El teorema fundamental del cálculo

Si sombreas el área bajo una curva desde un punto de partida fijo a hasta un extremo móvil x, esa área pasa a ser una función de x. La página la dibuja bajo la curva, mide a qué ritmo crece y coloca esa tasa junto a la altura de la curva en x. La parte 1 del teorema afirma que son siempre el mismo número. De ella se desprende la parte 2: una primitiva permite calcular una integral definida.

Parte 1	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$
Parte 2	$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f$
Con x² o cualquier g(x) en el límite superior	$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$

Ejemplo resuelto — El teorema fundamental del cálculo

Área de a a x, por regla de Simpson	0,7468
Altura de la curva en x	0,3679

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El teorema fundamental del cálculo

La función acumulación de f a partir de a es A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt: el área con signo bajo f entre a y x. El teorema fundamental del cálculo consta de dos partes: A′(x) = f(x) en todo punto donde f sea continua y, por tanto, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) para cualquier primitiva F de f.

Qué significa cada símbolo

A(x): el área bajo f desde a hasta x; su signo se invierte bajo el eje y vuelve a invertirse si x queda a la izquierda de a
a: el punto de partida fijo; cambiarlo desplaza A en una constante y deja intacta A′

De dónde viene la fórmula

Parte 1: la pendiente del área es la altura de la curva. En un paso corto de x a x + h, el área adicional es una franja de anchura h con una altura próxima a f(x), de modo que el área crece a razón de f(x) por unidad de x.
$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt\ \longrightarrow\ f(x)$
Parte 2: cálculo mediante cualquier primitiva. Como A y cualquier primitiva F tienen la misma derivada, difieren solo en una constante, y la condición A(a) = 0 fija su valor.
$A(x)=F(x)+C,\quad A(a)=0\ \Rightarrow\ C=-F(a)\ \Rightarrow\ \int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$

Supone: f es continua en el intervalo. Donde f presenta un salto, la función área forma un punto anguloso y carece de pendiente en ese punto, aunque sigue estando definida.

Problemas resueltos al detalle

Derivar una integral con x en el límite superior 1 pasos
Calcula d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt.
1. Parte 1 en sentido directo: la derivada de la función área es el propio integrando evaluado en x.
  
  $\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt=\sqrt{1+x^{3}}$
Respuesta

√(1 + x³). No hace falta calcular ninguna primitiva de √(1 + t³), por suerte: no tiene ninguna elemental.

$\sqrt{1+x^{3}}$
x² en el límite superior: entra en juego la regla de la cadena 2 pasos
Calcula d/dx ∫₀^x² cos t dt.
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1. La función área es A(u) con u = x²; por tanto, deriva A respecto de u y multiplica por du/dx:
  
  $\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
2. Comprobación calculando primero la integral:
  
  $\int_{0}^{x^{2}}\cos t\,dt=\sin\left(x^{2}\right)\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\sin\left(x^{2}\right)=2x\cos\left(x^{2}\right)$
Respuesta

2x cos(x²). Escribir solo cos(x²) olvida la derivada interna, exactamente igual que ocurriría con cualquier otra regla de la cadena.

$2x\cos\left(x^{2}\right)$
x en ambos límites 3 pasos
Calcula d/dx ∫_x^2x t² dt.
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1. Separa la integral en un punto fijo cualquiera, por ejemplo 0, para que cada parte tenga x en un solo extremo:
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\int_{0}^{2x}t^{2}\,dt-\int_{0}^{x}t^{2}\,dt$
2. Deriva cada trozo, aplicando la regla de la cadena en el superior:
  
  $\frac{d}{dx}=(2x)^{2}\cdot2-x^{2}=8x^{2}-x^{2}=7x^{2}$
3. Comprobación calculando primero la integral:
  
  $\int_{x}^{2x}t^{2}\,dt=\frac{8x^{3}-x^{3}}{3}=\frac{7x^{3}}{3}\ \Rightarrow\ 7x^{2}$
Respuesta

7x². El límite inferior entra con signo menos, porque aumentarlo resta área.

$7x^{2}$
Una integral definida a partir de una primitiva 1 pasos
Calcula ∫₀^π sen x dx.

Abre este problema en la herramienta
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1. −cos x es una primitiva de sen x, de modo que se aplica la parte 2:
  
  $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=1+1$
Respuesta

2. Abre el caso en la herramienta: el área obtenida franja a franja también vale 2, y la función área tiene tangente horizontal en π, su punto más alto.

$\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2$
Interpretar una función área a partir de su integrando 3 pasos
Sea g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt. ¿Dónde es creciente g, cuáles son sus extremos, dónde cambia de curvatura y cuánto vale g(2)?

