Ratsionaalfunktsioonide uurija

f(x) = k(x − z)/(x − p): lohista graafikul nullkohta ja poolust või määra z, p ja k. Kõik telglõikepunktid ja asümptoodid arvutatakse allpool samm-sammult lahti.

Püstasümptoodid	$Q(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a$
Augud	$\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)$
Rõhtasümptoot	$\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}$
Kaldasümptoot	$\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}$
Selle lehe funktsioonipere	$k\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}$

Näidisarvutus — Ratsionaalfunktsioonide uurija

x-teljelõikepunkt	1
Vertikaalne asümptoot	−2
Horisontaalne asümptoot	1
y-telje lõikepunkt	−0,5
Lahutatud kuju	1 − 3/(x + 2)
\|z − p\|	3

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ratsionaalfunktsioonide uurija

Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis P(x)/Q(x). See pole määratud kohtadel, kus Q(x) = 0.

Kust valem tuleb

Tegurda ja taanda. Lugeja ja nimetaja ühise teguri saab välja taandada. Kohtades, kus see võrdus nulliga, kuid järelejäänud nimetaja mitte, on graafikul auk: lihtsustatud funktsioonil on seal väärtus olemas, algsel aga mitte.
$\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}$
Püstasümptoodid on need nimetaja nullkohad, mis pärast taandamist alles jäävad. Asümptoodi lähedal kasvab funktsioon tõkestamatult, kusjuures märk sõltub sellest, kummalt poolt läheneda.
$\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}$
Telglõikepunktid. Taandatud lugeja need nullkohad, kus esialgne nimetaja ei ole null, on x-telje lõikepunktid; f(0) annab y-telje lõikepunkti.
$x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2$
Lõpmatuses võrdle astmeid. Jagades lugejat ja nimetajat x-i kõrgeima astmega, näed kohe piirväärtust: 0, kui nimetaja aste on kõrgem, ning kõrgeima astme kordajate suhe, kui astmed on võrdsed.
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)$
Ühe võrra kõrgem aste lugejas annab kaldasümptoodi. Jaga polünoomid läbi: jagatiseks saadav sirge on asümptoot, millele kõver läheneb; jäägi jagatis Q-ga läheneb väärtusele 0.
$\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2$

Aseta nullkoht pooluse peale ja plahvatus kaob

Lohista nullkoht täpselt pooluse peale ja juhtub midagi kummalist: kõver ei plahvata enam, vaid muutub horisontaalseks sirgeks. Kui z = p, taandab tegur (x − z) nimetaja täielikult ja kõikjal jääb alles konstant k — välja arvatud kohas x = p, kus algne valem jagab endiselt nulliga. Graafik on seega sirge, millest on üks punkt välja löödud, ja see tööriist teatab asümptoodi asemel augu asukoha (p, k). Nimetaja nullkoht on poolus ainult siis, kui lugeja seda ära ei taanda; vastasel juhul on see kõrvaldatav auk, mida ükski suurendus ei näita.

Poolus on lõpmatu vaid valiku tõttu

Kujul (ax+b)/(cx+d) kirjutatuna on iga ühe nullkoha ja ühe poolusega funktsioon Möbiuse teisendus — teisendused, mis valitsevad kompleksanalüüsi ja hüperboolset geomeetriat. Lisa üksainus lõpmatuspunkt (Riemanni sfäär) ja poolus pole enam katastroof: x=p kujutub lihtsalt sellele uuele punktile ja x=∞ horisontaalsele asümptoodile y=k. Sfääril on funktsioon sile, pööratav bijektsioon — „plahvatus" on vaid tasapinnalise kaardi artefakt.

RATSIONAALFUNKTSIOONID — KUS GRAAFIK PLAHVATAB JA KUS TA RAHUNEB?

Millise ratsionaalfunktsiooni juhtumiga on tegemist?

