Ruutvõrrandi lahendaja

Sisesta a, b ja c. Täisarvuliste kordajate korral tulevad lahendid täpsel kujul, irratsionaalarvude puhul juurtega, ja iga arvutus on allpool samm-sammult lahti kirjutatud.

Ruutvõrrandi lahendivalem	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Reaalarvuliste lahendite arv	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
Täisruudu eraldamine	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
Lahendite summa ja korrutis	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Näidisarvutus — Ruutvõrrandi lahendaja

Diskriminant	1
Lahendid	3, 2
Haripunkt	(2,5, −0,25), miinimum
Lahendite summa	5
Lahendite korrutis	6

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ruutvõrrandi lahendaja

Ruutvõrrand on kuju ax² + bx + c = 0, kus a ≠ 0. Selle lahendid on x-i väärtused, mille korral võrdus kehtib; reaalarvulised lahendid asuvad seal, kus parabool y = ax² + bx + c lõikab x-telge.

Kust valem tuleb

Too a x-iga liikmete eest sulgude ette, et sulg algaks puhta x²-ga.
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
Eralda täisruut. Pool x-i kordajast tõstetakse ruutu ning liidetakse ja lahutatakse sulgudes. Välja jääv arv määrab haripunkti kõrguse.
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
Avalda x. Võrdsusta avaldis nulliga, jäta ruut üksi ja võta mõlemad ruutjuured. Tulemuseks on ruutvõrrandi lahendivalem.
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
Vaata diskriminanti. Ruut ei ole kunagi negatiivne. Avaldise b² − 4ac märk määrab, kas lahendeid on kaks eri reaalarvulist, üks kordne või paar kompleksseid.
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
Jäta juured täpseks. Too täisruudud juuremärgi √Δ alt välja ja taanda ühised tegurid. Kümnendmurde kasuta vaid siis, kui ülesanne neid nõuab.
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

Kui kuulus valem vaikselt vääratab

Õpikust tuntud valem võib arvutis alt vedada. Kui b² on suurusest 4ac oluliselt suurem, läheneb ruutjuure väärtus |b|-le. Kahest lahendist ühe arvutamisel lahutatakse siis teineteisest kaks peaaegu võrdset arvu. See oht tekib avaldises -b + √Δ, kui b on positiivne, ja avaldises -b − √Δ, kui b on negatiivne. Tulemuseks on enamiku tüvenumbrite kadu. Seda nähtust nimetatakse katastroofiliseks taandumiseks. Arvutusmatemaatika teegid lähevad probleemist kavalalt mööda. Kõigepealt arvutatakse üks lahend. Teine leitakse seejärel seosest c/(a·x₁). Sajanditevanune algebra ja tänapäevane ujukomaarvutus on siin vaikses vastuolus.

RUUTVÕRRANDI TEOORIA — LOE ax² + bx + c ENNE LAHENDAMIST

Diskriminant: mitu lahendit ja kummale poole avaneb?

Kaks arvu määravad vastuse kuju juba enne, kui lahendivalemini jõuad. Diskriminant Δ = b² − 4ac ütleb, mitu reaalset lahendit on, ja a märk ütleb, kummale poole parabool avaneb ning kas selle haripunkt on madalaim või kõrgeim punkt.

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend Δ = 0

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit Δ < 0

a < 0 — parabool avaneb allapoole a < 0

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit

Mis on teada: Diskriminant b² − 4ac tuleb positiivne. Parabool lõikab x-telge kahes eraldi punktis.

Lahendid: Δ = b² − 4ac > 0

Näidisülesanne: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 ja x = 3

Ava see juht: kaks juurt

Δ > 0 — kaks erinevat reaalset lahendit. Δ > 0: kõver lõikab telge kaks korda, haripunkti suhtes sümmeetriliselt. Diskriminant b² − 4ac tuleb positiivne. Parabool lõikab x-telge kahes eraldi punktis. — Δ > 0: kõver lõikab telge kaks korda, haripunkti suhtes sümmeetriliselt.

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend

Mis on teada: Diskriminant on täpselt null. Parabool puudutab x-telge ühes punktis, mitte ei lõika seda.

Lahendid: Δ = 0

Näidisülesanne: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, loetuna kaks korda

Ava see juht: kordne juur

Δ = 0 — üks kahekordne reaalne lahend. Δ = 0: haripunkt on täpselt teljel — puutepunkt, mitte lõige. Diskriminant on täpselt null. Parabool puudutab x-telge ühes punktis, mitte ei lõika seda. — Δ = 0: haripunkt on täpselt teljel — puutepunkt, mitte lõige.

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit

Mis on teada: Diskriminant on negatiivne. Parabool ei jõua kunagi x-teljeni, seega reaalset lahendit pole.