Abre este problema en la herramienta
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1. Por la parte 1, g′(x) = x² − 4, que es positiva fuera de [−2, 2] y negativa en su interior:
  
  $g'(x)=x^{2}-4:\quad g'>0\ \iff\ |x|>2,\qquad g'<0\ \iff\ |x|<2$
2. g″(x) = 2x cambia de signo en 0, de modo que g cambia de curvatura allí:
  
  $g''(x)=2x=0\iff x=0$
3. Y calculamos g(2) mediante la parte 2:
  
  $g(2)=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-4t\Bigr]_{0}^{2}=\tfrac{8}{3}-8=-\tfrac{16}{3}$
Respuesta

g crece en (−∞, −2] y [2, ∞) y decrece en [−2, 2]; tiene un máximo en −2, un mínimo en 2 y un punto de inflexión en 0; g(2) = −16/3 ≈ −5,3333. Cada uno de estos resultados se dedujo del signo de t² − 4 y de su pendiente, antes siquiera de escribir la propia g.

$\max:\ x=-2,\quad\min:\ x=2,\quad g(2)=-\tfrac{16}{3}\approx-5{.}3333$
El logaritmo como área 1 pasos
Calcula ∫₁^e dt/t.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. ln t es una primitiva de 1/t para t > 0:
  
  $\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=\Bigl[\ln t\Bigr]_{1}^{e}=\ln e-\ln1=1-0$
Respuesta

1. Leída en sentido inverso, esta es la definición por la que empiezan muchos libros: ln x es el área bajo 1/t entre 1 y x, y e es el número donde esa área alcanza el valor 1.

$\int_{1}^{e}\frac{dt}{t}=1$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula d/dx ∫_x² e^t² dt.

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−e^x². La variable está en el límite inferior, así que cambia de signo.

$-e^{x^{2}}$
Calcula d/dx ∫₀^{sin x} √(1 − t²) dt para −π/2 < x < π/2.

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√(1 − sin²x) · cos x = cos²x, ya que cos x es positivo en ese intervalo.

$\cos^{2}x$
Calcula ∫₋₁² (x² − 1) dx. ¿Coincide el resultado con el área entre la curva y el eje x?

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0, y el área no es 0 sino 8/3: los 4/3 que quedan bajo el eje en [−1, 1] cancelan los 4/3 situados por encima en [1, 2].

$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-1\right)dx=0,\qquad A=\tfrac{8}{3}$
Halla f si ∫₀^x f(t) dt = x² sin x para todo x.

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f(x) = 2x sin x + x² cos x, derivando en ambos miembros.

$f(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x$
Halla la recta tangente a G(x) = ∫₁^x √(t + 3) dt en x = 1.

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y = 2x − 2. G(1) = 0 porque el intervalo no tiene anchura, y G′(1) = √4 = 2.

$y=2x-2$

La pendiente del área es la altura de la curva, con o sin fórmula

Pulsa e^(−t²): sin fórmula. Para trazar la curva inferior, la página no recurre a ninguna primitiva: suma el área bajo e^−t² franja a franja. En x = 1 el área vale 0,7468, y la curva inferior sube a razón de 0,3679 por unidad, la altura exacta de la campana en 1. Mueve x adonde quieras: ambos números coinciden siempre. La explicación cabe en una frase. Si ensanchas el intervalo de x a x + h, el área suma una franja de anchura h y altura próxima a f(x), con lo que crece a f(x) por unidad de x. Nada de esto necesita fórmulas. Liouville demostró que e^−t² no tiene ninguna elemental, y aun así el teorema le entrega una primitiva directa: la propia función área.

Toda función área es una primitiva, pero no al revés

Pulsa cos t desde a = 2. Al mover el origen a, la curva inferior entera se desplaza hacia arriba o hacia abajo sin deformarse; por eso su pendiente en x se mantiene en cos 1 = 0,5403, valga lo que valga a. Cada valor de a proporciona una primitiva de cos t. El recíproco no es cierto. La función sen t + 5 también es primitiva de cos t y jamás igualará a una función área: cualquier función área vale 0 en su origen, mientras que sen t + 5 nunca baja de 4. El operador ∫ₐˣ rescata las primitivas que pasan por cero en algún punto, y al teorema le basta con una sola de ellas.

El área alcanza su máximo donde la curva cruza el cero hacia abajo

Pulsa sen t hasta π. El área vale 2 y la curva inferior tiene tangente horizontal: antes de π la curva discurre por encima del eje y suma área; pasado π queda por debajo y resta área, así que en π alcanza su cumbre. Pulsa t² − 4 hasta 2: el área vale −5,3333 en un fondo, exactamente por la razón inversa. En los exámenes suelen pedir todo esto analizando únicamente la gráfica de f, y el teorema explica por qué basta con eso: la función área crece donde f es positiva, decrece donde f es negativa, alcanza un máximo donde f cruza de positiva a negativa y cambia de curvatura donde la propia f tiene un pico o un valle. Los puntos grises del panel inferior marcan sus puntos de cambio de sentido.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.