs: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: Archimedes' letter to Eratosthenes announcing that the solid inside two cylinders inscribed in one cube “is two-thirds of the whole cube”, and that, unlike the solids compared before with cones and cylinders, it “is found to be equal to one of the solid figures which are bounded by planes” (pp. 12–13); “One of the two geometrical proofs is lost” (Introductory Note, p. 7), and Proposition 15, the mechanical investigation of the same solid, “is lost” (p. 48): T. L. Heath (ed.), The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg: A Supplement to The Works of Archimedes, 1897, Cambridge University Press (1912).
Insight blocks 1 and 3: the sphere two thirds of its circumscribed cylinder (On the Sphere and Cylinder, Book 1); the tomb carrying a sphere and a cylinder, found by Cicero in Sicily in 75 BC under brambles and thickets; Heiberg's discovery in 1906 of the tenth-century manuscript containing the Method: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Archimedes of Syracuse”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 1999).
Insight block 3: Zu Geng (about 450 to about 520) cut a circumscribed cube into eight small cubes and these by cylindrical cuts, and found the sphere's volume by comparing the pieces through the principle that solids of the same height with sections in a constant ratio have volumes in that ratio: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.