Polünoomijagamise treener

Sisesta jagatav ja jagaja polünoomina muutuja x suhtes (näiteks 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) või kordajatena alates kõrgeimast astmest (näiteks 2, -3, 4, -5). Tavapäraste täisarvuliste kordajate korral on iga samm täpne, kaasa arvatud murrud.

Jaguvusalgoritm	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
Jäägiteoreem	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
Teguriteoreem	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

Näidisarvutus — Polünoomijagamise treener

Jagatis	2x² + x + 6
Jääk	7
Korrutatud tagasi	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2), jäägiteoreem	7
Kas x − 2 on tegur?	ei
Jagatav	2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Polünoomijagamise treener

Polünoomi P(x) jagamine polünoomiga D(x) tähendab sellise jagatise Q(x) ja jäägi R(x) leidmist, mille korral P = DQ + R ning jäägi R aste on madalam kui jagaja D aste.

Kust valem tuleb

Jaga pealiikmed. Polünoomi P pealiige jagatuna polünoomi D pealiikmega annab jagatise esimese liikme.
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
Korruta läbi ja lahuta. Selle liikme korrutis jagajaga D nullib polünoomi P pealiikme, mistõttu järelejäänu on juba madalama astmega.
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
Korda, kuni aste langeb alla jagaja D astme. Iga ring lisab jagatisse ühe liikme. Polünoomist P puuduvale astmele jäetakse oma veerg kordajaga 0.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
Loe samasusest välja jäägiteoreem. Jagaja x − a korral on R kindel arv. Kui asetada võrdusse P = (x − a)Q + R muutuja kohale a, kaob esimene liidetav täielikult.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
Jõua sealt teguriteoreemini. x − a jagab polünoomi P parajasti siis, kui jääk P(a) on 0 — seega taandub teguri leidmine juure leidmisele.
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kirjalik jagamine puuduva astmega 4 sammu
Jaga x³ + 2x − 5 avaldisega x + 1.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kuna x²-liiget pole, kirjuta veergude kohakuti hoidmiseks vahele 0x². x³ ÷ x = x².
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. x² korrutatuna liitmikuga (x + 1) annab x³ + x². Lahutamisel jääb järele −x² + 2x − 5. Nüüd −x² ÷ x = −x.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. −x korrutatuna liitmikuga (x + 1) on −x² − x. Lahutamisel saame 3x − 5. Edasi 3x ÷ x = 3 ning 3(x + 1) = 3x + 3 jätab järele −8.
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. Kontrolli tulemust korrutamisega.
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
Vastus

Jagatis x² − x + 3, jääk −8.

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
Ruutpolünoomist jagaja 3 sammu
Jaga x⁴ + 3x³ − x + 2 polünoomiga x² + x − 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. x⁴ ÷ x² = x². Korruta läbi ja lahuta.
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x. Korruta läbi ja lahuta.
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1. Korruta läbi ja lahuta. Järele jäänud 2x + 1 on 1. astme avaldis, seega madalama astmega kui jagaja aste 2, ja see ongi jääk.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
Vastus

Jagatis x² + 2x − 1, jääk 2x + 1.

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
Jagaja, mille peakordaja pole 1 4 sammu
Jaga 4x³ − 2x² + 6x + 1 avaldisega 2x − 1.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Jagatiseliikmed leitakse jagamisel 2x-ga. 4x³ ÷ 2x = 2x².
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x² ning lahutamisel kaob ka x²-liige. Kuna 0x² ÷ 2x = 0, siis jagatises x-liiget ei teki.
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3 ning 3(2x − 1) = 6x − 3 annab jäägiks 4.
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. Jäägiteoreem kinnitab sama: avaldis 2x − 1 on 0 kohal x = 1/2.
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
Vastus

Jagatis 2x² + 3, jääk 4.

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
Jäägi leidmine jagamiseta 2 sammu
Leia jääk, mis tekib polünoomi x³ − 4x² + 5x − 7 jagamisel avaldisega x − 3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Jagaja on kujul x − a, kus a = 3, seega on otsitav jääk P(3).
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. Kirjalik jagamine annab täpselt sama tulemuse jagatisega x² − x + 2.
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
Vastus

Jääk on −1.

$R=P(3)=-1$
Teguri leidmine ja täielik tegurdamine 3 sammu
Näita, et x − 1 on polünoomi x³ − 6x² + 11x − 6 tegur, ning lahuta see polünoom täielikult teguriteks.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. P(1) = 0, järelikult on x − 1 teguriteoreemi põhjal polünoomi P tegur.
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. Jaga läbi, et leida teine tegur.
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. Saadud jagatis on ruutkolmliige, mis lahutub samuti teguriteks.
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
Vastus

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
Tundmatu kordaja 3 sammu
Avaldis x + 2 on polünoomi x³ + kx² − x − 2 tegur. Leia k.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kuna x + 2 on x − (−2), siis P(−2) = 0.
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. Lahenda võrrand k suhtes.
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. Kontrolli jagamisega: jääk peab olema 0.
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
Vastus

k = 2 ning x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).

