El método de las capas cilíndricas

Al hacer girar una región sobre el eje y, puedes rebanarla en arandelas perpendiculares al eje o bien en cilindros delgados paralelos a él: las capas, cada una de radio x y altura h(x). El volumen da exactamente el mismo resultado de las dos formas, y aquí se calculan ambos por separado. Lo que cambia es la dificultad de la integral, y la dirección del corte lo decide todo.

Capas respecto al eje y	$V=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$
Pappus	$V=A\cdot2\pi\bar r$

Ejemplo resuelto — El método de las capas cilíndricas

Área lateral de la capa en x	0,7854
Volumen por capas	1,5708
Volumen por arandelas, en y	1,5708
Capa en x	2πx·h(x)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El método de las capas cilíndricas

Al hacer girar la región bajo y = h(x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje y, se obtiene un sólido cuyo volumen viene dado por capas cilíndricas como V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx: cada franja vertical en x engendra un cilindro hueco de radio x, altura h(x) y grosor dx.

Qué significa cada símbolo

h(x): la altura de la región en x: borde superior menos borde inferior
x: el radio de la capa: su distancia al eje de giro

De dónde viene la fórmula

Una capa. Al desenrollarlo, un cilindro delgado de radio x, altura h y grosor Δx equivale casi a una placa plana de longitud 2πx y altura h, de modo que su volumen se aproxima a 2πx·h·Δx.
$\Delta V\approx(2\pi x)\cdot h(x)\cdot\Delta x$
Suma de las capas. Suma las franjas y haz que Δx tienda a cero.
$V=\lim\sum_{i}2\pi x_i\,h(x_i)\,\Delta x=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$

Problemas resueltos al detalle

El mismo sólido por dos métodos 2 pasos
La región bajo y = x² en [0, 1] gira alrededor del eje y. Halla el volumen por capas y por arandelas.

Abre este problema en la herramienta
1. Por capas: radio x, altura x².
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\cdot x^{2}\,dx=2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}$
2. Por arandelas: proyectando en y, la región va desde x = √y hasta x = 1.
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(1^{2}-\bigl(\sqrt{y}\bigr)^{2}\right)dy=\pi\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi}{2}$
Respuesta

π/2 ≈ 1,5708 por ambos métodos.

$V=\tfrac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
Cuando las capas son el camino fácil 2 pasos
Gira la región bajo y = sen x en [0, π] alrededor del eje y. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Por capas: radio x, altura sen x.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
2. ∫x sen x dx por partes, con u = x y dv = sen x dx:
  
  $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0$
Respuesta

2π² ≈ 19,7392. Por arandelas exigiría integrar arcsen y, y por eso nadie lo hace así.

$V=2\pi^{2}\approx19{.}7392$
Una región entre dos curvas 1 pasos
La región comprendida entre y = x e y = x² en [0, 1] gira alrededor del eje y. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
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1. Por capas: radio x, altura x − x².
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(x-x^{2}\right)dx=2\pi\left(\tfrac13-\tfrac14\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Respuesta

π/6 ≈ 0,5236.

$V=\tfrac{\pi}{6}\approx0{.}5236$
Un toro 2 pasos
El disco (x − 2)² + y² ≤ 1 gira alrededor del eje y. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Por Pappus: el área por la distancia que recorre el centro.
  
  $V=A\cdot d=\pi\cdot1^{2}\cdot2\pi\cdot2=4\pi^{2}$
2. Por capas, la altura en x es 2√(1 − (x − 2)²):
  
  $V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot2\sqrt{1-(x-2)^{2}}\,dx\overset{u=x-2}{=}4\pi\int_{-1}^{1}(u+2)\sqrt{1-u^{2}}\,du=4\pi\cdot2\cdot\tfrac{\pi}{2}$
Respuesta

4π² ≈ 39,4784. La integral por capas requiere un cambio de variable y el área de un semicírculo; a Pappus le basta una sola línea.