Avaldises f(x) = k(x − z)/(x − p) on ainult kolm arvu ja igaühele neist kuulub üks graafiku tunnus. Nullkoht z on seal, kus kõver lõikab telge. Poolus p on seal, kus nimetaja kaob ja kõver jookseb lõpmatusse. Võimendus k on see, mille juurde ta mõlemast kaugel jääb. Lugege need kolm valemist välja ja graafik on visandatud enne, kui ainustki punkti on joonistatud.

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt x = p, y = k

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses k < 0 ⇒ f → −f

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt

Mida te teate: Poolus ja nullkoht mugaval kaugusel. Püstine asümptoot on kohal x = p, rõhtne kohal y = k, ja kõver lõikab telge kohal x = z.

Tunnus: x = p, y = k

Näidisarvutus: f(x) = (x − 1)/(x + 2): asümptoot kohal x = −2, lõikepunkt kohal x = 1 ja f → 1 mõlemas suunas kaugel. Kohal x = 0 on väärtus −0,5.

Ava see juhtum: põhijuht

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt. Poolus ja võimendus joonistavad kaks asümptooti; nullkoht määrab, kus kõver telge lõikab. Poolus ja nullkoht mugaval kaugusel. Püstine asümptoot on kohal x = p, rõhtne kohal y = k, ja kõver lõikab telge kohal x = z. — Poolus ja võimendus joonistavad kaks asümptooti; nullkoht määrab, kus kõver telge lõikab.

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik

Mida te teate: Sama kuju, aga poolus asub nullkoha lähedal. Kõveral tuleb lühikesel maal teljelt lõpmatusse jõuda, seega tõuseb ta järsult.

Tunnus: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Näidisarvutus: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): poolus kohal 0,2 on nullkohast 0,5 vaid 0,3 kaugusel ja f(0) on juba 3,5, kaugväärtus aga 1,4

Ava see juhtum: järsk poolus

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik. Lühike vahe pooluse ja nullkoha vahel sunnib kõverat läbima kitsa ja järsu väljalöögi. Sama kuju, aga poolus asub nullkoha lähedal. Kõveral tuleb lühikesel maal teljelt lõpmatusse jõuda, seega tõuseb ta järsult. — Lühike vahe pooluse ja nullkoha vahel sunnib kõverat läbima kitsa ja järsu väljalöögi.

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses

Mida te teate: Negatiivne k peegeldab kogu kõvera rõhttelje suhtes. Asümptootide asukoht ei liigu; harud vahetavad nurka, mida nad hõivavad.

Tunnus: k < 0 ⇒ f → −f

Näidisarvutus: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): asümptoot kohal x = 1,2, lõikepunkt kohal x = −1,5, rõhtne asümptoot y = −1 ja f(0) = 1,25

Ava see juhtum: negatiivne võimendus

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses. Asümptoodid on seal, kus olid, aga iga haru on liikunud vastasküljele. Negatiivne k peegeldab kogu kõvera rõhttelje suhtes. Asümptootide asukoht ei liigu; harud vahetavad nurka, mida nad hõivavad. — Asümptoodid on seal, kus olid, aga iga haru on liikunud vastasküljele.

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk

Mida te teate: Kui z ja p on väga lähestikku, taanduvad tegurid peaaegu ära. Väljaspool seda ümbrust on funktsioon konstandi k lähedal ja poolus jääb alles nõelpeene piiguna.

Tunnus: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Näidisarvutus: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): vahe vaid 0,12, seega f(0) = 0,893, lähedal kaugväärtusele 1 — ja ometi on asümptoot kohal x = 1,12 alles

Ava see juhtum: peaaegu taandunud

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk. Peaaegu kõikjal konstant, välja arvatud kitsas aken, kus poolus siiski peale jääb. Kui z ja p on väga lähestikku, taanduvad tegurid peaaegu ära. Väljaspool seda ümbrust on funktsioon konstandi k lähedal ja poolus jääb alles nõelpeene piiguna. — Peaaegu kõikjal konstant, välja arvatud kitsas aken, kus poolus siiski peale jääb.