Lahendid: Δ < 0

Näidisülesanne: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Ava see juht: kompleksjuured

Δ < 0 — kaks kaaskompleksset lahendit. Δ < 0: kogu kõver jääb telje ühele poole. Diskriminant on negatiivne. Parabool ei jõua kunagi x-teljeni, seega reaalset lahendit pole. — Δ < 0: kogu kõver jääb telje ühele poole.

a < 0 — parabool avaneb allapoole

Mis on teada: Juhtkordaja a on negatiivne. See ei sõltu diskriminandist: kõver pöördub ümber ja haripunktist saab maksimum.

Lahendid: a < 0

Näidisülesanne: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, maksimum punktis (0, 4)

Ava see juht: avaneb allapoole

a < 0 — parabool avaneb allapoole. a < 0: harud osutavad alla ja haripunkt on maksimum. Juhtkordaja a on negatiivne. See ei sõltu diskriminandist: kõver pöördub ümber ja haripunktist saab maksimum. — a < 0: harud osutavad alla ja haripunkt on maksimum.

Allikad (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Ülesanded täielikult lahendatud

x² − 5x + 6 = 0 lahendamine ruudu eraldamisega 5 sammu
Lahenda võrrand x² − 5x + 6 = 0 täisruudu eraldamise teel. Seejärel vasta küsimusele, mida ruutvõrrandi lahendivalem sulle ei ütle: diskriminant loendab lahendeid, aga mida mõõdab selle suurus?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Täisruudu eraldamine ei ole trikk ruutvõrrandite lahendamiseks — see on ruutvõrrandi lahendivalemi kehtivuse tõestus ühel konkreetsel võrrandil. Jaga x-i kordaja kahega, tõsta ruutu, liida ja lahuta. Ilmuv 6,25 on hind kahe esimese liikme täisruuduks sundimise eest ning see tuleb samal real tagasi maksta.
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. Tipukuju seab muutuja täpselt ühte kohta, nii et selle saab otse avaldada: eralda ruut, võta mõlemad ruutjuured, liida 2,5 tagasi. Vaja ei läinud ühtegi valemit ega tulnud ühtegi pähe õppida.
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. Nüüd diskriminant. Siin on Δ = 1 ja see on positiivne, seega on võrrandil kaks reaalarvulist lahendit. See on osa, mida mainib iga õpik.
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. See ilmub veel kaks korda ja kumbagi ei öelda tavaliselt kõva häälega välja. Lahendite vahekaugus on √Δ/|a|, sest valemis olev ± annab kummalegi lahendile panuse ±√Δ/2a. Ja tipp paikneb Δ/4a võrra allpool telge — ülaloleva paneeli −0,25 ei ole iseseisev tulemus, vaid taas diskriminant, mis on jagatud neljaga.
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. Vieta valemid sõlmivad ringi kokku. Ava sulud avaldises a(x − x₁)(x − x₂), kõrvuta seda liikmete kaupa avaldisega ax² + bx + c ning lahendite summa ja korrutis tulevad välja ilma midagi lahendamata.
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
Vastus

Lahendid on x = 2 ja x = 3 ning tööriist kuvab samast täisruudu eraldamisest tipuks (2,5, −0,25). Kasu seisneb selles, et üks arv valitseb kolme eraldiseisvat tõsiasja. Δ = 1 teeb lahendid reaalarvulisteks, paigutab need täpselt 1 võrra lahku ja viib tipu täpselt 0,25 võrra allpool telge. Suurenda muutuja c väärtust 6,25 poole ning vaata, kuidas kõik kolm liiguvad koos: lahendid nihkuvad sissepoole, vahe kahaneb kui √Δ ja parabool tõuseb, kuni puudutab telge väärtusel Δ = 0. Need ei olnud kunagi kolm juhust — see on üks suurus kolmest vaatenurgast vaadatuna.

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
Lahendivalem: vastus juuremärgiga 4 sammu
Lahenda 2x² − 3x − 4 = 0, esitades lahendid täpsel kujul.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Määra a, b ja c koos märkidega. Just siin kaotatakse enim punkte.
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. Kõigepealt diskriminant. See on positiivne, aga pole täisruut. Järelikult on võrrandil kaks reaalarvulist lahendit ning mõlemad on irratsionaalsed.
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. Väärtused lahendivalemisse. Arv 41 ei jagu ühegi täisruuduga, seega jääb √41 täpselt nii.
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. Kümnendmurdudeni tasub minna alles lõpus, ja ainult siis, kui ülesanne neid nõuab.
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
Vastus

x = (3 ± √41)/4, ligikaudu 2,3508 ja −0,8508.