$k=2$
Kaks tundmatut ja kaks tingimust 3 sammu
Olgu P(x) = x³ + ax² + bx − 6. Avaldis x − 1 on polünoomi P tegur ning P jagamisel avaldisega x + 1 tekib jääk 4. Leia a ja b.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegurist järeldub seos P(1) = 0.
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. Jäägist järeldub seos P(−1) = 4.
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. Liida saadud võrrandid ja asenda leitud väärtus tagasi.
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
Vastus

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
2x³ − 3x² + 4x − 5 jagamine avaldisega x − 2 5 sammu
Polünoomi 2x³ − 3x² + 4x − 5 jagamisel binoomiga x − 2 on jääk 7. Jõua selleni sünteetilise jagamise abil ning seejärel saa sama 7 ilma üldse jagamata.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sünteetiline jagamine on kirjalik jagamine ilma liigse arvepidamiseta. Olulised on vaid koefitsiendid ning jagamine binoomiga x − r tähendab, et korrutajaks on r.
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. Too 2 alla, korruta 2-ga ja liida arvule −3, et saada 1, korruta 2-ga ja liida arvule 4, et saada 6, korruta 2-ga ja liida arvule −5, et saada 7. Esimesed kolm moodustavad jagatise; viimane on jääk.
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. Lahtikirjutatult on see polünoomide jagamise algoritm — ning samasus kehtib iga x korral, mitte ainult mugavate väärtuste puhul.
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. Seega asenda x = 2. Tegur (x − 2) muudab kogu jagatise nulliks, mis ta ka parajasti poleks, ning samasus taandub kujule P(2) = jääk.
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. P(2) otsene arvutamine annab 7, mis ühtib jagamise tulemusega ilma ühtegi jagamistehet tegemata.
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
Vastus

Tööriist väljastab jagatise 2x² + x + 6 ja jäägi 7. Jäägiteoreem ongi see, mida samm 4 tõestab, ning see on väärtuslikum kui selle pakutav otsetee: kuna jääk on P(r), on küsimus, kas (x − r) jagab polünoomi, samaväärne küsimusega, kas P(r) = 0. Siin on see 7, seega ei jaga. See samaväärsus muudab tegurite otsimise väärtuse arvutamiseks — proovi jagaja väärtusi, kuni jääk on 0, ning oled sama sammuga leidnud juure ja tegurdanud polünoomi.

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Jaga x³ − 3x² + 5 avaldisega x − 1.

Näita vastust

Jagatis x² − 2x − 2, jääk 3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
Jaga 2x⁴ − 3x³ + x − 4 avaldisega x² − 2.

Näita vastust

Jagatis 2x² − 3x + 4, jääk −5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
Jaga x² + 1 avaldisega 2x − 1.

Näita vastust

Jagatis x/2 + 1/4, jääk 5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
Leia jääk, mis tekib polünoomi 2x³ + 3x² − 5 jagamisel avaldisega 2x + 1.

Näita vastust

−9/2

$-\frac92$
Näita, et x − 2 on polünoomi x³ − 7x + 6 tegur, ning lahuta see täielikult teguriteks.

Näita vastust

(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
Kui polünoomi x³ + px + q jagatakse avaldisega x − 1, on jääk 6, ning x + 2 on selle tegur. Leia p ja q.

Näita vastust

p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

Jagamine avaldisega x − r ei vaja üldse x-i

Kui jagajaks on x − r, taandub kogu kirjaliku jagamise skeem üheainsa rea kordajatehetele: tood esimese alla, korrutad r-iga, liidad ja kordad. See on sünteetiline jagamine ehk Horneri skeem. Just seepärast osutub viimane paberile kirjutatud arv korraga nii jäägiks kui ka polünoomi väärtuseks kohal r. Tõhususe vahe pole pelk fassaad: 10. astme polünoomi väärtustamiseks kulub sel moel 10 korrutamist, samas kui kõiki astmeid eraldi välja arvutades teeksid neid 19. Just nii arvutavad polünoome ka tegelikud arvutustarkvara teegid.

Sellega kontrollitakse su faile

Iga CRC-kontrollsumma (olgu salvestatud faili, ZIP-arhiivi või Etherneti paketi veakontrollis) on tegelikult maskeeritud polünoomide pikk jagamine. Andmebittidest saavad hiiglasliku polünoomi kordajad üle korpuse GF(2), kus arvutatakse mooduli 2 järgi ning liitmine pole midagi muud kui XOR-tehe. See polünoom nihutatakse generaatori astme võrra kõrgemale ning jagatakse kindla generaatorpolünoomiga läbi; jäägiks ongi kontrollsumma, kui jätta arvestamata konkreetse standardi lisatud algväärtus ja lõppinversioon. Seesama algoritm, mida siin harjutuses käsitsi läbi teeme, käib võrguraudvaras läbi miljardeid kordi sekundis.

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Allikad (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Polünoomijagamise treener

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Jagamine avaldisega x − r ei vaja üldse x-i 🖖

Sellega kontrollitakse su faile 🖖

Jagamine avaldisega x − r ei vaja üldse x-i

Sellega kontrollitakse su faile