Ülesanded täielikult lahendatud

Telglõikepunktid ja asümptoodid 5 sammu
Leia funktsiooni f(x) = 2(x − 3)/(x + 1) telglõikepunktid ja asümptoodid ning määra, millistes nurkades asuvad selle harud.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Nullkoht: lugeja on 0 kohal x = 3, kus nimetaja ei ole null.
  
  $2(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3$
2. Püstasümptoot: nimetaja on 0 kohal x = −1.
  
  $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$
3. Rõhtasümptoot: jaga lugejat ja nimetajat x-ga.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)$
4. Lõikepunkt y-teljega: võta x = 0.
  
  $f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6$
5. Harude uurimiseks eralda täisosa: murd nimetajaga x + 1 on arvust −1 paremal negatiivne, seega jääb parempoolne haru sirgest y = 2 allapoole ja vasakpoolne sellest ülespoole.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}$
Vastus

Nullkoht x = 3, y-telje lõikepunkt −6, asümptoodid x = −1 ja y = 2; f(x) = 2 − 8/(x + 1), harud üleval vasakul ja all paremal.

$f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2$
Auk 3 sammu
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2). Leia võimalikud augud, asümptoodid ja telglõikepunktid.
Näita lahendust
1. Tegurda lugeja ja nimetaja: ühine tegur on x − 2.
  
  $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$
2. Taanda see välja. Algne funktsioon pole kohal x = 2 määratud; taandatud kuju annab augu kõrguse.
  
  $=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43$
3. Mis järele jääb: tegur x + 1 määrab püstasümptoodi, x + 2 nullkoha ning võrdsed astmed rõhtasümptoodi.
  
  $\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}$
Vastus

Auk punktis (2, 4/3); asümptoodid x = −1 ja y = 1; nullkoht x = −2; y-telje lõikepunkt 2.

$\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2$
Rõhtasümptoodid astmete järgi 3 sammu
Leia rõhtasümptoot (kui see leidub) funktsioonidel (a) (3x + 1)/(x² + 1), (b) (6x² − x)/(2x² + 5) ja (c) x³/(x² + 1).
Näita lahendust
1. (a) Nimetaja aste on kõrgem.
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0$
2. (b) Astmed on võrdsed: asümptoodi määrab kõrgeima astme kordajate suhe.
  
  $\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3$
3. (c) Lugeja aste on ühe võrra kõrgem, seega rõhtasümptoot puudub; jagamine annab hoopis kaldasümptoodi.
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}$
Vastus

(a) y = 0, (b) y = 3, (c) puudub: kõver läheneb sirgele y = x.

$y=0;\qquad y=3;\qquad y=x$
Kaldasümptoot 3 sammu
Leia funktsiooni f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1) asümptoodid.
Näita lahendust
1. Lugeja aste on nimetaja omast ühe võrra kõrgem. Jaga läbi.
  
  $x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}$
2. Jäägiliige läheneb väärtusele 0, kui x mistahes suunas kasvab.
  
  $\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)$
3. Nimetaja on 0 kohal x = −1, lugeja aga mitte (seal on selle väärtus −1).
  
  $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0$
Vastus

Püstasümptoot x = −1; kaldasümptoot y = x + 2.

$x=-1;\qquad y=x+2$
Rõhtasümptoodi lõikamine 2 sammu
Kas f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) lõikab oma rõhtasümptooti? Kui jah, siis kus?
Näita lahendust
1. Astmed on võrdsed, seega rõhtasümptoot on y = 1.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1$
2. Võrdsusta f(x) = 1 ja lahenda. Liikmed x² taanduvad välja ning alles jääb lineaarvõrrand.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12$
Vastus

Jah, ühes punktis: (−1/2, 1). Rõhtasümptoot kirjeldab vaid kõvera kaugeid otsi.

$\left(-\tfrac12,\ 1\right)$
Murdvõrratus 3 sammu
Lahenda (x − 3)/(x + 1) > 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Märk saab muutuda üksnes nullkohal 3 ja poolusel −1. Need jaotavad arvsirge kolmeks vahemikuks.
  