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
Täisruudu eraldamine, kui a ≠ 1 4 sammu
Esita 2x² − 8x + 5 kujul a(x + p)² + q, määra y = 2x² − 8x + 5 haripunkt ning lahenda võrrand 2x² − 8x + 5 = 0 täpsel kujul.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Too 2 sulgude ette ainult x-iga liikmetest. 5 jääb välja.
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. Pool arvust −4 on −2. Tõsta see ruutu, liida ja lahuta sulgudes ning korruta 2 seejärel läbi arvuga −4.
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. Ruut ei ole kunagi negatiivne. Vähim väärtus on −3 ning see saavutatakse siis, kui sulg on 0.
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. Täisruuduga kuju nulliga võrdsustades piisab vaid ühest ruutjuurest.
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
Vastus

2(x − 2)² − 3; haripunkt (2, −3), miinimum; x = (4 ± √6)/2.

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
Parameeter ja võrdsed lahendid 4 sammu
Leia k väärtused, mille korral on võrrandil x² + kx + 9 = 0 võrdsed lahendid. Milliste k väärtuste puhul on võrrandil kaks eri reaalarvulist lahendit?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võrdsed lahendid tähendavad, et diskriminant on null. Kirjuta see välja k kaudu.
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. Lahenda see k suhtes.
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. Kontrolli ühte neist. Kui k = 6, on vasak pool täisruut ja selle ainus lahend on −3.
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. Kahe eri lahendi saamiseks peab diskriminant olema positiivne. See kehtib väljaspool kahte äsja leitud väärtust.
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
Vastus

k = 6 või k = −6 võrdsete lahendite korral; kaks eri reaalarvulist lahendit, kui k < −6 või k > 6.

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
Reaalarvulised lahendid puuduvad 3 sammu
Näita, et võrrandil x² + 2x + 5 = 0 puuduvad reaalarvulised lahendid, ning leia selle kompleksarvulised lahendid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diskriminant on negatiivne.
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. Täisruudu eraldamine näitab sama piltlikult: vasak pool ei lange kunagi alla 4 ega saa seega olla 0. Parabool jääb teljest ülespoole.
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. Valem töötab ikka: kuna √−16 = 4i, tulevad kaks lahendit kaaskompleksarvude paarina.
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
Vastus

Δ = −16 < 0, seega reaalarvulised lahendid puuduvad; kompleksarvulised lahendid on x = −1 ± 2i.

$x=-1\pm2i$
Varjatud ruutvõrrand 3 sammu
Lahenda x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Mängus on vaid x² ja x⁴, ning x⁴ on (x²)². Anna x²-le uus nimi.
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. Nüüd on käes tavaline ruutvõrrand u suhtes. Selle lahendab tööriist.
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. Tule tagasi x-i juurde. Iga positiivne u väärtus annab kaks x-i väärtust.
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
Vastus

x = −2, −1, 1 või 2.

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
Ruutvõrrand lahendite põhjal 3 sammu
Koosta täisarvuliste kordajatega ruutvõrrand, mille lahendid on 2 + √3 ja 2 − √3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Liida lahendid kokku: juured koonduvad välja.
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. Korruta need omavahel: ruutude vahe kaotab samuti juure.
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. Kui pealiikme kordaja on 1, on ruutvõrrandiks x² miinus lahendite summa korda x pluss korrutis.
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
Vastus

x² − 4x + 1 = 0.

$x^{2}-4x+1=0$
Mudel ja kõlbmatu lahend 4 sammu
Pall visatakse nii, et selle kõrgus t sekundi järel on h = 1,5 + 14t − 4,9t² meetrit. Millal jõuab pall maapinnale ja kui kõrgele see tõuseb?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Maapind tähendab, et h = 0. Tavapärases järjekorras on a = −4,9, b = 14 ja c = 1,5.
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. Diskriminant.
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. Valem annab kaks lahendit. Negatiivne neist tähistab aega enne viset, mille kohta mudel ei kehti, mistõttu heidame selle kõrvale.
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. Lennu kõrgeim punkt on haripunkt. Kuna a on negatiivne, on tegemist maksimumiga.
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
Vastus

See puudutab maapinda umbes 2,96 s pärast ja tõuseb 11,5 m kõrgusele, kui t ≈ 1,43 s.

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Lahenda x² + 4x − 7 = 0, esitades vastused täpsel kujul.

Näita vastust

x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
Esita x² − 6x + 11 kujul (x − p)² + q ning leia selle vähim väärtus.

Näita vastust

(x − 3)² + 2; miinimum 2 kohal x = 3

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
Leia k, kui võrrandil 2x² − 4x + k = 0 on võrdsed lahendid.

Näita vastust

k = 2

$k=2$
Leia k väärtused, mille korral puuduvad võrrandil x² + 2kx + 9 = 0 reaalarvulised lahendid.

Näita vastust

−3 < k < 3

$-3<k<3$
Lahenda 3x² − 5x − 2 = 0.

Näita vastust

x = 2 või x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
Lahenda x² + 6x + 13 = 0.

Näita vastust

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
Lahenda 4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0.

Näita vastust

x = 1 või x = 2

$x=1,\ \ x=2$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.