$V=4\pi^{2}\approx39{.}4784$
Una raíz por capas 1 pasos
La región bajo y = √x en [0, 4] gira alrededor del eje y. Halla el volumen.
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1. Por capas: radio x, altura √x; el integrando queda como una potencia de x.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{4}x\sqrt{x}\,dx=2\pi\Bigl[\tfrac25x^{5/2}\Bigr]_{0}^{4}=2\pi\cdot\tfrac{64}{5}$
Respuesta

128π/5 ≈ 80,4248.

$V=\tfrac{128\pi}{5}\approx80{.}4248$
Capas respecto al eje x 2 pasos
Calcula por capas el volumen generado al girar la región bajo y = x² en [0, 1] alrededor del eje x.
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1. Respecto al eje x las capas avanzan en la dirección de x: radio y, y longitud desde x = √y hasta x = 1.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}y\left(1-\sqrt{y}\right)dy=2\pi\left(\tfrac12-\tfrac25\right)=\tfrac{\pi}{5}$
2. Comprobación por discos:
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{2}\right)^{2}dx=\tfrac{\pi}{5}$
Respuesta

π/5 ≈ 0,6283 por ambos métodos. Las capas siempre son paralelas al eje de rotación y su radio es la distancia a él.

$V=\tfrac{\pi}{5}\approx0{.}6283$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Gira la región bajo y = 1/x, 1 ≤ x ≤ 3, alrededor del eje y. Halla el volumen.

Mostrar respuesta

4π ≈ 12,5664. Cada casquillo tiene 2πx · (1/x) = 2π, de modo que el integrando es constante.

$V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot\frac{1}{x}\,dx=4\pi\approx12{.}5664$
Gira la región bajo y = x², 0 ≤ x ≤ 1, alrededor de la recta x = 2. Halla el volumen.

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5π/6 ≈ 2,618. El casquillo en x tiene radio 2 − x, su distancia al eje, no x.

$V=2\pi\int_{0}^{1}(2-x)\,x^{2}\,dx=\frac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
Gira la región bajo y = e^−x², 0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje y. Halla el volumen.

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π(1 − 1/e) ≈ 1,9859. El factor x del casquillo es lo que hace que ∫ x e^−x² dx sea elemental; por sí sola, e^−x² no tiene primitiva elemental.

$V=2\pi\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}}\,dx=\pi\left(1-\tfrac1e\right)\approx1{.}9859$

Dos cortes, un mismo volumen

Pulsa y = x², dos métodos. Las capas dividen el sólido en cilindros concéntricos de radio x y altura x², y suman 2πx·x² en [0, 1]. Las arandelas lo cortan en perpendicular al eje: discos de radio 1 con un orificio de radio √y, sumando π(1 − y) en [0, 1]. Ninguno de los dos cálculos se apoya en el otro y ambos dan 1,5708 = π/2. No hay magia en ello: son dos formas de cortar el mismo cuerpo en rebanadas finas, y el volumen no depende del cuchillo.

Corta en la dirección que haga fácil describir la región

Pulsa sen x: ganan las capas. La región es muy cómoda de describir en x, 0 ≤ y ≤ sen x para 0 ≤ x ≤ π, de modo que las capas conducen a 2π∫x sen x dx: una sola integración por partes y llegas a 2π². Con respecto a y, en cambio, la región va desde arcsen y hasta π − arcsen y, lo que obliga a calcular π∫((π − arcsen y)² − (arcsen y)²) dy. Esta herramienta lo resuelve y obtiene el mismo 19,7392, pero nadie elegiría ese camino a lápiz y papel. Antes de decidirte por un método, fíjate respecto a qué variable se expresan de forma sencilla las curvas de la región; el corte debe avanzar a lo largo de la otra.

Un toro es el área del disco por la distancia que recorre su centro

Pulsa Un toro. El disco de radio 1 centrado en x = 2 engendra un anillo cuyo volumen por capas es 39,4784 = 4π². Es simplemente el área del disco, π, multiplicada por la distancia que recorre su centro al girar, 2π·2 = 4π. Papo de Alejandría enunció este resultado hacia el año 340, en el libro VII de su Colección matemática, para cualquier región que gire en torno a una recta que no la corte; Paul Guldin volvió a publicarlo en 1640, y hoy suele llevar su nombre.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.