  $x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3$
2. Vali igast vahemikust üks proovipunkt.
  
  $\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}$
3. Kohal x = 3 saame tulemuseks 0, mis pole rangelt suurem kui 0, ning x = −1 ei kuulu määramispiirkonda.
  
  $f(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f$
Vastus

x < −1 või x > 3

$x<-1\ \ \lor\ \ x>3$
Funktsiooni leidmine tunnuste järgi 2 sammu
Leia funktsioon f(x) = k(x − z)/(x − p), kui püstasümptoot on x = 2, rõhtasümptoot y = 3 ja y-telje lõikepunkt −3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Püstasümptoot määrab parameetri p ja rõhtasümptoot parameetri k.
  
  $x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3$
2. Lõikepunkt y-teljega fikseerib parameetri z.
  
  $f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2$
Vastus

f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

$f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}$
Sirgel y = 1 horisontaalse asümptoodini jõudev kõver 5 sammu
Funktsioonil f(x) = (x − 1)/(x + 2) on horisontaalasümptoot y = 1. Tee kindlaks, kas kõver selleni kunagi tegelikult jõuab.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Nullkoht ja poolus selguvad otse tegurdatud kujust: lugeja muutub nulliks kohal 1, nimetaja kohal −2.
  
  $f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}$
2. Suurte |x| väärtuste korral domineerivad nii lugejas kui ka nimetajas nende x-liikmed, seega läheneb jagatav pealiikmete kordajate suhtele. See ongi horisontaalasümptoot ja siin on see 1.
  
  $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}$
3. Esita nüüd küsimus otse, selle asemel et vaadata graafikut silma järgi: võrdsusta funktsioon selle asümptoodiga ja lahenda võrrand.
4. Muutuja x taandub välja ja järele jääb −1 = 2, mis on väär iga x korral. Seega ei puuduta kõver sirget y = 1 kunagi — ei kaugel eemal ega kuskil mujal.
  
  $\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}$
5. Püstasümptoodi juures on lugu vastupidine. Arvust −2 vahetult paremal, kohal −1,99, on funktsiooni väärtus −299; vahetult vasakul, kohal −2,01, aga +301. Funktsioon ei lähene mõlemalt poolt ühele väärtusele, vaid hajub vastassuundades.
  
  $f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301$
Vastus

Tööriist kuvab x-lõikepunktiks 1, vertikaalasümptoodiks −2 ja horisontaalasümptoodiks 1. Tulemus, mida tasub meeles pidada, on see, et horisontaalasümptoot ei ole tõke — seda siin ei saavutata kunagi, kuid see on fakt selle funktsiooni, mitte üldise reegli kohta. Muuda lugejat kujule x − 1 + midagi, mis hääbub, ning kõver võib oma horisontaalasümptooti vabalt ja kas või korduvalt lõigata. Vertikaalasümptoodid on ranged: funktsioon on seal määramata, mistõttu ei saa see neid kunagi lõigata. Nende kahe segamine on selle teema kõige sagedasem viga ja üks rida algebrat lahendab selle iga kord.

$\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia funktsiooni f(x) = (3x − 6)/(x + 2) telglõikepunktid ja asümptoodid.

Näita vastust

x-telje lõikepunkt 2, y-telje lõikepunkt −3; asümptoodid x = −2 ja y = 3

$x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3$
Leia funktsiooni f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9) auk ja asümptoodid.

Näita vastust

Auk punktis (−3, 5/6); asümptoodid x = 3 ja y = 1

$\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1$
Leia funktsiooni f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1) kaldasümptoot.

Näita vastust

y = 2x + 3

$y=2x+3$
Lahenda (x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

Näita vastust

−2 ≤ x < 1

$-2\le x<1$
Leia funktsiooni f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7) rõhtasümptoot.

Näita vastust

y = 2

$y=2$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Allikad (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.